Activité 1 Lors d`une expérience, on lâche une
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Activité 1 Lors d’une expérience, on lâche une petite bille d’acier à partir d’un point A, sans vitesse initiale. Cette bille tombe alors en suivant la droite verticale représentée ci-contre munie d’un repère (A; #» ı ). À chaque instant t, on note M (t) le point où se trouve la bille, et f (t) son abscisse dans le repère (A; #» ı ). On donne ci-dessous un extrait des mesures effectuées par chronophotographie lors de cette expé0 •A rience pendant la première seconde de chute (temps t donné en secondes et distance f (t) parcourue par la bille exprimée en mètres). #» i t f (t) f (t) t2 0,1 0,049 0,2 0,196 0,3 0,440 0,4 0,785 0,5 1,226 0,6 1,762 0,7 2,398 0,8 3,141 0,9 3,969 1 4,901 1 1. Déterminer la vitesse moyenne de la bille entre les instants t1 = 0,7 et t2 = 0,8 à partir des mesures expérimentales. 2. La fonction f , appelée loi horaire du mouvement de la bille, est-elle une fonction affine ? f (t) 3. Calculer 2 pour chacune des colonnes du tableau (arrondir, au besoin, les résultats à 10−2 t près) puis proposer une expression de f (t) en fonction de t qui soit conforme à ces résultats. 4. Déterminer la vitesse moyenne de la bille entre les instants t1 = 0,7 et t2 = 0,8 à partir du modèle choisi. 2 3 4 5. Dans cette question, t et h désignent des réels tels que t et (t + h) appartiennent à [0; 1]. a) Déterminer la vitesse moyenne de la bille entre les instants t et (t + h). 5 b) En déduire la vitesse instantanée de la bille à l’instant t. Activité 2 La tangente (du latin tangere = toucher ) en un point d’un cercle est une droite qui « touche » le cercle sans le « couper ». Soient C un cercle de centre O et A un point de ce cercle. La tangente en A à C est la droite perpendiculaire en A au rayon [OA]. On remarque qu’au voisinage du point de tangence, en l’occurrence le point A, il est difficile de distinguer la tangente du cercle. Intuitivement, la tangente en A à C est la droite qui approche au mieux le cercle C au voisinage de A. • O • A Partie A On donne ci-dessous (fig. 1, p. 2) la courbe représentative C d’une fonction f . Dans la suite, nous allons essayer de généraliser cette notion de tangente à la courbe représentative d’une fonction. 1. La fonction f est une fonction de référence. Quelle est cette fonction ? 2. Soit M le point de C d’abscisse 2. Tracer, au jugé, la droite qui vous semble correspondre à l’idée que l’on se fait de la tangente en M à C puis lire son coefficient directeur. 3. h désignant un réel non nul, on considère le point H, libre (c’est-à-dire mobile) sur C d’abscisse (2 + h). a) Justifier que les points M et H sont distincts, exprimer l’ordonnée de H en fonction de h puis établir que le coefficient directeur de la droite (M H) est égal à (h + 4). b) Comment placer H pour que la droite (M H) approche au mieux la courbe C au voisinage du point M ? Qu’est ce que cela revient à faire pour le réel h ? c) Déduire des questions précédentes ce qui vous semble être « le meilleur coefficient directeur » que l’on puisse proposer pour la tangente en M à C . Partie B On donne ci-dessous (fig. 2, p. 2) la courbe représentative C de f ainsi que quatre de ses tangentes (aux points d’abscisses respectives (−3), (−1), 1 et 3). 1. Compléter, par lecture graphique, le tableau ci-dessous : x Coefficient directeur de la tangente à C au point d’abscisse x −3 −2 −1 0 1 2 3 2. Soient x un réel, P le point de C d’abscisse x et R le point de C d’abscisse (x + h) où h désigne un réel non nul. a) Exprimer, en fonction des réels x et h, le coefficient directeur de la droite (P R). b) Expliquer en quoi le calcul de la question précédente permet de valider les résultats obtenus par lecture graphique dans la question 1. −4 −3 16 16 14 14 12 12 10 10 8 8 6 6 4 4 2 2 1 2 0 Figure 1 – Partie A −2 −1 3 4 −4 −3 1 2 0 Figure 2 – Partie B −2 −1 3 4 Activité 3 Un particulier a effectué un long trajet d’un peu moins de 640 kilomètres en voiture. La courbe ci-dessous représente la distance parcourue par le particulier, notée f (x) et exprimée en kilomètres, en fonction du temps écoulé depuis son départ, noté x et exprimé en heures. Arrêté par des gendarmes à la fin de son parcours, il a été accusé d’avoir commis un excès de vitesse, ce qu’il a formellement nié. Utiliser le graphique pour argumenter les deux points de vue puis préciser qui a raison. 600 500 400 300 200 100 1 2 3 4 5 6
