Les fractions

CH VI) Fractions
I)
Représentation d’une fraction :
-
Le cercle ci dessous est partagé en 4, hachurer 1 des 4 parties.
On écrit
-
Le cercle suivant est partagé en 8, hachurer 2 des 8 parties.
On écrit
-
1
du cercle est hachuré.
4
8
du cercle est hachuré.
Hachurer 4 des 11 cases du dessin suivant.
On écrit
de la figure est hachuré.
- Indiquer la fraction représentant le nombre de tournevis par rapport à l’ensemble des
outils.
On écrit
des outils sont des tournevis.
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Une fraction est notée sous la forme d’un quotient de 2 nombres entiers. Ces deux
nombres sont séparés par un trait appelé barre de fraction.
Le nombre de la partie supérieure de la fraction est le numérateur. Le nombre de la
partie inférieure de la fraction est le dénominateur.
Numérateur
Dénominateur
1
se lit un demi.
2
1
se lit un tiers.
3
1
se lit un quart.
4
3
se lit trois demis.
2
4
se lit quatre tiers.
3
J Toutes les fractions différentes de demi, tiers ou quart se lisent avec le nombre
suivi de ième.
Exemples :
3
5
trois cinquièmes .
cinq vingt et unièmes.
5
21
13
treize septièmes.
7
J On peut écrire une fraction avec une barre oblique
II)
4
= 4/9 .
9
Valeur décimale d’une fraction :
Une fraction a pour valeur décimale la valeur obtenue en divisant le numérateur par le
dénominateur. Cette valeur peut être exacte ou approchée.
1
= 0, 5
2
0,5 est la valeur décimale exacte de
1
≅ 0,33
3
0,33 est la valeur décimale approchée de
III)
1
.
2
1
.
3
Fractions équivalentes :
Activité : Écrire sous chaque dessin une fraction correspondant à la partie grisée.
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Pour chacune des fractions ci-dessus, calculer sa valeur décimale.
Que peut-on dire pour certaines d’entre elles ?
Les fractions
et
Pour les fractions
Deux fractions
sont équivalentes, de même que pour
4
2
et
calculer :
6
3
4x3=
et
.
6x2=
a
c
et
sont équivalentes si a x d = b x c.
b
d
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IV)
Différentes écritures d’une fraction :
On obtient une fraction équivalente à une fraction donnée en multipliant ou en divisant
quand c’est possible numérateur et dénominateur par un même nombre.
x3
:2
4
6
=
x6
2
3
:2
=
12
18
x6
x3
Exercice : Compléter la « chaîne » de fractions suivante.
2
3
=
V)
6
=
9
=
12
=
24
=
15
=
14
Simplification d’une fraction :
1) Définition :
Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par un même
nombre entier. Lorsque les deux termes n’ont plus de diviseur commun, on dit que la
fraction est irréductible.
Exemple :
20
12
=
10
6
=
5
3
et
5
est une fraction irréductible.
3
Exercice : Écrire sous forme de fraction irréductible.
30
=
24
80
=
120
48
=
72
1 250
=
750
375
=
450
660
=
420
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2) Quelques règles de divisibilité :
J Il n’est pas évident de déterminer le même nombre qui divise le numérateur et le
dénominateur sans utiliser de calculatrice. Observez les règles de divisibilité suivantes,
elles devraient beaucoup vous aider.
Divisibilité par :
à 2 : Un nombre est divisible par 2 lorsqu’il est pair (Rappel : un nombre est pair lorsqu’il
se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8)
à 3 : Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme des chiffres qui le composent est
un multiple de 3. ( Rappel : un multiple d’un nombre est son résultat dans la table de
multiplication.)
Ex : 2 283 à 2 + 2 + 8 + 3 = 15 à 1 + 5 = 6 6 étant un multiple de 3, 2 283 est divisible
par 3.
à 4 : Un nombre est divisible par 4 lorsqu’il est deux fois divisible par 2.
Noter que c’est de cette façon que l’on détermine si une année est bissextile. 2004 sera
une année bissextile puisque 2004 / 2 = 1002 et 1002 / 2 = 501.
à 5 : Un nombre est divisible par 5 lorsqu’il se termine par 0 ou 5.
à 9 : Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme des chiffres qui le composent est
un multiple de 9.
à 10 : Un nombre est divisible par 10 lorsqu’il se termine par 0.
à 11 : Un nombre est divisible par 11 lorsque la différence entre la somme des chiffres
pairs et la somme des chiffres impairs ( ou inversement) est égale à 0 ou à un multiple de
11.
Chiffres de rang pair 7 + 7 = 14
Ex : 7 172
14 - 3 = 11
Chiffres de rang impair 2 + 1 = 3
J 6 ; 8 ; 12 etc…
correspondent à des combinaison de nombres divisibles.
6 si divisible par 2 et par 3
2x3=6
8 si divisible par2, puis encore par 2 et encore par 2 8 = 2 x 2 x2 etc…
Exercice : Compléter le tableau en indiquant par une croix si le nombre est divisible.
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Divisible
par :
2
3
5
9
10
11
VI)
42
124
200
390
95
54
98
189
86
450
45
X
Prendre une fraction d’un nombre :
Prendre une fraction d’un nombre, c’est multiplier ce nombre par le numérateur, puis
diviser le résultat obtenu par le dénominateur.
J On peut éventuellement commencer par diviser par le dénominateur, puis multiplier
par le numérateur.
Exemple : Alain veut acheter un vélomoteur coûtant 700,00 €, il peut en payer les 3/5
avec ses économies. Combien pourra-t-il payer ?
700 x
3 2 100
=
= 420,00 €
5
5
On aurait pu faire le calcul de la façon suivante :
700
x 3 = 140 x 3 = 420,00 €
5
Exercice : Un boulanger sait que la masse du pain fabriqué est égale aux 10/9 de la masse
de farine utilisée. Quelle masse de pain obtient-il avec 72 kg de farine ?
Exercice : On prélève les 7/8 d’un fût contenant 416 L d’huile. Quelle quantité d’huile at-on prélevée ?
Exercice : Justin possède 540,00 €. Il achète une bicyclette qui coûte 1/3 de cette
somme. Combien coûte la bicyclette ?
VII) Comparaison de deux fractions :
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1) Comparaison de deux fractions de même dénominateur :
Chacun des cercles suivants a été partagé en huit parts égales. Hachurer 5 parts pour le
premier et trois pour le second.
5
8
Comparer les surfaces hachurées. On constate que
3
.
8
Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand
numérateur.
2) Comparaison de deux fractions de dénominateur différents :
Les deux bandes précédentes sont de mêmes dimensions. La première est partagée en 9
parts égales et la deuxième en 3. Hachurer 5 parts pour la première et 2 pour la
deuxième.
Comparer alors les deux fractions.
5
9
2
.
3
Il apparaît difficile de comparer ces deux fractions sans utiliser de règle. Par contre si
l’on partage la deuxième également en 9 parts égales, on constate facilement que :
2
3
=
9
donc
Exercice : Comparer
7
4
5
9
et
9
alors
5
9
2
.
3
11
5
VIII) Addition, soustraction de fractions :
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1) Fractions ayant un même dénominateur :
Pour additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur : on additionne ou on
soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
2
8
4
6
Exemples :
3
8
2
6
+
-
=
=
2 + 3
8
4 − 2
6
=
=
5
8
2
6
1
3
=
2) Fractions ayant des dénominateurs différents :
Pour additionner ou soustraire des fractions de dénominateurs différents, on réduit les
fractions au même dénominateur puis on effectue l’opération .
2
5
Exemple :
3
2
+
=
2× 2
5× 2
+
3× 5
4
=
+
2×5
10
15
=
10
19
10
Exercice : Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
6
7
-
2
7
=
6
3
+
3
5
=
15
8
-
11
9
=
5
4
-
1
2
-
IX)
2
5
=
Multiplication de fractions :
Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les
dénominateurs entre eux.
Exemple :
3
5
x
2
7
=
3× 2
=
5× 7
6
35
J
Il est souvent plus intéressant de simplifier un terme du numérateur avec un terme
du dénominateur avant d’effectuer les calculs.
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1
18
x
25
35
18
=
x
36
25
35
= (Un terme du numérateur et un terme du
36
2
dénominateur ont été divisés par 18.)
7
1
25
x
35
1
=
2
25
35
= (Un autre terme du numérateur et du dénominateur
2
x
5
ont été divisés par 5.)
On obtient alors :
1
5
x
7
2
=
7
10
Ce qui évite de simplifier à la fin pour
obtenir une fraction irréductible.
Exercice : Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
4
9
x
9
15
X)
6
15
x
5
36
=
=
88
45
x
99 16
=
Division de fractions :
Pour diviser par une fraction, on multiplie par la fraction inverse.
J
2
7
est
.
7
2
7
3
2
6
=
x
=
2
5
7
35
La fraction inverse de
Exemple :
3
5
:
Exercice : Calculer et donner le résultat sous la forme de fraction irréductible.
4
:
7
3
7
XI)
45
:
27
=
25
=
36
48
36
:
18
27
=
Pourcentage :
Un pourcentage d’un nombre donné est une fraction de dénominateur 100 de ce nombre.
Exemple : Le blé donne 80% de sa masse en farine. Quelle masse de farine obtient-on
avec 350 kg de blé ?
350 x
350 × 80
80
=
= 280
100
100
on obtient 280 kg de farine.
Pour calculer x% d’un nombre donné, on multiplie ce nombre par x et on divise par 100.
Vous pouvez vous entraîner également sur :
:
Les fractions ( Des maths de niveau I sur logedu.com logiciel payant)
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