1èreS - TP02: GEOGEBRA - CORRIGE Equation cartésienne de droite et généralisation 2. Constructions et conjectures Dans GeoGebra, afficher la fenêtre d'algèbre: dans le menu "affichage", cocher "fenêtre algèbre". A l'aide A l'aide du bouton , créer trois curseurs a, b et c. Dans le champ de saisie en bas de l'écran, entrer l'expression a * x + b * y + c = 0 , tracer la courbe, puis grâce à un "clic droit", changer la couleur de cette courbe pour du rouge. En manipulant les curseurs a, b et c, conjecturer la nature du lieu des points M dont les coordonnées la relation x et y vérifient ax + by + c = 0 . Rédigez ci-dessous votre conjecture: L'ensemble obtenu est une droite du plan. Déterminez les valeurs de a, b et c pour lesquelles on obtient des cas particuliers (verticalité, horizontalité, ensemble vide, point, plan tout entier...) Si a=0 , b=0 et c=0, l'équation devient 0 = 0 . Elle est donc vérifiée par tous les points du plan, et l'ensemble de points obtenus est la plan tout entier (mais GeoGebra ne l'affiche pas). Si a=0 et b=0, mais que c≠0, l'équation devient c = 0 . Elle n'est vérifiée par aucun point du plan, et l'ensemble obtenu est l'ensemble vide. c y = − , l'ensemble obtenu est une droite horizontale. b c Si a≠0 et b=0 , l'équation devient x = − , l'ensemble obtenu est une droite verticale. a Si a=0 et b≠0 , l'équation devient 3. Pour aller plus loin... a* x ^ 2 + b* y + c = 0, et en vert celle correspondant à l'équation a * x ^ 2 + b * y ^ 2 + c = 0 . Tracer en bleu la courbe correspondant à l'équation En manipulant les curseurs a, b et c, essayez de reconnaître ces courbes. Courbe d'équation ax 2 + by + c = 0 : l'ensemble obtenu semble être une parabole. Courbe d'équation ax 2 + by 2 + c = 0 : l'ensemble obtenu semble être une hyperbole ou une ellipse selon les valeurs prises par les différents curseurs. Remarque: une conique est une courbe obtenue lorsque l'on coupe un cône par un plan: parabole, hyperbole, ellipse (et cercle). 4. Quelques précisions a) Pour quelles valeurs de a, b, c l'équation ax + by + c = 0 décrit-elle l'ensemble vide? Le plan tout entier? Pour a = 0 , b = 0 et c ≠ 0 , l'ensemble décrit est l'ensemble vide. Pour a = 0 , b = 0 et c = 0 , l'ensemble décrit est le plan tout entier. b) Démontrez par le calcul que Pour a ≠ 0 et b ≠ 0 ,on a: ax 2 + by + c = 0 , avec a ≠ 0 et b ≠ 0 , décrit une parabole. a c ax 2 + by + c = 0 ⇔ by = −ax 2 − c ⇔ y = − x 2 − ; c'est un trinôme du second b b degré, dont la courbe représentative est bien une parabole.