Loi binomiale : exemples

Loi binomiale : exemples
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Loi binomiale : exemples
I)
Exemples de situations avec loi binomiale
Quand on résout un problème, il faut savoir reconnaître les situations qui peuvent être
modélisées avec la loi binomiale.Les mots importants sont “plusieurs" (plusieurs fois
une même expérience), “indépendants”, “nombre de” (nombre de succès).
Il faut qu’il y ait plusieurs expériences.
Il faut que ces expériences soient indépendantes
Il faut que ces expériences soient «identiques», c’est-à-dire que les propriétés et les
calculs pour une expérience soient les mêmes que pour une autre.
Il faut que la variable aléatoire qu’on étudie soit le nombre de fois où on obtient un
certain événement considéré comme succès (même si ce «succès» consiste à perdre un
million d’euros). L’événement (succès) concerne une expérience, et le «nombre de fois»
concerne la totalité de toutes les expériences.
Dans tous les exemples suivants, on demande quelle est la loi de probabilité de la variable
aléatoire X (définie par « on s’intéresse à »).
1. Lancer 3 fois de suite une pîèce de monnaie. On s’intéresse au nombre de fois où
on a obtenu "pile".
1
1
P (succès) = . Loi binomiale avec n = 3, p = .
2
2
2. Lancer simultanément 3 pîèces de monnaie. On s’intéresse au nombre de fois où
on a obtenu «pile».
1
1
P (succès) = . Loi binomiale avec n = 3, p = .
2
2
Bien que les tirages soient simultanés, c’est équivalent au problème précédent car
les pièces sont indépendantes et elles ont chacune leur identité physique. Même si,
visuellement, on n’arrive pas à les discerner, il y a quand même une pièce a, une
pièce b et une pièce c. Le résultat (a = pile, b = f ace, c = pile) doit être compté
comme différent du résultat (a = f ace, b = pile, c = pile) même si tous les deux
peuvent se résumer par : il y a deux fois «pile» et une fois «face». Et ce qui compte
pour l’équiprobabilité, ce sont les résultats obtenus en tenant compte des identités
physiques des pièces.
3. Lancer 5 fois de suite un dé. On s’intéresse au nombre de fois où le 2 est sorti.
1
1
P (succès) = . Loi binomiale avec n = 5, p = .
6
6
4. Lancer simultanément 5 dés. On s’intéresse au nombre de fois où un certain résultat
est sorti.
1
1
P (succès) = . Loi binomiale avec n = 5, p = .
6
6
Bien que les lancers soient simultanés, on considère que les dés sont discernables
ou peuvent être rendus discernables (par exemple, ils sont de couleurs différentes).
C’est donc équivalent à 5 expériences successives indépendantes. C’est une convention usuelle de modélisation vérifiée expérimentalement, et elle n’est pas tout à fait
évidente.
5. 5 tirages successifs d’une boule avec remise. On s’intéresse au nombre de fois où
on a tiré une boule rouge.
r
P (succès) =
(r nombre de rouges, k nombre total). Loi binomiale avec n = 5,
k
r
p= .
k
6. On lance 3 fois de suite deux pièces de monnaie. On s’intéresse au nombre de fois
où on obtient deux «pile».
2
1
1
1
P (succès) =
= . Loi binomiale avec n = 3, p = .
2
4
4
Attention : ici l’expérience élémentaire (schéma de Bernoulli) qui sert de base à la
loi binomiale est elle-même composée : on lance deux pièces. C’est cette expérience
composée qu’on effectue 3 fois, et c’est un événement de cette expérience composée
qu’on considère comme «succès».
Si au contraire on s’intéressait au nombre total de «pile» qu’on obtient pour les 6
1
lancers, il s’agirait d’une loi binomiale de paramètres n = 6 et p = .
2
7. Un appareil est formé de 5 composants identiques et indépendants, chacun pouvant
être en panne avec la probabilité x. On s’intéresse au nombre de composants qui
fonctionnent.
P (succès) = 1 − x. Loi binomiale avec n = 5, p = 1 − x.
Attention à bien interpréter ce qu’on appelle «succès» et à bien calculer la probabilité de succès en fonction des données.
8. Un mot est formé de 5 lettres. On s’intéresse au nombre de voyelles qu’il contient.
Loi binomiale : exemples
6
6
. Loi binomiale avec n = 5, p =
.
26
26
Modèle : un mot est obtenu par 5 tirages successifs d’une lettre avec remise dans
l’alphabet qui comporte 26 lettres, dont 6 voyelles et 20 consonnes.
Ici l’énoncé ne parle pas d’expérience répétée. Il faut prendre l’initiative d’imaginer
une expérience équivalente.
P (succès) =
9. Une famille comporte 5 enfants. On s’intéresse au nombre de filles.
1
1
P (succès) = . Loi binomiale avec n = 5, p = .
2
2
Modèle : on considère qu’une naissance est un tirage au sort avec deux possibilités
équiprobables : fille ou garçon. Ce n’est sans doute statistiquement pas vrai, mais
c’est une hypothèse raisonnable en l’absence d’autres informations.
10. Deux joueurs jouent 5 parties de tennis de suite. Ils ont chacun des probabilités
fixes de gagner une partie (respectivement a pour le joueur A et 1 − a pour le
joueur B). On s’intéresse au nombre de parties gagnées par A.
P (succès) = a . Loi binomiale avec n = 5, p = a.
11. Un candidat répond au hasard aux 10 questions d’un QCM (chaque question étant
de type vrai/faux, avec seulement ces deux réponses possibles). On s’intéresse au
nombre de réponses justes.
1
1
P (succès) = . Loi binomiale avec n = 10, p = .
2
2
12. Un automobiliste rencontre trois feux de circulation successifs indépendants. On
s’intéresse au nombre de feux qui sont verts. On suppose que la probabilité qu’un
feu soit vert est v.
P (succès) = v. Loi binomiale avec n = 3, p = v.
II)
Contre-exemples
Les exemples qui suivent montrent des situations où il est faux de dire «la variable
aléatoire X suit une loi binomiale»
13. Voici les règles d’un jeu : on lance une pièce de monnaie 3 fois de suite. A chaque
lancer, si on obtient face on gagne 1 euro (gain algébrique : +1), si on obtient pile
on perd 2 euros (gain algébrique : −2). On appelle X le gain algébrique total au
bout des 3 lancers.
X ne suit pas une loi binomiale car l’ensemble des valeurs distinctes qu’elle peut
prendre n’est pas un ensemble d’entiers naturels successifs commençant à 0 et
finissant à n. X ne s’interprète pas comme un «nombre de succès».
Cependant, il y a bien sûr une relation entre X et le nombre de succès (nombre
de fois où on obtient face, par exemple). Soit S la variable aléatoire : nombre
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de fois où on obtient face. Alors S suit une loi binomiale de paramètres n = 3
1
(nombre d’expériences) et p = (probabilité de succès pour une expérience). Avec
2
ces notations, on a la relation X = 1 × S − 2 × (3 − S) = 3S − 6 (il y a S succès
qui rapportent chacun 1 euro et (3 − S) échecs qui «rapportent» chacun −2 euros).
X +6
Inversement S =
3
On en déduit le tableau suivant
k
3k − 6
0
−6
1
P (S = k) = P (X = 3k − 6)
23
1
−3
3
23
2
0
3
23
3
3
1
23
Les valeurs que peut prendre X sont −6, −3, 0, 3 et non pas 0, 1, 2, 3. Pour cette
raison, on ne peut pas dire que X suit une loi binomiale.
On pourrait être tenté de dire : «mais ce n’est pas important, le principal est
de calculer les probabilités, et c’est bien les formules de la loi binomiale qu’on
applique !». Oui, pour calculer les probabilités d’obtenir ces valeurs, on passe bien
par l’intermédiaire des formules de la loi binomiale, mais on les applique à S et pas
àX :
a+6
.
P (X = a) = P S =
3
D’ailleurs si on pense (faussement) que X suit une loi binomiale, on donnerait
une réponse fausse à la question : «quelle est l’espérance de X ?». La formule de
3
l’espérance d’une loi binomiale est np. Ici on obtiendrait . Ce n’est pas l’espérance
2
3
de X, c’est celle de S. L’espérance de X est E(X) = − (vérifiez-le).
2
14. On tire successivement 4 fois de suite sans remise dans une urne contenant 4 boules
rouges et 4 boules vertes. Soit X le nombre de boules rouges obtenues au bout des
4 tirages. Combien vaut P (X = 2) ?
On ne peut pas appliquer la loi binomiale car ici les tirages successifs ne sont
pas indépendants et ils ne se font pas dans les mêmes conditions. les expériences
successives ne sont
ni indépendantes ni identiques.
donc
4
× (4 × 3) × (4 × 3)
2
La réponse est :
.
8×7×6×5
Cette formule se justifie ainsi : choisir les 2 places des rouges, choisir les 2 rouges,
choisir les 2 vertes.
Ou bien, en raisonnant en termes de probabilités conditionnelles (avec un arbre de
probabilités) :
4
4 3 4 3
× × × ×
2
8 7 6 5
Loi binomiale : exemples
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• Autre méthode : du point de vue des probabilités, le problème est équivalent
à : on tire simultanément 4 boules dans l’urne, quelle est la probabilité d’avoir
exactement 2 rouges ? (cette équivalence n’est pas une évidence a priori).
4 4
2 2
La réponse est alors : . Vérifier que c’est bien égal à la réponse précédente.
8
4
15. On lance un dé de manière répétée jusqu’ à obtenir un 6 (et dès qu’on a obtenu un
6, on s’arrête). Dans cette expérience, on appelle X le nombre de lancers. Quelle
est la loi de probabilité de X ?
La loi de X n’est pas binomiale pour plusieurs raisons :
- le nombre de lancers n’est pas fixe
- la question n’est pas : «quel est le nombre de succès ?» (où le succès serait d’obtenir
6), mais «quel est le nombre d’expériences à effectuer pour obtenir un succès pour
la première fois ?».
- les valeurs que peut prendre X ne sont pas en nombre fini. Quel que soit n, il se
peut qu’on n’obtienne aucun 6 en n expériences. Donc l’ensemble des valeurs de X
est N∗ tout entier.
La loi est la suivante : pour obtenir X = n, il faut d’abord commencer par n − 1
résultats tous différents de 6, puis obtenir un 6 pour finir. Ici il est important que ce
soit dans cet ordre. La place du 6 est imposée : il est en dernière position. Comme les
expériences sont indépendantes, le résultat s’obtient par produit de probabilités :
n−1 5
1
Pour n > 1 : P (X = n) =
×
.
6
6
Remarque : somme des probabilités. Si on pose pn = P (X = n), pn est une suite
n
5
1−
5
1
6
géométrique de raison . Si on calcule sn = p1 + · · · + pn , on trouve ×
5
6
6
1−
6
On démontre alors que lim sn = 1, ce qui correspond à la propriété : «la somme
n→+∞
des probabilités vaut 1». Vérifiez que vous savez bien faire tous ces calculs.