Approche fluide (milieu continu) conducteur • Equations MHD (Hydrodynamique + E + B) • Équations de Maxwell : Couplage Particules (J) ⇔ Champs (E, B) J•E (bilan énergie) et J × B (mouvement) Faible couplage (HETL + écart à la neutralité important) • Représentation à 2 fluides HETL (Te >> Ti = Tg) • Fluide électronique (Te) et Fluide ionique (Ti) • Couplage avec les neutres par collisions (e-neutre, ion-neutre) • Etude : structures où l'écart à la neutralité est important (e.g. gaines) • Représentation à 1 fluide électronique (HETL : Te >> Ti = Tg) • Couplage e-n, e-i par collisions • Les ions se comportent comme un fond continu de charge positive les ions ne suivent pas les oscillations du champ électrique (ωpe >> ω >> ν, ω >ωpi) • Etude : ondes dans les plasmas Fort couplage (quasi-neutralité) • Représentation à un fluide HETL (Te >> Ti = Tg) • Représentation à un fluide unique (MHD) • Plasma magnétisé, fortement ionisé (plasmas naturels) • Décharges ETL (Te ≈ Ti ≅ Tg), faiblement ionisé (arc électrique) 17/03/2011 1 Modèle fluide / Transport dans les plasmas • Plasmas non-magnétisés • Modèle à deux fluides électronique et ionique • Diffusion libre • Modèle à un fluide où le couplage entre électrons et ions est effectué par l'intermédiaire du champ de charge d'espace • Diffusion ambipolaire • Plasmas magnétisés • Coefficients de transport en présence du champ magnétique • Modèle à un fluide unique MHD 17/03/2011 2 Coefficients de transport en absence de champ magnétique 1.Transfert de masse (de substance) ⇒ Diffusion ∇p = ∇ (n k BT ) i. Flux de particules (∇n) : diffusion de particules de la zone de forte densité vers la région de faible densité i. Flux d’énergie associé (∇T) : diffusion d’énergie de la région à forte température vers la région de faible température et / ou 2. Transfert de charge ⇒ Mobilité (dérive, progression moyenne sous E) 3. Transfert d’énergie ⇒ Conductivité (électrique, thermique) i. Electrique (J = σ E loi d'Ohm) ii. Thermique (chaleur) • Conduction (indépendant du flux de particules) • Convection (plasmas turbulents) • Diffusion (liée au flux de particules) – point 1 17/03/2011 3 Coefficients de transport en absence de champ magnétique (B = 0) Equation de continuité (conservation de particules) ∂n α ∂t + ∇ r . ( n α v α ) = n α ν ionisation Equation de transfert de quantité de mouvement – équation LANGEVIN ∂v α m α n α + ( v α ∇ )v α ∂t = n α q α E + v α ∧ B − ∇ r ( n α k B T α ) − ∑ µ n α ν αβ ( v α - v β β≠α µ =mαmβ/(mα+mβ) Hypothèses (ces hypothèses sont choisies pour une résolution analytique rapide de l'équation) • Dérivée locale = 0 (régime établi - pas de régime transitoire, champ E continu). Rappel en E(ωt), ∂v/∂t ≠0 • Dérivée convective = 0 (variation spatiale lente de la vitesse) • B = 0 (pas de champ magnétique) • Plasma isotherme (∇T = 0) • Plasma faiblement ionisé (pour simplicité) – collisions coulombiennes négligées : νei= νie = 0 (Les collisions e-e, i-i ne donnent pas de contribution au terme collisionnel Pαα = 0) • Isotropie des neutres (vn = 0) 17/03/2011 4 ) Coefficients de transport en absence de champ magnétique (B = 0) Electrons 0 = − n e eE − k B T e ∇ r n e − m e n e ν en v e v e =−μ e E−De μe = De = ∇n e ne m e ν en μi = Mobilité k B Te m e ν en J e = e D e ∇n e + σ e E 17/03/2011 vi =+μi E−Di Vitesse de dérive e Γ e = − D e ∇n e − n e μ e E σe = Ions 0 = + n i eE − k B T i ∇ r n i − m i n i ν in v i nee2 m e ν en = en e μ e e ni m i ν in Di = Coefficient de diffusion ∇n i k B Ti m i ν in Flux de particules Γ i = − D i ∇n i + n i μ i E Densité de courant J i = − e D i ∇n i + σ i E Conductivité électrique σi = ni e2 m i ν in = en i μ i 5 Coefficients de transport en absence de champ magnétique (B = 0) Analyse des mobilités (modèle BdB) μe e m i ν in m i 4πR 2 w i m i 8k BTi π m e Ti m i = = = 4 = 4 μ i m e ν en e m e πR 2 w e m e π m i 8k BTe Te m e μ e >> μ i (T e = T i ) μe≥μi (T e >> T i ) σ e = n eμ e ( ) P W/m 3 = J e E = σ e E 2 Les caractéristiques électriques du plasma sont fixées par les électrons Analyse des coefficients de diffusion (modèle BdB) De k BTe m i ν in m i Te 4πR 2 w i m i Te = = = 4 D i m e ν en k BTi m e Ti πR 2 w e m e Ti T mi 8k BTi π m e =4 e π m i 8k BTe Ti m e De >> Di : diffusion des électrons plus importante que celle des ions Rappel hypothèse : ν indépendante de la vitesse. Sinon, la mobilité et le coefficient de diffusion sont calculés par l'approche cinétique. 17/03/2011 6 Diffusion ambipolaire (B = 0) - régime établi (∂n/∂t = 0, ∂v/∂t ) Diffusion libre : diffusion d'un type de particules (électrons) sans tenir compte de la présence d'un autre type de particules (ions) la neutralité macroscopique du plasma n'est pas prise en compte le champ de charge d'espace dû à l'écart à la neutralité n'est pas pris en compte (possible si la densité n < 108 cm-3) Régime collisionnel (ν ≠ 0), n > 108 cm-3 ⇒ il n'est plus possible de négliger le Ech qui s'établi pour maintenir la neutralité macroscopique du plasma (ne = ni = n) D e >> D i Séparation de charges ⇒ Champ de charge d'espace Ech ⇒ freinage des électrons, accélération des ions ∇ .(n e v e ) = S e = S i = ∇ .(n i v i ) ∇.Γ e = ∇.Γ i • Hypothèse de congruence Γe = Γi (constante d'intégration = 0) • Neutralité du plasma ne = ni = n • n ve = n vi ⇒ Egalité des vitesses ve = vi = v v e = −μ e Ech − D e v i = +μ i Ech − Di 17/03/2011 ∇n e ne ∇n i ni ⇒ Ech et la vitesse de transport (de dérive, de drift) (le champ appliqué, externe, est supposé très faible, négligeable) 7 Diffusion ambipolaire (B = 0) v = v e = − μ e E ch − D e ∇n v = v i = + μ i E ch − D i n ∇n i ni Inconnues : Champ de charge d'espace Ech et vitesse v d'écoulement E ch ≅ − De ∇n μe n =− ve =vi =v =−Da k B Te ∇n e n ∇n n Champ de charge d'espace qui régule le flux de particules (accélération d'ions, freinage d'électrons) afin de préserver la neutralité du plasma Vitesse de dérive électronique et ionique (Da Coefficient de diffusion ambipolaire - cf. planche 7) Remarque : Approximation plasma (cas électrostatique) consiste en à accepter à la fois la neutralité ne = ni = n (c'est à dire δn = ni-ne ≈ 0) mais, en même temps, ∇.Ech = eδn/ε0 ≠ 0. Dans le cas électrostatique, le Ech n'est pas déduit par l'équation de Poisson, mais de l'équation fluide. 17/03/2011 8 Diffusion ambipolaire (B = 0) Schéma du mouvement des électrons et ions ∇n (donné) e + v Diff Ech e + Diffusion é et i Champ de charge d'espace pour conserver la neutralité v Elec Γ =n v Dérive électrique é et i Mouvement résultant e et i Coefficient de diffusion ambipolaire (approximation µe >µi) Da k B Te Ti ≅μi 1+ e Te ≅Di T e >> T i Da ≅μi Te = Ti D a ≅ 2D i T 1+ e Ti k B Te e =Di Te La diffusion ambipolaire est contrainte par la mobilité des ions (pour B = 0) Ti Remarque : Diffusion ambipolaire - phénomène qui se produit qq soit le degré d'ionisation mais les relations analytiques déterminées ne sont valables que pour le plasma faiblement ionisé (cf. hypothèses) 17/03/2011 9 Diffusion ambipolaire (B = 0) Equilibre des courants dans le plasma de diffusion ambipolaire Γ e = n vΓ = + e i J e = − en v J i = + en v I e = − en v S I i = + en v S Ie +Ii =0 Courant total nul Critères de diffusion Chute libre lpm > Λ, ν → 0 ⇒ Régime non-collisionnel (D, µ → ∞) n(0) Λ2 →0 Diffusion libre (pas de corrélation par le biais du Ech) lpm < Λ n(0) Λ2 < 107 cm-1, λDe >> Λ (faibles densités n < 108 cm-3) Diffusion ambipolaire (corrélation par le biais du Ech) lpm < Λ n(0)Λ2 > 107 cm-1, λDe << Λ (fortes densités n > 108 cm-3) Notations : Λ - longueur caractéristique de diffusion, lpm = libre parcours moyen de collision, n(0) = densité max du plasma 17/03/2011 10 Diffusion ambipolaire : Caractérisation d'un plasma (régime stationnaire) Equation de transport Γ = n v = − D a ∇n E ch ≅ − Da ≅μi k B T e ∇n e n k B Te (T e >> T i ) e Equation de continuité (∂n/∂t = 0 régime établi) ∇ .(n v ) = S e = S i = nν i - D a ∇ 2 n = S e = nν i ∇ n+ 2 n Λ 2 =0 où Λ = Da νi Longueur caractéristique de diffusion Répartition spatiale de la densité plasma : exemple géométrie à une dimension Solution π n ( x ) = n ( 0 ) cos x pour les conditions aux parois n (x = ±L/2) = 0 L (symétrie axiale du plasma) Λ = 17/03/2011 Da νi = L π Λ = fonction de la géométrie du système 11 Diffusion ambipolaire : grandeurs caractéristiques du plasma Γ = n v = − D a ∇n Diffusion ambipolaire (Te indépendant de x ) π n ( x ) = n ( 0 ) cos x L v ( x )= − D a ∇n n = −Da 1 ∂n n ∂x Représentation graphique (planche suivante) Γ ( x ) = n ( x )v ( x ) E ch ( x ) ≅ − k B T e 1 ∂n e n ∂x (pour Te >> Ti) E ch (x) = - ∇V ( x ) − k B T e dn ( x ) e − n ( x ) dx =− dV ( x ) dx k B Te d(ln n) dV(x ) =− e dx dx 17/03/2011 Distribution Boltzmann pour les électrons e ( V ( x )− V (0 )) n ( x ) = n ( 0 ) exp k T B e 12 Caractéristiques électriques /représentation graphique (étude radiale) ∇ n+ 2 n Λ2 =0 x=0 x = - L/2 x = L/2 n(x) 1 0 . 8 0 . 6 Aux parois x = ± L/2 : n(x) = 0 (condition imposée) v, E, V (x = ± L/2) = ∞ ⇓ solution non physique 0 . 4 0 . 2 1 0 . 7 5 0 . 5 0 . 2 5 0 0 . 2 5 0 . 5 0 . 7 5 1 0 . 7 5 1 1 Γ = − D a ∇n = nv 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2 1 -1 0 . 7 5 -0.75 0 . 5 -0.5 0 . 2 5 0 . 2 5 -0.25 0.25 0 . 5 0.5 0.75 1 -0.2 -0.4 V(x) -0.6 -0.8 -1 2 1 . 7 5 1 . 5 1 . 2 5 E(x), v(x) 1 0 . 7 5 0 . 5 0 . 2 5 1 0 . 7 5 0 . 5 0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 5 0 . 7 5 E(x=0) = 0 car n(x = 0) = max 17/03/2011 1 Le PROBLEME vient du faite que la neutralité du plasma (la diffusion ambipolaire) n'est pas respectée dans l'intégrité du volume, jusqu'à 0 la surface de la paroi. 0 Pour le plasma, la paroi est un perturbateur qui est écranté par le plasma pour préserver son neutralité. Entre le corps du plasma et la paroi se forme donc une zone non-neutre appelée gaine. Pour une paroi non-polarisée de manière 0 intentionnelle, la gaine est de l'ordre de grandeur de λDe. 13 Particules chargées en champ magnétique Effet du champ magnétique : confinement en direction perpendiculaire du B ωc = eB m rL = : pulsation cyclotronique électronique (me) ou ionique(mi) Effet des collisions ν= w 2 // +w lpm 2 ⊥ ≈ w⊥ w⊥ ωc : rayon de Larmor : déconfinement → diffusion lpm rL lpm B B = ν ωc (lpm -libre parcours moyen) rL w⊥ Basse pression ou champs forts (confinement efficace) ν ωc << 1 rL lpm << 1 Haute pression ou champs faibles (confinement peu efficace à cause des collisions) ν ωc >> 1 rL >> 1 lpm Modèle fluide : transport de particules en présence du champ B et des collisions 17/03/2011 14 Transport en présence d'un champ magnétique z Equation de conservation de quantité de mouvement en présence d'un champ magnétique B : (0, 0, Bz) B 0 = nq E + v ∧ B − k B Τ ∇n − m n ν v Ez (∇zn) Ey (∇yn) y x Ex (∇xn) a) Déduire la vitesse de transport v : (vx, vy, vz) b) Identifier les coefficients de transport - mobilités (sous l'action de Ex, Ey, Ez) - coefficients de diffusion (sous l'action de ∇xn=∂n/∂x, ∇yn=∂n/∂y, ∇zn=∂n/∂z) Anisotropie due au champ magnétique : coefficients de transport sont des tenseurs Chaque direction de mouvement est caractérisée par une mobilité (ou / et un coefficient de diffusion) différente (différents) 17/03/2011 15 Coefficients de transport en présence d'un champ magnétique Vitesse de dérive ve = −µe E −De vi = +µi E −Di ∇n e ne ∇n i µ // = µ = Mobilité µ⊥ µ = ±µH 0 µH µ⊥ 0 0 0 µ // ν2 µ ⊥ = µ // 2 2 ν + ωc Γ e = − n e µ e E − D e ∇n e Γ i = + n i µ i E − D i ∇n i Coefficient de diffusion D⊥ D = ±DH 0 DH D⊥ 0 ωc µ H = µ // ni Flux de particules D // = D = 0 0 D // J e = + σ e E + e D e ∇n e mν ωc ν2 ν ν 2 + ω c2 électrons signe du haut ± ions signe du bas J i = + σ i E − e D i ∇n i 17/03/2011 k BT ν2 D⊥ = D// ν 2 + ωc2 Conductivité électriques σ = neµ ν2 ν ν 2 + ω c2 D H = D // Densité de courant e mν 16 Coefficients de transport en présence d'un champ magnétique Vitesse de dérive (d'écoulement) : v e = −µ e E − D e ∇n e ne vi =µi E −Di ∇n i ni Direction parallèle au champ B et aux E, ∇n : mêmes résultats qu'en absence de B (pas d'influence de B en direction parallèle à B) µ // = µ = e mν D // = D = k BT µe ≥µi mν D e >> D i Direction perpendiculaire au champ B et parallèle aux E, ∇n : influence du champ B (diminution des coefficients en direction perpendiculaire au B) ν2 µ ⊥ = µ // 2 2 ν + ωc D⊥ = D// ν2 ν 2 + ωc2 Direction perpendiculaire au champ B et perpendiculaire aux E (effet Hall), ∇n : influence du champ B (diminution des coefficients en direction perpendiculaire au B) µ H = µ // 17/03/2011 ωc ν2 ν ν 2 + ω c2 D H = D // ωc ν2 ν ν 2 + ω c2 17 Transport en présence d'un champ magnétique (E ≠ 0, ∇n ≠ 0) Electrons (les indices "e" sont omis) Mouvement parallèle au B v z = − µ // E z − D // ∇ // n n Ions (les indices "i" sont omis) v z = + µ // E z − D // ∇ // n n v e = −µ e E − D e ∇n e ne Mouvement perpendiculaire au B v ⊥ = −µ⊥ E⊥ −D⊥ ve = +µi E −Di v⊥ = +µ⊥ E⊥ −D⊥ ∇⊥n n +µH E⊥ ∧B B +DH nB ∇n i ni ∇⊥n n +µH E⊥ ∧B B −DH représentation (pour les ions) 17/03/2011 ∇⊥n∧B 18 ∇⊥n∧B nB Transport en présence d'un champ magnétique / cas limites IONS B → 0 (faible champ ou fortement collisionnel ωc << ν) Mouvement parallèle au B v z = + µ // E z − D // ∇ // n n Mouvement perpendiculaire au B v⊥ = +µ⊥ E⊥ −D⊥ ∇⊥n n +µH E⊥ ∧B B −DH ∇⊥n∧B nB µ// = µ⊥ , D// = D⊥ Ez µH → 0 , DH → 0 Bz E// v ⊥ = + µ // E ⊥ − D // E⊥ Ex 17/03/2011 v z = − µ // E z − D // ∇⊥n n ∇ // n "isotropisation" du mouvement (mêmes coefficients dans les 3 directions) n 19 Transport en présence d'un champ magnétique / cas limites IONS ν → 0 (fort champ ou faiblement collisionnel ωc >> ν) Mouvement parallèle au B v z = + µ // E z − D // Ez Bz E⊥ ∧ B Ex 17/03/2011 ∇ // n n Mouvement perpendiculaire au B v⊥ = +µ⊥ E⊥ −D⊥ µ// → ∞, D// → ∞ , ∇⊥n n +µH E⊥ ∧B B −DH ∇⊥n∧B nB µ⊥= 0 , D⊥ =0 µH = 1/B , DH = kBTi / eB E ⊥ ∧ B k B Ti ∇ ⊥ n ∧ B E ⊥ ∧ B ∇ ⊥ p ∧ B v⊥ = − = − 2 2 2 B e nB B enB 2 dérive électrique (particulaire, indépendant du signe de la charge) diamagnétisme (ensemble de particules, fonction du signe de la charge) 20 Transport en présence d'un champ magnétique / cas limites ν → 0 (fort champ ou faiblement collisionnel ωc >> ν) v⊥ = E ⊥ ∧ B k B Ti ∇ ⊥ n ∧ B E ⊥ ∧ B ∇ ⊥ p ∧ B − = − 2 2 2 B e nB B enB 2 dérive électrique (particulaire, indépendant du signe de la charge) J = Ji + Je = 0 flux net du courant = 0 17/03/2011 IONS diamagnétisme (ensemble de particules, fonction du signe de la charge) J = Ji + Je ≠ 0 flux net du courant ≠ 0 dû à la noncompensation de charges dans les zones avec des gradients de n et/ou de de T 21 Dérive / mobilité (IONS) v⊥ = +µ⊥ E⊥ +µH E⊥ ∧B B ν >> 1 ωc E⊥ ν << 1 ωc E⊥ ∧ B E×B B Représentation du mouvement des ions 17/03/2011 22 Dérive / diffusion (IONS) v⊥ = −D⊥ ∇⊥n n −DH ∇⊥n∧B nB Terme qui résulte de la non-compensation des courants cyclotroniques en présence d'un gradient de densité ou de température (courant diamagnétique) ∇⊥n → ∇⊥T Représentation du mouvement des ions 17/03/2011 23 Influence du champ B et de collisions : D (µ) ν << 1 ωc rL << 1 lpm Coefficients de diffusion normalisés 2,0 1,8 ν >> 1 ωc D// 1,6 1,4 1,2 rL >> 1 lpm ν > ωc ν < ωc 1,0 0,8 0,6 0,4 0,0 0,0 D⊥ DH 0,2 0,5 1,0 1,5 2,0 ν (109 s-1) B grand, basse pression (ν = 0) D// =∞ (diffusion n'a pas de sens) D⊥ = 0 (pas de diffusion ⊥ au B, confinement) DH ≠ 0 (dérive électrique d'une particule) 17/03/2011 2,5 3,0 3,5 4,0 B faible, haute pression (effet du B n'est plus ressenti) Effet collisions > effet du B D// = D⊥ (pas de confinement B) DH → 0 24 Coefficients de transport en présence de champ magnétique Analyse de la mobilité parallèle au champ magnétique (pas d'effet du B) µe µi = m i ν in µ e >> µ i ( T e = T i ) m e ν en µe≥µi ( T e >> T i ) Analyse de la mobilité perpendiculaire au champ magnétique µ e⊥ µ i⊥ = e m e ν en ω 2 ν en 2 ce +ν m i ν in ω ci2 + ν in2 2 en e ν Cas champ B fort ωci >> νin et ωce >> νen (ωce >> ωci et νen ≥ νin) Champ B fort, mais cas particulier νen ≅ νin (Ti ≤ Te) µ e⊥ ≤ µ i ⊥ 17/03/2011 2 in = µ e⊥ µ i⊥ µ e⊥ µ i⊥ m i ν en ω ci2 + ν in2 2 2 + ν en m e ν in ω ce = = m i ν en ω ci2 2 m e ν in ω ce m i ν en ω ci2 m e ν in ω 2 ce = m e ν en = m i ν in me mi Les ions sont plus mobiles que les électrons (mobilité électronique limitée par le champ B dans la direction ⊥ au B 25 Coefficients de transport en présence de champ magnétique Analyse du coefficient de diffusion parallèle au champ magnétique De Di = k B T e m i ν in m e ν en k B T i De >> Di Analyse du coefficient de diffusion perpendiculaire au champ magnétique 2 2 2 ω 2 +ν 2 T m ν De //ν en ci in e i en ωci +ν in = = 2 2 2 2 +ν 2 Di ⊥ ωce +ν en Di //ν in Ti meν in ωce en De⊥ Cas champ fort ωci >> νin et ωce >> νen (ωce >> ωci et νen ≥ νin) Champ fort, mais cas particulier νen ≅ νin (Ti ≤ Te) De⊥ Te meν en = Di⊥ Ti miν in D e⊥ D i⊥ De⊥ ≤ Di⊥ 17/03/2011 = Te m e Ti m i Les ions diffusent plus vite que les électrons (électrons confinés) 26 Diffusion ambipolaire en présence de champ magnétique Configuration radiale dans le plan (x, y) avec un champ B0 // oz Te D a// ≈ D i// 1 + Ti Γ e r = − D e⊥ ∇ r n e − μ e n e E ch r Γ i r = − D i⊥ ∇ r n i + μ i n i E ch r Hypothèse de congruence Γer =Γir =Γ r Γ Diffusion ambipolaire r ne = ni = n Cas champ fort ωci >> νin et ωce >> νen (ωce >> ωci et νen ≥ νin) 1+ D a ⊥ = D e⊥ D i⊥ µ e⊥ µ i⊥ D e⊥ 1+ 17/03/2011 µ e⊥ µ i⊥ D e⊥ μ i ⊥ − D i ⊥ μ e⊥ μ i ⊥ − μ e⊥ Ti Te 1+ D a⊥ = νen ≅ νin (Ti ≤ Te) 1+ = D e⊥ = − D a⊥ ∇ r n m e ν en m i ν in D a ⊥ ≅ D e⊥ T 1+ i Te 27 Approche fluide (milieu continu) conducteur Fort couplage (quasi-neutralité : écart à la neutralité faible) • Représentation à un fluide HETL (Te >> Ti = Tg) ou ETL (Te ≈ Ti ≅ Tg), faiblement ionisé • ω ≥ ν description avec modèle bi-fluide fluides couplés par le Ech (diffusion ambipolaire) • Entre deux collisions, électrons et ions accélération et décélération de particules → effet inertiel à prendre en compte : mouvement des électrons et ions en sens opposés → séparation de charge (ρch) → Ech → oscillations plasma ωp →oscillations en densité plasma • Etude • Décharges électriques (structures quasi-neutres), phénomènes t >> 1/ωp et L >> λD • Représentation à un fluide unique : MHD (fortement ionisé, liquide conducteur) • ω << ν description avec modèle fluide unique (variable ρ, v →J, p) • Electrons et ions se déplacent sans séparation de charge (excepté la perturbation haute fréquence ωp) • J = σ E (loi d'Ohm) • Le champ E provient • du déplacement du fluide v → J (écoulement de charges) → E (JD négligeable car basse fréquence) • d'un champ variable B (t) → v (t) / J(t) → E(t) • Etude • plasmas magnétisés, phénomènes magnétiques t >> 1/ωc et L >> rL • processus quasi stationnaires en astrophysique (ω < ν, gaz ionisé moins dense) 17/03/2011 28