c2

C2 : Application des lois de Newton et des lois de Kepler
I-
Mouvement d’un système dans un champ uniforme
1) Champ de pesanteur uniforme :
Un champ de pesanteur est considéré comme uniforme dans une région de l’espace si sa
direction, son sens et sa valeur sont les mêmes en tout point de cette région.
Alors, on a : 𝑔⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑐 𝑠𝑡
2) Cas d’un objet dans un champ de pesanteur uniforme :
Toute étude du mouvement nécessite de définir un référentiel d’étude et le système à
étudier.
On étudie le mouvement d’un système quelconque de masse 𝑚 au voisinage de la Terre.
On définit alors le système {Solide} dans le référentiel du laboratoire considéré comme
⃗⃗ ) de l’espace associé.
galiléen et on définit un repère orthonormé (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
 Conditions initiales :
On détermine les conditions initiales du système en analysant son mouvement :
Les conditions initiales sont le vecteur vitesse initiale ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑣0 l’angle par rapport à l’axe des
abscisses 𝛼 et la position initiale du point.
On choisit le repère orthonormé de telle sorte que la position du point initiale soit l’origine
du repère.
Le vecteur position initiale (ou « à l’instant 𝑡 = 0 ») s’écrit alors :
0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀𝑡=0 = (0)
0
Le vecteur vitesse initiale ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣0 se détermine en utilisant la trigonométrie :
La composante de ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣0 sur l’axe des abscisses se déduit de la relation :
cos 𝛼 =
𝑣𝑥
𝑣0
La composante de ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣0 sur l’axe des ordonnées se déduit de même, de la relation :
sin 𝛼 =
𝑣𝑧
𝑣0
La composante de ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣0 sur l’axe (Ox) est évidemment nulle puisque le mouvement s’effectue
⃗⃗ ).
seulement dans le plan (𝑂, 𝑗⃗, 𝑘
Le vecteur « vitesse initiale » vérifie donc :
𝑣𝑥 (𝑡 = 0)
𝑣0 cos 𝛼
𝑣0 = (𝑣𝑦 (𝑡 = 0)) = ( 0 )
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣0 sin 𝛼
𝑣𝑧 (𝑡 = 0)
 Bilan des forces
Dans cette situation, seul le poids 𝑃⃗⃗ est pris en compte dans le bilan des forces. Le poids 𝑃⃗⃗
vérifie les propriétés suivantes :
Point d′ application ∶ centre de gravité du solide
Direction ∶ Verticale du lieu
𝑃⃗⃗ ∶
𝑆ens ∶ Vers le bas
Norme ∶ ‖𝑃⃗⃗‖ = 𝑚𝑔
{
Plus généralement : 𝑃⃗⃗ = 𝑚𝑔⃗
Les forces de frottements 𝑓⃗ et la poussée d’Archimède (qui s’applique aussi de l’air sur le
solide) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Π𝑎 sont considérées comme négligeables.
Le vecteur 𝑔⃗ a pour coordonnées :
0
𝑔⃗ = ( 0 )
−𝑔
En effet comme le schéma le montre, le vecteur 𝑔⃗ est perpendiculaire à l’axe des abscisses
donc sa composante selon l’axe (𝑂𝑥) est nulle. Etant dans le plan, sa composante selon
l’axe (𝑂𝑦) est nulle aussi. Seule sa composante selon (𝑂𝑧) n’est pas nulle et vaut −𝑔 car le
vecteur 𝑔⃗ a pour sens le centre de la Terre.
 Deuxième loi de Newton appliquée au système
On a :
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑒𝑥𝑡 =
𝑑𝑝⃗
𝑑𝑡
Or, ici on considère que 𝑚 = 𝑐 𝑠𝑡 et 𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗
⇒ ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚
𝑑𝑣⃗
𝑑𝑡
⇒ ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎⃗
Donc on a :
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑃⃗⃗ = 𝑚𝑎⃗
⇔ 𝑚𝑔⃗ = 𝑚𝑎⃗
⇔ 𝑔⃗ = 𝑎⃗
Donc le vecteur accélération du mobile a les mêmes coordonnées que 𝑔⃗, l’accélération de la
pesanteur :
0
𝑎⃗ = ( 0 )
−𝑔
Remarques :
 Un objet qui est soumis uniquement à son poids est en chute libre (on néglige les
forces de frottements et la poussée d’Archimède).

Lorsqu’on est dans un champ de pesanteur uniforme, l’accélération de l’objet est
constante, on a : 𝑔⃗ = 𝑎⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑐 𝑠𝑡

L’accélération de l’objet ne dépend pas de sa masse.
 De l’accélération à la vitesse
La détermination du vecteur vitesse nécessite de rechercher la primitive par rapport au
temps de chaque coordonnées du vecteur accélération en tenant compte des conditions
initiales.
Définition : Une primitive d’une fonction et une fonction qui une fois
dérivée redonne la fonction.
Exemple :
La primitive de la fonction 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 et la fonction 𝐹(𝑥) = 𝑥² + 𝑥
car si on dérive 𝐹 on obtient 𝑓.
On a donc :
0
𝑎⃗ = ( 0 )
−𝑔
On cherche les primitives des composantes de 𝑎⃗ puisque 𝑎⃗ =
⃗⃗
𝑑𝑣
𝑑𝑡
c’est-à-dire de :
𝑎𝑥 = 0
𝑎
{ 𝑦=0
𝑎𝑧 = −𝑔
On a donc :
𝑣⃗(𝑡) = (
𝐴
𝐵 )
−𝑔𝑡 + 𝐶
Où 𝐴, 𝐵, 𝐶 sont des constantes.
Ceci est la forme générale de la vitesse du mobile pour tout instant 𝑡 de son parcours. On
peut à présent déterminer les constantes 𝐴, 𝐵, 𝐶 grâce aux conditions initiales :
𝐴
𝐵
)
−𝑔 × 0 + 𝐶
𝑣0 cos 𝛼
𝑣0 = ( 0 )
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣0 sin 𝛼
𝑣⃗(𝑡 = 0) = (
{
Or, 𝑣⃗(𝑡 = 0) = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣0
Donc on détermine les constantes par identification :
𝐴 = 𝑣0 cos 𝛼
{ 𝐵=0
𝐶 = 𝑣0 sin 𝛼
L’expression du vecteur vitesse est donc :
𝑣0 cos 𝛼
0
𝑣⃗(𝑡) = (
)
−𝑔𝑡 + 𝑣0 sin 𝛼
Remarques :
 Le vecteur vitesse 𝑣⃗ d’un objet placé uniquement dans un champ de pesanteur
uniforme ne dépend pas de la masse de l’objet.

La vitesse horizontale est constante donc le mouvement horizontal est uniforme.

La vitesse verticale n’est pas constante mais le vecteur accélération est constant
sur l’axe vertical : 𝑎𝑧 = 𝑐 𝑠𝑡 donc le vitesse verticale est uniformément variée.
 De la vitesse à la position
La détermination du vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀(𝑡) nécessite de recherche la primitive du vecteur
vitesse vitesse par rapport au temps (c’est-à-dire qu’on détermine une primitive pour
chacune de ses coordonnées).
On a :
𝑣0 cos 𝛼
0
𝑣⃗(𝑡) = (
)
−𝑔𝑡 + 𝑣0 sin 𝛼
Or, 𝑣⃗(𝑡) =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡)
𝑑𝑂𝑀
𝑑𝑡
donc :
𝑣0 cos 𝛼 𝑡 + 𝐷
𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀(𝑡) = ( 1
)
− 𝑔𝑡 2 + 𝑡𝑣0 sin 𝛼 + 𝐹
2
Où 𝐷, 𝐸, 𝐹 sont des constantes.
De la même manière, on détermine les constantes grâce aux conditions initiales.
On a :
𝑣0 cos 𝛼 × 0 + 𝐷
𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀(𝑡 = 0) = ( 1
)
− 𝑔 × 02 + 0 × 𝑣0 sin 𝛼 + 𝐹
2
0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀(𝑡=0) = (0)
{
0
En effet, à l’instant 𝑡 = 0 le mobile a pour position l’origine du repère (c’est une condition
initiale). On retrouve de même par identification :
𝐷=0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀(𝑡 = 0) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀(𝑡=0) ⇒ { 𝐸 = 0
𝐹=0
L’expression de la position en fonction du temps dans un champs de pesanteur uniforme
s’écrit alors :
𝑣0 cos 𝛼 𝑡
0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀(𝑡) = ( 1
)
− 𝑔𝑡² + 𝑡𝑣0 sin 𝛼
2
Les équations :
𝑥(𝑡) = 𝑣0 cos 𝛼 𝑡
𝑦(𝑡) = 0
{
1
𝑧(𝑡) = − 𝑔𝑡² + 𝑡𝑣0 sin 𝛼
2
Sont les équations horaires du mouvement.
Les équations horaires traduisent l’évolution des coordonnées de la position en fonction du
temps. Le mouvement s’effectue dans un plan pour un objet soumis à un champ de
pesanteur. Le plan du mouvement est alors défini de telle sorte qu’il contienne toujours les
vecteurs 𝑔⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗.
𝑣0
 De la position à la trajectoire
L’équation de la trajectoire est une équation de la forme : 𝑧 = 𝑓(𝑥). On souhaite
déterminer 𝑧 en fonction de 𝑥.
On a :
𝑥 = 𝑣0 cos 𝛼 𝑡
⇔𝑡=
𝑥
𝑣0 cos 𝛼
Or,
1
𝑧 = − 𝑔𝑡² + 𝑡𝑣0 sin 𝛼
2
Donc :
𝑧=−
𝑔
sin 𝛼
𝑔
𝑥2 +
𝑥=−
𝑥 2 + tan 𝛼 𝑥
2𝑣0 cos 𝛼
cos 𝛼
2𝑣0 cos 𝛼
C’est l’équation de la trajectoire. Il s’agit donc d’une fonction trinôme, donc la trajectoire
sera de forme parabolique.
Remarque :
1
Dans le cas où la vitesse initiale est nulle : 𝑣0 = 0 alors 𝑣𝑧 (𝑡) = −𝑔𝑡 ⇒ 𝑧(𝑡) = − 2 𝑔𝑡²
C’est un mouvement rectiligne uniformément accéléré.