DM2 Plasma 2013

Université Paris-Sud XI - 2013/2014
M1 – Physique Fondamentale
DM Plasma
Problème – Propagation d’ondes dans les plasmas
On considère un plasma non collisionnel et quasi-neutre, constitué d’électrons de masse me et
de densité ne et d’ions H+, désignés par la suite par le terme de protons de masse mp et de
densité np. L’ensemble des protons constitue un fluide « froid » susceptible de se mettre en
mouvement sous l’effet d’une perturbation électrique, de telle sorte que des ondes peuvent se
propager dans le plasma. On considère que la perturbation électrique se manifeste par
l’apparition d’un champ électrique E local. Dans ce problème, on s’intéresse uniquement aux
ondes basses fréquences susceptibles de se propager dans le plasma, ainsi qu’à leur vitesse.
Partie A – Ondes acoustiques ioniques
On se place dans l’hypothèse qu’il n’y a pas de champ magnétique externe appliqué au
plasma. On suppose que la population électronique se comporte comme un fluide à l’équilibre
thermodynamique de température uniforme Te et de densité uniforme ne0 en l’absence de
perturbation. On néglige tout terme de création ou de pertes d’espèces, ainsi que la force
magnétique appliquée aux ions.
1. Justifier pourquoi la population électronique peut être considérée en équilibre.
2. Justifier à quelle condition l’existence d’un champ électrique E local ne contredit pas
l’hypothèse de quasi-neutralité du plasma.
3. Démontrer et exprimer la relation reliant la densité d’électrons ne et le potentiel φ dont
dérive le champ E.
4. Ecrire la loi de conservation des ions. On notera vi leur vitesse.
5. Ecrire l’équation de la dynamique des fluides associée aux ions.
On considère que la perturbation induit l’apparition d’un champ électrique de faible amplitude
et des variations de la densité électronique ne et de la vitesse vi des ions de faible amplitude
également. Pour cela, on note :
ne = ne0 + ne1
avec ne1 << ne0,
vi = vi1,
E = E1
L’indice ‘0’ identifie l’état d’équilibre initial (stationnaire et uniforme) et l’indice ‘1’ la
perturbation.
6. Montrer qu’en linéarisant l’ensemble des équations obtenues aux questions 3, 4 et 5,
en ne gardant que les termes du premier ordre, on aboutit au système différentiel
suivant :

en e 0
⋅ E1
∇n e1 = −
kTe

 ∂n e1
= − n e 0 ∇ ⋅ v i1

∂
t

 ∂ v i1
e
=
⋅E

mp 1
 ∂t
7. Montrer que ce système se ramène à une seule équation différentielle vérifiée par ne1.
A quel type d’équation cela correspond-il ?
8. En déduire la vitesse de propagation Vs de l’onde ainsi caractérisée, appelée vitesse
acoustique ionique. Faire l’analogie avec la vitesse de propagation du son dans un gaz
neutre dont on rappellera l’expression.
9. Expliquer brièvement pourquoi de telles ondes peuvent exister alors que le plasma est
supposé non collisionnel.
10. Que devient l’expression de Vs si l’on ne néglige pas la température des ions ?
Comparer la vitesse acoustique ionique aux vitesses thermiques des électrons et des
ions dans le cas d’un plasma « froid ».
Partie B – Ondes d’Alfven en présence d’un champ magnétique
On se place dans l’hypothèse où le plasma est maintenant soumis à un champ magnétique
externe B0 uniforme, susceptible d’être modifié localement par une perturbation. On suppose
que cette perturbation crée des conditions d’adiabaticité temporelle et spatiale pour le champ
magnétique total B. On considère dorénavant que la population électronique est un fluide
« froid » en équilibre dynamique sous l’effet combiné du champ électrique et du champ
magnétique. On notera ve la vitesse fluide des électrons. Les hypothèses sur les ions sont les
mêmes que dans la première partie du problème.
1. Exprimer la densité de courant totale j dans le plasma et en déduire l’expression de ve
en fonction de vi, j, ne et la charge élémentaire e.
2. Montrer que les hypothèses sur les conditions d’adiabaticité du champ et sur la
population électronique conduisent à l’équation suivante :
E + ve ⊗ B = 0
(*)
3. Donner l’équation de la dynamique des fluides associée aux ions et montrer qu’elle
peut s’écrire :
 ∂v

n p m p  i + v i ⋅ grad ⋅ v i  = j ⊗ B
 ∂t

(
)
4. Montrer que l’hypothèse d’adiabaticité spatiale sur le champ magnétique total B
permet de considérer que ve ≈ vi dans l’équation (*) de la question 2.
5. Ecrire la loi de conservation des ions.
6. Ecrire les équations de Maxwell. On se placera dans l’hypothèse de l’approximation
du régime quasi-stationnaire (ARQS). On omettra l’équation de Maxwell-Gauss qui
peut permettre éventuellement de vérifier a posteriori l’hypothèse de quasi-neutralité
du plasma.
On cherche à résoudre l’ensemble des équations ainsi trouvées en considérant que la
perturbation induit l’apparition d’un champ électrique E de faible amplitude et des variations
de la densité électronique ne, de la vitesse vi des ions et du champ magnétique B de faible
amplitude également. Pour cela, on note :
ne = ne0 + ne1
avec ne1 << ne0,
vi = vi1, j = j1, E = E1 et B = B0 + B1
avec B1 << B0
L’indice ‘0’ identifie l’état d’équilibre initial (stationnaire et uniforme) et l’indice ‘1’ la
perturbation.
7. Linéariser l’ensemble des équations trouvées précédemment en ne gardant que les
termes du 1er ordre.
8. On cherche maintenant une solution sous la forme d’une onde plane monochromatique
de vecteur d’onde k et de pulsation ω. Toutes les perturbations sont donc
proportionnelles à un terme exp(ik.r-ωt). Ecrire le système d’équations en fonction de
k et de ω.
9. Montrer qu’il existe une solution non triviale à ce système qui vérifie k.vi1 = 0, à
condition que k et ω soient liés par une relation que l’on exprimera sous la forme :
ω = k ⋅ VA ⋅ cos θ
où θ est l’angle défini entre le vecteur d’onde k et le champ uniforme B0, et où VA est
une vitesse que l’on exprimera en fonction de µ 0, mp, ne0 et B0.
L’onde de propagation ainsi trouvée se nomme onde d’Alfvèn et sa vitesse de
propagation est VA.