¤ PCSI ¤ 11/12. Approfondissement. Série 3. m o c . b Exercice 1. Régime de vent dans l’atmosphère. On définit le repère Oxyz associé au référentiel terrestre RT : e w a l o h O est un point de la surface de la Terre (de centre T). L'axe Ox est porté par un parallèle et orienté dans le sens Ouest-Est. L'axe Oy est porté par un méridien et orienté dans le sens Sud-Nord. L'axe Oz est porté par le rayon (TO) et orienté de T vers O. Le référentiel terrestre n'est pas considéré galiléen ; par contre on supposera confondue la verticale en O avec le rayon (TO). Une particule fluide de l'atmosphère, de masse m, est étudiée dans le référentiel terrestre RT. La particule fluide est soumise à des forces de pression F Fx ex Fy e y Fz ez . On note v( x, y , z ) et a ( x, y, z ) respectivement la vitesse et l'accélération de la particule dans RT. Des observations sont réalisées pendant une durée T = 24 h jusqu'à l'altitude de la troposphère (c'est-à-dire 10000 m ) sur une région d'environ 1000 km de diamètre au sol et située à des latitudes voisines de = 45°. Ces observations montrent que les composantes horizontales de la vitesse v de la particule fluide : x et y , sont de l'ordre de U = 10 m/s et que la composante verticale est de l'ordre de W = 1 cm/s. De plus si on néglige les « coups de vent » (effets turbulents de courte durée), pour ne retenir qu'un vent moyen, les U W composantes de l'accélération a ne dépassent pas pour x et y (respectivement pour z ). T T k . w w w 1. Etablir la relation entre a, v, F , m , le champ de pesanteur g et le vecteur rotation de la Terre sur elle-même T (on donne T 7, 29.105 rad/s et g = 9,81 m/s2) 2. Projeter cette relation sur le repère Oxyz. Montrer que l'on peut procéder à un certain nombre de simplifications. On pourra effectuer des applications numériques pour faciliter les comparaisons. Donner le nouveau système d’équations différentielles. En déduire que la vitesse horizontale de la particule est orthogonale au champ de force horizontal F horizontal . Quelle relation a-t-on entre vhorizontal et Fhorizontal ? 3. En mécanique des fluides on démontre que les forces de pression s'exerçant sur un petit volume de m fluide de masse m sont équivalentes à F grad p (p est la pression atmosphérique au point M où se trouve la particule fluide et sa masse volumique). Montrer que Fhorizontal est orthogonale aux courbes isobares, obtenues par intersection entre une surface isobare et un plan horizontal, et orientée des zones de hautes pressions (anticycloniques) vers les zones de basses pressions (dépressionnaires). En déduire la direction et le sens des vents dans le cas de la figure ci-après établie dans l’hémisphère Nord. 4. m o c . b Estimer la vitesse moyenne des vents dans le cas de la figure ci-après. (On prendra = 1,3 kg.m-3 pour la masse volumique de l'air) e w Exercice 2. Haltère accrochée au centre de masse d’un satellite. Dans le repère géocentrique Ro ayant son origine au centre O de la Terre, assimilé à un astre de symétrie sphérique de masse Mo et lié à des axes (OX, OY et OZ) dirigés des « étoiles fixes », le centre de masse G d'un satellite artificiel S de masse M est animé dans le plan Z = 0 d'un mouvement circulaire et uniforme de rayon R et de vitesse angulaire . On note R un repère lié à S et Gyz un trièdre orthogonal de ce repère, Gx étant dirigé de O vers G, Gy le long de la tangente à la trajectoire de G et Gz orthogonalement au plan de son orbite (voir figure). Une tige A'A de longueur 2a << R et de masse négligeable est articulée parfaitement en son milieu autour de Gz. Elle porte à chaque extrémité A ou A' une masselotte de masse m très inférieure à celle de S. On désigne par T le solide constitué par la tige et les deux masselottes. Les mouvements relatifs de T sont repérés par l’angle OG, GA . On note K la constante de la gravitation universelle et r = OA , r’ =OA’, r OA, r ' OA ' . n n 1 2 n On donne : 1 1 n avec 1 . 2 1. Expliciter en fonction de K, m, Mo, r, r’, r et r ' la force gravitationnelle s’exerçant sur A et A’. Expliciter en fonction de m, , Rr, r’, r et r ' ces mêmes forces. Montrer que le moment de ces forces calculé en G, peut s’écrire après un développement limité selon les puissances de a/R : M 3m 2 a 2 sin 2 u z w w w .k a l o h 2. En appliquant dans le repère barycentrique R* de S un théorème de que l'on explicitera soigneusement, déduire du résultat précédent une équation différentielle (1). (Faire attention à la vitesse angulaire des masses dans ce référentiel). 3. Expliciter de la même façon que M la partie principale de l'énergie potentielle Ep de T dans le repère R. 4. Déduire du résultat précédent une équation différentielle du premier ordre notée (2). Vérifier la compatibilité de (1) et (2). 5. Décrire les circonstances des mouvements possibles, notamment les éventuelles positions d'équilibre relatif, ainsi que les petits mouvements éventuels. Exercice 3. Fluide en rotation. m o c . b o au repos. Le réservoir tourne à une vitesse angulaire constante autour de l'axe vertical (Oz) du cylindre Un réservoir cylindrique de rayon R, de hauteur H, est rempli complètement par un fluide de masse volumique ; il entraîne le fluide dans son mouvement. On se place en régime permanent. On note g l'intensité du champ de pesanteur et r la distance à l'axe de rotation. Les phénomènes n e dépendront explicitement que de la variable radiale r. 1. En choisissant un élément de volume cylindrique, montrer que la pression p(r) satisfait l'équation différentielle, notée [1], e w dp = 2 r µ(r) dr On précisera le phénomène décrit par cette équation et le référentiel dans lequel elle s'applique. Est –il légitime de ne pas tenir compte de la dépendance de p selon la cote z ? 2. Le fluide est un gaz parfait d'équation d'état p(r)= k B Tµ(r) /m, où m la masse d'une molécule de fluide et k B la constante de Boltzmann. Ce gaz est en équilibre thermique. Trouver la loi de la distribution de la pression ; cette loi est déterminée ici à une constante multiplicative près, qui est déterminée dans la question qui vient. 3. En exprimant la conservation de la masse, et en a l o h k . w notant P0 la pression au repos, établir et commenter la relation w w Fluide incompressible. 4. On suppose dans cette question que la masse volumique µo est constante, ce que l'on exprime en disant que le fluide est incompressible. Quelle est, sous cette hypothèse, la nouvelle loi de la distribution de la pression ? Peut-on déterminer la constante d'intégration ? Fluide compressible. 5 . On abandonne l'hypothèse d'incompressibilité. On adopte comme équation d'état du fluide, liant la masse volumique à la pression, l'équation µ = µo[l + 0(p−Po)] , où 0 est une constante. Vérifier que 0 n'est autre que le coefficient de compressibilité isotherme du fluide, T, à la pression Po : 0 = T (P0). 6. On suppose que = 0( p— Po) vérifie | | < < 1 . Intégrer alors l'équation [1] de la question 1 et montrer qu'au ² µ0 r ² K . 2 premier ordre en la masse volumique dépend de r selon la loi : µ(r ) µ0 1 7. Déterminer la constante K en exprimant la conservation de la masse et donner l'expression complète de la distribution de pression. Tracer l'allure du graphe de p(r) pour 0 r R. Le résultat obtenu serait-il valable pour un fluide incompressible ? 8. Montrer que la condition de validité du calcul, c'est-à-dire || <<1, est équivalente à l'inégalité : o o 2 R 2 1 . 3 -3 9. Le fluide est de l'eau de masse volumique µ0 =10 kg.m . La vitesse de rotation du réservoir est =100 rad.s-1, son rayon est R = 1 m ; la pression au repos est Po =105 Pa et la vitesse, du son dans l'eau, ceau, satisfait la relation 0 µ0 c²eau = 1 ; sa valeur numérique est c e a u =1450 m.s-1. L'hypothèse le | | <<1 estelle valide ? Comparer la vitesse maximale v m a x des molécules dans le réservoir à la vitesse du son. 10. Soit c G P la vitesse du son dans un gaz parfait (GP) de masse moléculaire m;cette vitesse vérifie donc, à la température T,la relation T µGP c²GP = 1 .Calculer T pour le gaz parfait ; établir la relation mc²GP = kBT et montrer que l'approximation vmax < < c G P appliquée au gaz parfait conduit à loi de distribution de pression trouvée à la question 4. Expliquer la formulation, paradoxale pour un gaz : le gaz parfait est incompressible.