4ème : Chapitre14 : Puissances de 10 ; écritures scientifiques 1. Puissances de 10 ; introduction 1.1 Grands et petits nombres Distance terre-soleil : 150 000 000km Diamètre de notre galaxie : 1 000 000 000 000 000 000 km Épaisseur d'un cheveu : 0,000 05m Diamètre d'un virus : 0,000 000 000 1m Il n'est pas pratique d'écrire beaucoup de zéros. On transforme l'écriture de ces nombres avec des puissances de 10. 1.2 Écritures notations 1.3 Puissance avec exposant négatif 1.4 Exemples 2. Puissances de 10 et formules Soient m et n deux entiers relatifs. 10 n×10m=10n+m Exemples : 105×1025=105+25 10-3×10-9=10-3+(-9) 1,4×108×2×105=1,4×2×108×105 =1030 =10-12 =2,8×108+5 =2,8×1013 Remarque : Priorité des opérations : L'écriture 105+25 signifie 10(5+25) doc a.garland page1/3 10n =10n−m m 10 Soient m et n deux entiers relatifs : Exemples : 10 28 =10 28−30 30 10 =10−2 9,6×109 9,6 10 9 = × −4 2 10 2×10−4 =4,8×10 9−(−4) =4,8×1013 10−5 =10−5−(−6) −6 10 =101 Soient m et n deux entiers relatifs : (10n)m=10n×m Exemples : (1025)3=1025×3 =1075 2 2 (3×10 7) =3 2×( 107 ) =9×107×2 =9×1014 3. Problèmes concrets Enoncé1 : Le poids d'un atome de carbone est de 1,99×10-26kg. Quel est le poids de 5×1022 atomes de carbones ? Solution : 1,99×10−26×5×10 22=5×1,99×10−26×1022 =9,95×10−4 5×1022 atomes de carbone pèsent 9,95×10-4kg soit 0,995 grammes Enoncé2 : La masse de l'étoile Van Maanen est de 1,38×1030kg et son volume est de 4,6×1021 m3. Calculer la masse de 1m3 de cette étoile. Solution : 1,38×1030 1,38 1030 = × 4,6 1021 4,6×10 21 =0,3×1030−21 =0,3×109 La masse d'un m3 de cette étoile pèse 0,3×10 9 kg soit 300 000 000kg 4. Écritures scientifiques 4.1 Définition Tout nombre décimal positif peut s'écrire en écriture scientifique sous la forme : a×10 p où a est un nombre décimal tel que 1⩽a< 10 et p est un nombre entier relatif Exemples : 0,0341=3,41×0,01 =3,41×10-2 3,41×10-2 est l'écriture scientifique de 0,0341 34 500=3,45×10 000 =3,45×104 3,45×104 est l'écriture scientifique de 34 500 Remarque : Un nombre décimal négatif peut aussi s'écrire en écriture scientifique. (on ajoute le signe moins) -3,45×104 est l'écriture scientifique de -34 500 Enoncé1 : Enoncé2 : Donner un ordre de Donner les grandeur de C=5 812 342×449 109 876. écritures scientifiques de Solution : 5 812 342 est proche de 5,8×10 6 A=238×105 et 449 109 876 est proche de 4,5×10 8 B=0,045×1012 C 5,8×106×4,5×108 Solutions : C 5,8×4,5×106×108 5 A=238×10 C 26,1×106+8 A=2,38×102×105 C 2,61×101×1014 A=2,38×107 C 2,61×1015 2,61×1015 est un ordre de grandeur de C. 12 B=0,045×10 B=4,5×10-2×1012 B=4,5×1010 4.2 Calculatrice doc a.garland page2/3 5. Deux exemples du brevet Enoncé1 : (Inspiré du Brevet) 2,5×10−3×9×105 Soit B= . Donner l'écriture 15×10−4 décimale et l'écriture scientifique de B. Solution : 2,5×10−3×9×105 B= 15×10−4 2,5×9 10−3×105 B= × 15 10−4 22,5 10(−3+5) B= × 15 10−4 102 B=1,5× −4 10 B=1,5×10(2−(−4)) B=1,5×106 B=1 500000 L'écriture décimale de B est 1 500 000 et l'écriture scientifique de B est 1,5×106 4ème : Objectifs Enoncé2 : (Inspiré du Brevet) Donner l'écriture scientifique du nombre A tel 7×1015×8×10−8 que A= . 5×10−4 Solution : 7×1015×8×10−8 A= 5×10−4 7×8 1015×10−8 A= × 5 10−4 15−8 56 10 A= × −4 5 10 10 7 A=11,2× −4 10 A=11,2×107−(−4) A=11,2×1011 A=1,12×101×1011 A=1,12×101+11 A=1,12×1012 L'écriture scientifique de A est A=1,12×1012 et Socle Commun - CHAPITRE14 : Puissance de 10. 4N203 Sur des exemples numériques, écrire et interpréter un nombre décimal sous différentes formes faisant intervenir des puissances de 10. / 4N204 Utiliser la notation scientifique pour obtenir un encadrement ou un ordre de grandeur du résultat d’un calcul. / 4N202 Utiliser sur des exemples numériques les égalités : 10 × 10 = 10 entiers relatifs. m n , 1/10 = 10 m+n n –n , (10 ) = 10 m n m×n où m et n sont des SC335 SC335 : Socle commun Palier3 (collège) ; Compétence3 (Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique) ; Thème : Savoir utiliser des connaissances et des compétences mathématiques ; Item : Nombres et calculs : connaître et utiliser les nombres entiers, décimaux et fractionnaires. Mener à bien un calcul : mental, à la main, à la calculatrice, avec un ordinateur. doc a.garland page3/3