Chute libre dans un champ de pesanteur uniforme

Terminale S – Physique
Chapitre 10
Chute libre dans un champ de pesanteur uniforme
Issu de Les profs, tome 4 : « Rentrée des artistes », de Pica & Erroc.
1 – Définitions
1.1 – Chute libre
Un solide est en chute libre lorsqu’il n’est soumis qu’à l’action de son poids.
2
En toute rigueur, l’étude de la chute libre ne peut avoir lieu que dans le vide. Dans l’air, la chute sera
considérée comme libre si l’on peut négliger l’action de l’air sur le solide. On choisit pour cela un objet
 de masse volumique très supérieure à celle de l’air, pour que la valeur de la poussée
d’Archimède soit négligeable devant celle du poids (éviter les balles de ping pong ou les
plumes)
 de forme aérodynamique (sphérique par exemple), pour que la valeur de la force de
frottement soit négligeable devant la valeur du poids (expérience de la feuille de papier
froissée)
De plus, la valeur de la force de frottement augmentant avec la valeur de la vitesse, on choisit des
hauteurs de chute faibles (de l’ordre du mètre), pour que les valeurs des vitesses acquises restent faibles.
Galilée imagine une réponse à cette question et l’expose
dans son ouvrage intitulé Discours concernant deux
sciences nouvelles publié en 1638. Dans cet extrait,
Salviati (qui énonce les théories de Galilée) répond à
Simplicio (défenseur des positions les plus
conservatrices) :
SIMPLICIO. – Vous n’avez pas, je suppose, l’intention de
nous prouver qu’une balle de liège tombe à la même
vitesse qu’une balle de plomb ?
SALVIATI. – […] Ayant vu, dis-je, tout cela, j’en arrive à
la conclusion que si l’on éliminait complètement la
résistance du milieu, tous les corps tomberaient à vitesse
égale.
Aux alentours de 1670, Newton réalise une expérience
pour valider l’hypothèse de Galilée : à l’aide d’une
machine pneumatique, il fait le « vide » dans un long
tube de verre contenant une bille en fer, une boule en
liège et une plume. Le tube est rapidement retourné et
placé en position verticale, il observe alors la chute
simultanée des trois objets.
En 1971, lors de la mission Apollo 15, l’astronaute
David Scott, laisse tomber de la même hauteur un
marteau et une plume, et constate que les deux objets
arrivent simultanément sur le sol lunaire.
 Observer : plume_marteau.mov ou via YouTube
1.2 – Champ de pesanteur
Tout ce qui entoure la Terre tombe vers son centre : même nous, qui sommes retenus par le sol, et même
la Lune, qui s’en écarte à chaque instant suffisamment grâce à sa grande vitesse de rotation.
Pour rendre compte de ce phénomène d’attraction, on dit qu’il existe un champ1 de pesanteur au

voisinage de la Terre ; ce champ est caractérisé en un point par le vecteur g . Comme une aiguille
aimantée met en évidence, en s’orientant, l’existence d’un champ magnétique, un solide de masse m met
en évidence, en tombant, l’existence d’un champ de pesanteur.

L’action de la Terre sur un solide de masse m est modélisée par une force, le poids P tel que


P mg
force dirigée vers le centre de la Terre. On peut donc définit le champ de pesanteur par la relation

 P
g
m
1
Un champ traduit les modifications des propriétés de l’espace par une source : c’est un champ gravitationnel si la source est une masse, un champ
magnétique si la source est une aimantation ou un courant, un champ électrique si la source est une charge… De par sa présence et sa masse, la Terre
« génère » (du moins le modélise-t-on ainsi) un champ gravitationnel dit champ de pesanteur, représenté par un vecteur
massif de l’espace.

g qui confère un poids à tout objet
3
Ce champ a
 une direction : la verticale du lieu
 un sens : du haut vers le bas (vers le centre de la Terre)
 une intensité, dite intensité du champ de pesanteur, qui vaut en moyenne 9,8 N.kg–1 à la
surface de la Terre
La valeur du champ de pesanteur varie avec le lieu : elle diminue avec l’altitude, mais augmente avec la
latitude (angle entre l’équateur et la verticale du lieu).
Paris (alt. 33 m)
g = 9,811 N.kg–1
Equateur
g = 9,78 N.kg–1
Sommet du Mont Blanc
(alt. 4 809 m)
g = 9,792 N.kg–1
Pôle Nord
g = 9,83 N.kg–1
On peut préciser l’expression du champ de pesanteur à l’aide de la loi de gravitation universelle de
Newton. En effet, le poids s’identifie avec la force de gravitation exercée par la Terre sur le corps de
masse m,
P=F
s’écrit
m MT
m MT
m g = G d² = G (R + z)²
T
d’où, par identification,
M Terre
g ( z)  G 
2
 RTerre  z 
Cette expression tend à expliquer que les fusées et navettes soient lancés au plus près de l’équateur
terrestre. En effet, en plus de vastes étendues marines, les régions équatoriales ont la propriété d’être
plus éloignées du centre de la Terre que les régions polaires, puisque la Terre est aplatie aux Pôles. La
gravité équatoriale est donc plus faible que la gravité polaire…
1.3 – Champ de pesanteur uniforme
En classe de 1ère S, on a qualifié d’uniforme le champ magnétique dans une région de l’espace lorsque le
vecteur champ est identique en tout point de cette région : c’est le cas, par exemple, dans l’entrefer d’un
aimant en U ou à l’intérieur d’un solénoïde.
4
Lignes de champ magnétique dans un solénoïde
Lignes de champ magnétique dans l’entrefer d’un aimant en U
On considère que le champ de pesanteur est uniforme dans un domaine dont les dimensions sont de
l’ordre du kilomètre : on peut alors considérer que les verticales sont parallèles (à l’échelle de la Terre,
dont le rayon est de RT = 6 380 km >> 1 km) et que la valeur de g est constante.
Remarque : parallélisme
Une variation de 1 km sur la surface de la Terre équivaut à une variation angulaire au centre de
 1 
tan 1 
  0,009
 6380 
Ceci justifie que les lignes de champ de pesanteur puissent être considérées verticales.
Remarque : uniformité de g
Amusons nous à calculer la variation Δg de g sur une différence d’altitude Δz = 1 km par rapport à la
surface de la Terre :
g  g  z  0   g  z  1.103 m 

6,674.1011  5,974.1024
 6,380.10 
6 2

6,674.1011  5,974.1024
 6,381.10 
6 2
 9,795  9,792
 0,003 N .kg 1
g
0,003
ce qui représente une variation
 100 
 100  0,03% .
go
9,795
Pour l’ISS (Station Spatiale Internationale), à 400 km d’altitude, la gravité reste de 90 % de celle de la
surface terrestre : l’impesanteur ne peut donc pas s’expliquer par une absence de gravité… !
2 – Modélisation du mouvement
5
Etude de la chute de la balle dans le référentiel terrestre (a) et dans le référentiel du vélo (b).
L’étude de la chute libre d’un solide dans un champ de pesanteur uniforme est réalisée dans un
référentiel terrestre considéré comme galiléen (les durées de chute considérées étant de l’ordre de
quelques secondes tout au plus, elles sont négligeables devant la durée du jour terrestre).
2.1 – Vecteur accélération
Le système étudié est un solide de masse m et de centre d’inertie G.


Le poids P  m g est la seule force qui s’exerce sur ce système : la deuxième loi de Newton permet
d’écrire
 

F

P

m
a
 ext
G
soit


m g  m aG
et enfin
 
aG  g
Le vecteur accélération du centre d’inertie d’un solide lors d’une chute libre est égal au vecteur champ
de pesanteur : la valeur de l’accélération ne dépend pas de la masse du solide.
Ainsi, des billes qui tombent ont même vecteur accélération lors de leur chute quand bien même elles
auraient des masses différentes, et que cette chute se fasse avec ou sans vitesse initiale.
Remarque : dans la deuxième loi de Newton, nous avons implicitement supposé l’égalité entre masse gravitationnelle (dans
l’expression du poids) et masse inertielle (dans la 2ème loi de Newton). Cette équivalence est l’un des postulats centraux de la
théorie de la Relativité générale d’Einstein.
2.2 – Mouvement uniformément varié
 
Dans le référentiel terrestre, on choisit un repère d’espace orthonormal O ; i, j , k tel que l’axe vertical

z
O ; k est dirigé vers le haut.

g

k 
j
y
 O
i




x
 
La relation vectorielle aG  g permet d’écrire les coordonnées du vecteur accélération du centre

d’inertie du solide puisqu’on connaît celles de g .
ax (t )  0


aG  t   a y (t )  0
a (t )   g
 z
az (m.s–2)
0
L’accélération selon l’axe (Oz) est constante :
on dit que le mouvement selon la verticale est
uniformément varié. La représentation de az(t)
en fonction du temps est une droite horizontale.
–g
t (s)
6
2.3 – Equations différentielles du mouvement
Par définition, l’accélération étant la dérivée de la vitesse, on en déduit les équations différentielles
vérifiées par les coordonnées du vecteur vitesse,
 dvx
 dt  0

 dv y
0

 dt
 dvz
 dt   g

3 – Résolution analytique des équations différentielles


Il s’agit d’établir les équations horaires du vecteur vitesse v(t ) et du vecteur position OG (t ) du centre
d’inertie du solide, c’est-à-dire de donner les expressions de leurs coordonnées en fonction du temps.
Pour cela, il faut connaître les conditions initiales.
 
On choisit le repère O ; i, j , k de façon à ce que l’origine O soit la position du centre d’inertie G à


l’instant de date to = 0 s.
Envisageons différentes situations, selon l’existence ou non d’une vitesse de lancement dite vitesse

initiale vo .
3.1 – Chute libre sans vitesse initiale
a)Conditions initiales
A l’instant de date to, l’objet est lâché sans vitesse initiale,
 x t   0

  o
et
OM  to   OM o  y  to   0
 z t   0
 o
v  t   0

  x o
v  to   vo v y  to   0
v  t   0
 z o
b)Détermination du vecteur vitesse
 dvx
 dt  0

 dv y
0

 dt
 dvz
 dt   g

donne par intégration
vx (t )  C1

v y (t )  C2
v (t )   g t  C
3
 z
On détermine les valeurs des constantes à l’aide des conditions initiales. Nous avons donc ici
 v  t   C1  0

  x o
v  to   vo v y  to   C2  0
v t   C  0
3
 z o
Dans une chute libre sans vitesse initiale, les coordonnées du
vecteur vitesse du centre d’inertie vérifient les équations horaires
v (t )  0
  x
v (t ) v y (t )  0

vz (t )   g t
7
La valeur de la vitesse instantanée est donnée par
v(t )  vx 2 (t )  v y 2 (t )  vz 2 (t )
Dans le cas étudié, nous avons
v(t )  g t
Le mouvement rectiligne uniformément varié est qualifié
d’uniformément accéléré.
c)Détermination du vecteur position
Par définition, la vitesse est la dérivée de la position. Pour obtenir cette dernière, il nous faut donc
intégrer la vitesse sur le temps.
 dx

 dt  0
 x(t )  C4
  dy
 
donne par intégration
OM (t )  y (t )  C5
v(t )   0

 dt
1 2

 dz
 dt   g t
 z (t )   2 g t  C6


On détermine les valeurs des constantes à l’aide des conditions initiales. A l’instant de date to, nous
avons posé que le vecteur position était nul. Il vient donc
 x  t   C4  0

  o
OM  to   OM o  y  to   C5  0
 z t   C  0
6
 o
et ainsi

 x(t )  0
 
OM (t )  y (t )  0

1 2

 z (t )   2 g t

3.2 – Chute libre avec vitesse initiale de direction quelconque
On suppose maintenant qu’à l’instant de date to = 0 s, le solide est lancé avec une vitesse non nulle,


v  to   vo .
a)Conditions initiales
z

Pour un vecteur vo donné, on peut toujours trouver
 

un repère O ; i, j , k tel que le vecteur vo soit


contenu dans le plan  xOz  ; on note alors α

l’angle que fait vo avec l’horizontale.
voz = vo sin α

k

vo

i
α
x
vox = vo cos α
8
Les conditions initiales s’écrivent alors
 x(t )  0
  o
OM o  y (to )  0
 z (t )  0
 o
et
v (t )  vox  vo cos 

  x o
v(to )  vo v y (to )  voy  0
v (t )  v  v sin 
oz
o
 z o
b)Détermination du vecteur vitesse
 dvx
 dt  0
vx (t )  C1


 dv y
0
donne par intégration

v y (t )  C2
v (t )   g t  C
 dt
3
 z
 dvz


g
 dt

On détermine les valeurs des constantes à l’aide des conditions initiales,
v (t )  C1  vo cos 
  x o
vo v y (to )  C2  0
v (t )  C  v sin 
3
o
 z o
Les coordonnées du vecteur vitesse sont donc, à chaque instant,
v (t )  vo cos 
  x
v(t ) v y (t )  0
v (t )   g t  v sin 
o
 z
c)Détermination du vecteur position
Les coordonnées du vecteur position s’obtiennent par intégration de celles du vecteur vitesse,

 x(t )  vo  cos   t  C4
vx (t )  vo cos 
 
 
donne, après intégration,
OM (t )  y (t )  C5
v(t ) v y (t )  0

v (t )   g t  v sin 
o
 z
1 2

 z (t )   2 g t  vo  sin   t  C6

On détermine les valeurs des constantes à l’aide des conditions initiales : le vecteur position étant
initialement nul, les constantes sont elles aussi nulles. Ainsi, le vecteur position instantané s’écrit

 x(t )  vo  cos   t
 
OM (t )  y (t )  0

1 2

 z (t )   2 g t  vo  sin   t

Comme y(t) = 0, le mouvement s’effectue dans le plan  xOz  , c’est-à-dire le plan vertical contenant le

vecteur vitesse initiale vo .
Suivant l’axe horizontal, le mouvement est rectiligne et uniforme.
Suivant l’axe vertical, le mouvement est rectiligne et uniformément varié.
Mouvement horizontal rectiligne et uniforme
Mouvement
Vertical rectiligne et
(uniformément) accéléré
Le cliché précédent est une chronophotographie du mouvement d’une balle lancée observée dans un
référentiel terrestre. La durée qui sépare deux images successives de la balle est constante (et très
rapide : mode rafale, principe de la caméra vidéo), ce qui permet d’en conclure concernant sa vitesse.
Equation de la trajectoire
Comme le mouvement est situé dans le plan  xOz  , l’équation cartésienne de la trajectoire prend la
forme z(x) : pour l’obtenir, nous partons des équations horaires x(t) et z(t), et nous allons éliminer la
date t.
 x(t )  vo  cos   t


1 2
 z (t )   g t  vo  sin   t

2
(1)
(2)
A l’aide de l’équation (1), nous pouvons exprimer t en fonction de x :
x
t
vo cos 
et insérer cette expression dans l’équation (2) :
2

1 
x 
x 
z (t )  z ( x)   g 
  vo  sin   

2  vo cos  
 vo cos  
c’est-à-dire
z ( x)  
g
2  vo cos  
2
x2 
vo sin 
x
vo cos 
et plus proprement
z ( x)  
g
x 2   tan   x
2  vo cos  
z(x) est une fonction du second degré, dont la représentation graphique est une parabole, ce qui est
conforme à la chronophotographie du mouvement observé.
2
9
10
Flèche et portée du mouvement : un peu de balistique
La flèche de la trajectoire est l’altitude maximale atteinte, elle correspond à l’altitude du point S de la
trajectoire.
L’une des méthodes de détermination des coordonnées du point S consiste à utiliser le fait qu’en ce
point, le vecteur vitesse est horizontal : sa coordonnée vz(tS) est donc nulle.
vz  tS    g t S  vo sin   0
d’où l’on déduit la date de passage en S,
v sin 
tS  o
g
qui permet d’obtenir les coordonnées du point S à l’aide des équations horaires du mouvement,
2

vo 2 cos  sin  vo sin  2 

 x  t S   vo  cos   tS 
g
2g


2
1
1  vo sin   vo 2 sin 2  vo 2 sin 2 

2

 z  t S    2 g t S  vo  sin   tS   2 g  g  
g
2g



La flèche est alors donnée par la valeur de z(tS). S’agissant d’un maximum de la trajectoire, on peut
aussi la déterminer en partant de y(x), en dérivant et en cherchant l’annulation de la dérivée.
La portée est la distance entre le point de lancement O et le point d’impact P sur le plan horizontal
contenant O.
En P, la coordonnée z de la position s’annule, soit d’après l’équation de la trajectoire
g
zP  
x 2   tan   xP  0
2 P
2  vo cos  
2
2vo 2 cos2  tan  2vo 2 sin  cos  vo sin  2 
xP 


g
g
g
On peut remarquer que, pour une valeur vo, la portée est maximale lorsque sin (2α) = 1, c’est-à-dire
lorsque α = 45°.
Les valeurs de la portée et de la flèche dépendent des conditions initiales.
11
Influence des conditions initiales sur la
flèche et la portée
a. l’angle α est constant ; la valeur de
vo de la vitesse initiale augmente de
la courbe 1 à la courbe 4.
b. L’angle α varie ; la valeur vo de la
vitesse initiale est constante.
N’oubliez pas de faire quelques exercices d’application !!