Les nombres complexes

PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
Table des matières
Introduction historique.........................................................................................................................2
I- Les nombres complexes....................................................................................................................4
1- Parties réelles et imaginaires.......................................................................................................4
2- Opérations sur les nombres complexes.......................................................................................4
3- Conjugué d'un nombre complexe................................................................................................5
4- Module d'un nombre complexe...................................................................................................6
5- Interprétation géométrique..........................................................................................................8
II- Nombres complexes de module 1 et trigonométrie.......................................................................10
1- L'ensemble U des nombres complexes de module 1.................................................................10
a- Définition et propriétés.........................................................................................................10
b- Paramétrage du cercle trigonométrique................................................................................11
c- Exponentielle complexe........................................................................................................14
2- Argument d'un nombre complexe non nul.................................................................................15
a- Formes trigonométriques......................................................................................................15
b- Propriétés..............................................................................................................................16
c- Interprétation géométrique....................................................................................................16
d- Transformation d'expression du type :..................................................................................17
3- Application à la trigonométrie (en grec « mesure des triangles»).............................................17
a- Les formules de base.............................................................................................................17
b- Les formules de duplication..................................................................................................18
c- Transformations de produits en somme et vice-versa...........................................................19
d- Linéarisation de polynômes trigonométriques : formules d'Euler........................................20
e- Expression de en fonction de : formule de Moivre.............................................................20
f- Factorisation..........................................................................................................................21
III- Équations algébriques..................................................................................................................23
1- Équation du second degré..........................................................................................................23
a- Racine carré d'un nombre complexe.....................................................................................23
b- Résolution de l'équation du seconde degré à coefficients dans C.........................................24
c- Cas particulier : équation à coefficients réels.......................................................................25
d- Relation entre les racines et les coefficients.........................................................................25
2- Racines nième d'un nombre complexe......................................................................................26
a- Le groupe Un des racines nième de l'unité...........................................................................26
b- Interprétation géométrique et exemples................................................................................27
c- Cas général :..........................................................................................................................27
IV- Nombres complexes et transformations géométriques.................................................................29
Conclusion..........................................................................................................................................30
1/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
Introduction historique
–1545 : Jérôme Cardan (Girolamo Cardano 1501-1576), savant italien, écrit Artis magnae sive
de regulis algebraicis (Du grand Art ou des règles de l'Algèbre) plus connu sous le nom d'Ars
Magna. (Tartaglia, Scipione Del Ferro) : résolution de l'équation du 3ième degré.
L'équation x 3+px+q=0 admet comme solutions :
x= 3−
q
+
2
q 2 p3 3 q
q 2 p3
+
+ − −
+
4 27
2
4 27
–1572 : Raffaelle Bombelli (1526-1572),mathématicien italien, écrit en 1572 l'Algebra. Il
considère l'équation x 3=15x+4 et les formules de Cardan donne :
x = 3 2 + −121 + 3 2 − −121
Et (2+i)3=2+√ 121 et (2 i)3=2 √ 121 et on trouve x=2+i+2 i=4 .
Il introduit le module, le conjugué, les parties réelles et imaginaires d'un nombre complexe, et les
règles de calcul sur les nombres complexes.
–1629 : Albert Girard (1595-1632) affirme (à Amsterdam) dans son « Invention nouvelle en
Algèbre » que tout équation de degré n doit avoir n racines (en prenant en compte les racines
négatives imaginaires).
–1673 : John Wallis(1616-1703) ,mathématicien anglais tente de trouver une représentation
géométrique des imaginaires.
–1637 : Réné Descartes(1596-1650) utilise le terme « imaginaire » dans « La Géométrie » en
1637.
–1730 : Abraham De Moivre(1667-1754), mathématicien français établit sa formule :
(cos (x )+i sin( x))n=cos( nx)+isin ( nx)
–1746 : Jean le Rond D'Alembert (1717-1783) « démontre » que tous les nombres imaginaires
sont de la forme a+ib .
–1777 : Leonhard Euler(1707-1783),mathématicien suisse introduit le symbole i, première lettre
du mot latin « Imaginarius ». Il introduit aussi le symbole Σ pour la somme.
–1797 : l'allemand Karl Friedrich Gauss (1777-1855) et Caspard Wessel (1745-1818, Norvège,
Danemark) découvre en même temps et séparément la représentation géométrique des nombres
complexes.
–1806 : Jean Robert Argand (1768-1822), comptable suisse, établit à son tour la représentation
géométrique des nombres complexes.
2/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
–1828 : John Warren (1796-1852) , mathématicien anglais, ramène les opérations sur les nombres
complexes à des transformations géométriques dans le plan
–1831 : Karl Friedrich Gauss invente le terme « nombre complexe ».
–1833 : Sir William Rowan Hamilton (1805-1865), mathématicien irlandais établit la théorie
définitive des nombres complexes comme couple de nombres réels.
Application
–En mathématiques : corps algébriquement clos (tout polynôme non constant admet une racine ),
permet de simplifier les résultats dans ℝ (polynômes irréductibles de ℝ , équations
différentielles), analyse complexe (fonctions holomorphes, séries entières), théorème des nombres
premiers, calcule d'intégrales réelles (théorème des résidus).
–En physique : électricité, électrostatique, mécanique des fluides, équation de la chaleur. Souvent
le potentiel vérifie une équation aux dérivées partielles (fonctions harmoniques) qui peut être
résolue par les fonctions complexes à valeurs complexes. (fonctions holomorphes : fonctions
dérivables au sens complexe).
3/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
I- Les nombres complexes
1- Parties réelles et imaginaires.
Définitions
Un nombre complexe s'écrit de façon unique la forme : z =aib avec a , b∈ℝ 2 et
i 2= 1 .(écriture algébrique)
Dans ce cas : a est la partie réelle de z notée a=ℜ z  et b est la partie imaginaire notée
b=ℑ  z  .
L'ensemble des nombres complexes est noté ℂ .
Remarques :
- on peut identifier un nombre complexe à un couple de nombres réels.
1=(1,0) et i=(0,1) . ℂ est identifié à ℝ2 .
–
–
Les nombres de la forme b i avec b∈ℝ sont les imaginaires purs.
La propriété se traduit par : (1,i) est une base de ℂ considéré comme ℝ espace
vectoriel.
Conséquence : interprétation géométrique. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct.
À tout point du plan M(a,b) on associe un unique nombre complexe, son affixe z M =a+bi , et
réciproquement.

Affixe d'un vecteur AB=z
B zA .
Propriétés :
un nombres complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont
nulles.
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si il sont même partie réelle et
imaginaire.
2- Opérations sur les nombres complexes.
Définitions :
Soient
z =a+ib et z ' =a '+ib ' alors :
z +z ' =( a+a ' )+i (b+b ') .
z ×z ' =( aa ' bb ' )+i( ab ' +a ' b)
ℜ( z+z ' )=ℜ( z)+ℜ( z ' )
ℑ( z+ z ' )=ℜ( z )+ℜ( z ')
ℜ( z×z ' )=ℜ( z) ℜ( z ' ) ℑ(z ) ℑ( z ' )
4/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
ℑ(z× z ' )=ℜ(z )ℑ(z ' )+ℑ(z ) ℜ(z ')
Lien avec la trigonométrie (cosinus et sinus)
Re et Im sont des applications ℝ linéaires. Ce sont des projections.
Remarques : dans ℂ , on a les mêmes règles de calcul que dans ℝ .
z 1×(z 2 +z 3)=z 1×z 2+z 1× z 3
L'addition et la multiplication sont commutatives et associatives.
La multiplication est distributive par rapport à l'addition.
0 est l'élément neutre de l'addition et 1 celui de la multiplication.
1
a
b
i
Tout nombre complexe non nul admet un inverse : = 2 2
2
z a +b a +b2
Identités remarquables.
z ×z ' =0 ⇔ z =0 ou z '=0
ℂ muni de l'addition et de la multiplication est un corps qui contient le corps des réels.
3- Conjugué d'un nombre complexe.
Définition :
Soit z=x+iy , avec x et y réels. Le conjugué de z est le nombre complexe noté z̄ , défini par :
z̄=x iy
Interprétation géométrique : le point d'affixe z̄ est le symétrique du point d'affixe z, par rapport à
l'axe des réels. Le symétrique par rapport à l'axe des imaginaires pur est – ̄z .
Définition : une fonction f de E dans E est involutive si : f ∘f =Id E
Exemple de fonctions évolutives : fonction inverse, fonction z → z inversion.
On peut remarquer qu'une fonction involutive est toujours bijective (injective et surjective).
z =z
Propriété : La conjugaison est involutive. ̄
Analogie avec les symétries s 2=s ∘s=Id .
Propriété : ℜ( z)=
z+z̄
z z
ℑ(z)= ̄
2
2i
Propriétés : z ∈ℝ⇔ z=̄z z imaginaire pur ⇔ z= ̄z
5/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
Propriétés :
Soient z et z' deux nombres complexes
z+z '=z+z ' zz '=z×z '
aa ' bb '+(ab '+a ' b) i .
Si b et b' changent de signe, la partie réelle est conservée et la partie imaginaire est changée en son
opposé.
Ces propriétés peuvent s'étendre à plusieurs nombres complexes, en particulier :
n
n
z =z et ∀α ∈ℝ, α z=α z
Application : si un polynôme P à coefficients réels admet une racine complexe z, alors z̄ est aussi
une racine de P.
De plus si z' est non nul, alors
Démonstration : On utilise
z z
1 1
=
en particulier : =
z' z '
z z
z
×z '=z et la propriété sur le conjugué d'un produit.
z'
Caractérisation :
Il n'existe que 2 fonctions de ℂ dans ℂ qui vérifie f (z+z ')=f ( z)+f ( z ') et f (zz ')=f (z )f ( z ')
et telles que f (z )=z si z est réel. La conjugaison et l'identité.
On démontre en effet que (f (i))2 = 1 f (i)=i ou i et la conservation de l'addition donne le
résultat. (*)
Les seules automorphismes du corps ℂ qui sont l'identité sur ℝ sont l'identité et la conjugaison.
4- Module d'un nombre complexe
Définition :
Le module d'un nombre complexe z, est le réel positif, noté ∣z∣ , défini par : ∣z∣=√ z× z
Si z=a+ib avec a et b réels alors ∣z∣=√ a 2+b 2 .
Remarques :
la dénomination « module d'un nombre complexe » est due à Argand (1806).
–le module d'un nombre complexe est une extension de la valeur absolue d'un nombre réel.
–Interprétation géométrique : ∣z∣ est la distance OM(z) et ∣z ' z∣ est la distance MM ' .
L'ensemble U des nombres complexes tels que ∣z∣=1 , est représenté par le cercle
trigonométrique (centre O, rayon 1).
Cercle de centre a et de rayon r. {M ∈P∣∣z a∣=r }
6/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
Disque fermé de centre a et de rayon r {M ∈P∣∣z a∣≤r }
Disque ouvert de centre a et de rayon r {M ∈P∣∣z a∣<r } et disque fermé.
Propriété:
∣ℜ(z )∣≤∣z∣ et ∣ℑ(z )∣≤∣z∣
Démonstration :
∣a∣≤√ a 2+b 2 ⇔∣a∣2≤a 2+b2 ⇔a 2 ≤a 2+b 2 ⇔ 0≤b 2 .
Interprétation géométrique : l'hypoténuse est le plus grand des côtés d'un triangle rectangle.
Remarques : plus généralement, dans un espace euclidien, les projections orthogonales diminuent
les distances. (et toute projection qui diminue les distances est une projection orthogonale).
On a aussi : ∣z∣≤∣ℜ(z )∣+∣ℑ(z )∣
Propriété: ∣z∣=∣ z∣=∣̄z∣
Propriétés :
– ∣z∣=0 ⇔ z =0
– ∣zz '∣=∣z∣∣z '∣ (peut s'étendre à plusieurs nombres complexes)
– ∣z +z '∣≤∣z∣+∣z '∣ Inégalité triangulaire.
Égalité si et seulement si l'un des nombres complexes est nul ou ∃α>0 tel que :
z =α z '
Remarque : on dit que le module est une norme sur le corps des nombres complexes. Il étend la
valeur absolue aux nombres complexes.
Démonstration :
a 2+b 2=0 ⇔a=0 et b=0
2
2
̄ '=zz ' ̄z ̄
On utilise : ∣zz '∣2 =zz ' zz
z '=z ̄
z z'̄
z '=∣z∣ ∣z '∣ . Deux nombres positifs sont égaux si et
seulement si leur carré sont égaux.
Le module d'un produit est le produit des modules.
Application : le produit de deux nombres entiers somme de deux carrés, est nombre entier somme
de deux carrés.
Inégalité triangulaire :
2
2
∣z z '∣≤∣z∣∣z '∣⇔∣zz '∣2 ≤∣z∣∣z '∣ ⇔ zz '  z z ' ≤∣z∣∣z '∣ ⇔
z z  z z'  z ' zz ' z' ≤∥z∥22∥z∥∥z '∥∥z '∥2
7/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
⇔2 ℜ z z'≤2∥z z '∥⇔ ℜ z z' ≤∥z z'∥ La dernière propriété est toujours vraie.
Cas d'égalité:
On a égalité si et seulement si : ℜ( z ̄z ' )=∣z z̄'∣
Le module d'un nombre complexe est égal à sa partie réelle si et seulement si c'est un nombre réel
positif.
On a égalité si et seulement si :
Soit
z ' =0 ou
z z '=
z =0 . Soit z s'écrit :
avec ∈ℝ  .
z = z ' avec =

2 . Condition nécessaire.
∥z '∥
Condition suffisante : L'un des deux nombres complexes est nul ou on a :
z = z ' avec 0 .
∣ ∣
Propriété : Si z ' ≠0,
∣z∣
z
z
=
. Comme pour le conjugué, on utilise : z '× =z
z'
z ' ∣z '∣
Propriété : ∣∣z∣ ∣z '∣∣≤∣z z '∣
Démonstration : z=z z '+z '⇒∣z∣≤∣z z '∣+∣z '∣⇒∣z∣ ∣z '∣≤∣z z '∣ .
En échangeant le rôle de z et z' on obtient : ∣z '∣ ∣z∣≤∣z ' z∣ .
Soit ∣z∣ ∣z '∣≤∣z z '∣et∣z '∣ ∣z∣≤∣z z '∣ . Ces deux inégalité sont équivalentes à ∣∣z∣ ∣z '∣∣≤∣z z '∣
, car ∣x∣=max (x , x ) .
1 z
Propriété : soit z un nombre complexe non nul, alors : = 2 .
z ∣z∣
On multiplie le numérateur et le dénominateur par ̄z .
Exemple :
1
1 2i 1 2i 1 2i 1
=
=
=
=
1+2i ∣1 2i∣2 1+2 2
5
5
Analogie avec :
2
i
5
1
1×(1 √ 2)
1
2
=
= √ = 1+√ 2
1+√ 2 (1+√ 2)×(1 √ 2) 1 2
Remarque : rapport de la similitude lors d'une multiplication.
Propriété : Le module est un morphisme de groupe de ( ℂ∗ , × ) dans (ℝ∗+ , × )
8/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
5- Interprétation géométrique
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, ⃗i , ⃗j ) , l'affixe d'un point M (a , b) est z=a+ib , et
réciproquement l'image d'un nombre complexe z=a+ib est le point M de coordonnées (a , b) .
Le point d'affixe z est le symétrique de M par rapport à l'origine O.
Le point d'affixe ̄z est le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses.
Le point d'affixe – ̄z est le symétrique de M par rapport à l'axe des ordonnées.
⃗ est z B z A .
L'affixe du vecteur AB
Affixe du barycentre G de ( A1 , α1 ),( A 2 , α2 ), …,(A N , α n ) est z G =
α1 z1 +α2 z 2+…+α n z n
avec
α1+α2+…+α n
α1 +α2 +…+α n ≠0
En particulier si G est l'isobarycentre de A1 , A 2 ,…, An , on a : z G =
Et I=mil ([AB])⇔ z I=
z1 +z 2+…+z n
n
z A+z B
2
Interprétation géométrique : iy est un imaginaire pur.
La partie réelle et la partie imaginaire correspondent aux projections orthogonales sur l'axe des réels
et l'axe des imaginaires.
Lien opérations et transformations géométriques :
L'addition d'un nombre complexe équivaut à une translation et la multiplication à une similitude
directe.
9/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
II- Nombres complexes de module 1 et trigonométrie.
1- L'ensemble U des nombres complexes de module 1
a- Définition et propriétés
Définition : U={z ∈ℂ ∣∣z∣=1}
Propriétés : U est stable par produit, par inverse, par quotient et par conjugaison.
 z 1 , z 2 ∈U 2 ⇒ z 1×z 2 ∈U
1
z ∈U ⇒ ∈U
z
z
 z 1 , z 2∈U 2 ⇒ 1 ∈U
z2
z ∈U ⇒ z ∈U
C'est un sous-groupe de ( ℂ∗ , × ) .
Plusieurs aspects :
–géométrique : cercle trigonométrique.
–algébrique sous-groupe de ( ℂ∗ , × ) .
–analytique, ensemble des points M du plan de coordonnées ( x , y ) vérifiant l'équation :
x 2+y 2=1 .
Remarque : en général, U n'est pas stable par l'addition.
1
Propriété : z ∈U ⇔ z≠0 et =̄z
z
Démonstration :
1
z ∈U ⇔ z ̄z =1⇔ z≠0 et =̄z
z
10/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
b- Paramétrage du cercle trigonométrique.
Définition : Soit ∈ℝ , e i θ=cos (θ)+isin(θ)
Exemples :
e i0 =1
iπ
e 6=
√3+ 1 i
2
2
π
i
2
2
2
1
e 4 = √ + √ i= √ (1+i)= (1+i)
2
2
2
√2
π
i
1
3
e 3= +√ i
2 2
iπ
e 2 =i
j=e
2i π
3
=
1 √3
+ i
2 2
et la célèbre formule d'Euler e i π = 1 ou encore e i π +1=0
i
e
3π
2
=e
iπ
2
= i
Propriété : ∀θ∈ℝ , e iθ ∈U
Démonstration : ∀θ ∈ℝ , cos 2 (θ)+sin 2 (θ)=1 (théorème de Pythagore)
Propriétés :
e i θ=e
iθ
=cos(θ) i sin(θ)
e iθ +e
Formules d'Euler : cos θ=
2
iθ
ei θ e
et sin θ=
2i
iθ
.
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle de ℝ à valeurs dans ℂ , par f ( t)=a ( t)+ib( t) .
Alors f est dérivable si les fonctions a et b sont dérivables et f '(t )=a '( t )+ib '( t) .
Propriété : Si f (t )=e it alors f '(t )=if ( t ) . (d'où la notation exponentielle).
11/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
π
Remarques : dériver le cosinus ou le sinus revient à ajouter un déphasage de 2 .
π
π
En effet, cos '(x)= sin (x )=cos x+ 2 et sin '( x)=cos ( x)=sin x+ 2
(
)
(
)
Plus généralement: ( e φ(t ) ) '=φ '( t)e φ(t )
Théorème fondamental : ∀(θ , θ ')∈ℝ2 , ei (θ +θ ' )=e i θ×e i θ '
Démonstration :
Pour montrer que l'application est un morphisme de groupe on utilise les formules
trigonométriques :
cos (θ+θ')=cos( θ)cos (θ') sin (θ)sin (θ ') et sin(θ+θ')=sin (θ) cos(θ ')+cos(θ) sin(θ ')
Corollaire : Formule de Moivre :
∀θ ∈ℝ et n ∈ℤ , ( ei θ )n =e i n θ ⇔(cos θ+isin θ) n=cos ( n θ)+isin (n θ)
Théorème : L'application qui de ℝ dans U qui à θ associe e i θ est un morphisme de groupe.
Un morphisme de groupe :
– transforme l'élément neutre en l'élément neutre.
– L'image de l'inverse est l'inverse de l'image f ( x 1)=( f ( x)) 1
f ( x n )=( f ( x))n
–
–
f(e)=f(e*e)=f(e)f(e). Dans un groupe tous les éléments sont réguliers. Donc : f(e)=e'
1
iθ
=cos (θ) i sin(θ) .
i θ et e
e
Car la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire.
On a bien : f (0)=1 et e
iθ
=
12/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
On considère l'application :
ℝ →U
θ ֏ eiθ = cos(θ ) + i sin(θ )
Théorème : ∀ z∈U , ∃θ∈ℝ : z=e i θ .
Démonstration :
Soit z ∈U , z=a+ib avec a 2+b 2=1 .
Donc ∣a∣≤1 . cos (0)=1 et cos(π)= 1 .
Comme la fonction cosinus est continue sur ℝ , d'après le théorème des valeurs intermédiaires il
existe θ∈ [ 0 , π ] tel que : cos (θ)=a .
On en déduit que : sin 2(θ)=b2 . Soit sin(θ)=b et alors z=ei θ .
Soit sin(θ)= b et on pose θ'= θ et on a : z=ei θ ' car la fonction cosinus est paire et la fonction
sinus impaire.
Remarque : la propriété se traduit par : l'application ℝ → U qui à θ associe e i θ est surjective.
Définition :
Une fonction f de E dans F est surjective si tout élément de F admet au moins un antécédent.
∀ y ∈F ,∃x ∈E : f (x )=y
Définition :
Une application de E dans F est injective si deux éléments différents ont des images différentes.
x≠x ' ⇒f ( x)≠f ( x ')
En général, pour démontrer qu'une application est injective, on utilise la contraposée.
f ( x)=f ( x ')⇒ x=x '
Méthode : La démonstration de l'injectivité commence par :
« Soient deux éléments x et x' de E tels que f(x)=f(x'), démontrons que x=x' »
Remarque : la définition est équivalente à : « une application est injective si et seulement si tout
élément a au plus un antécédent ». Pour un élément de F donné, soit il a un unique antécédent, soit
il n'en a aucun.
On a : f (θ)=f (θ ')⇔ θ≡θ '[2 π]
13/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
L'application n'est pas injective. 0 et 2 π ont la même image.
Définition : une application injective et surjective est une bijection. Une application est bijective si
et seulement si tout élément admet un unique antécédent.
Dans ce cas, on peut définir la fonction réciproque.
c- Exponentielle complexe
Définition : On appelle exponentielle complexe la fonction :
ℂ
→ℂ
z = x + iy ֏ e z = e x eiy
C'est une extension de l'exponentielle réelle :
Propriété : ∣e z∣=e ℜ( z) car ∣e iy∣=1 .
Corollaire : ∀ z∈ℂ , ez ≠0 . L'application ne peut être surjective car 0 n'a pas d'antécédent.
Remarque : tout nombre complexe non nul a une infinité d'antécédent. ((*) théorème d'Émile
Picard : si une fonction holomorphe dans ℂ n'est pas constante, elle prend toutes les valeurs de ℂ
sauf au plus une.
Propriété : e z+z'=ez ×e z ' . C'est un morphisme du groupe (ℂ, +) dans (ℂ∗ , ×) .
z
n
e 0=1 , n∈ℤ , e nz=( e z ) et e =
1
ez
Propriété :
Tout complexe non nul a un antécédent z 0 ∈ℂ et tous les antécédents sont de la forme : z 0+2k π .
Remarques :
L'exponentielle complexe transforme les droites parallèles à l'axe des abscisses en des demi-droites
passant par l'origine et les droites parallèles à l'axe des ordonnées en des cercles de centre l'origine.
L'application a transformé une famille de courbes orthogonales en une autre famille de courbes
orthogonales. De façon plus générale, cette application conserve les angles.
Impédance complexe. Généralisation de la loi d'Ohm dans l'étude des circuits en courant alternatif.
En série les impédances s'additionnent, et en parallèles leurs inverses s'additionnent (admittance).
14/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
2- Argument d'un nombre complexe non nul.
a- Formes trigonométriques.
Définition
Soit z un nombre complexe non nul.
On appelle argument de z tout nombre réel θ tel que : z=∣z∣ei θ .
z
est un nombre complexe de module 1.
∣z∣
On utilise le fait que le morphisme précédemment étudié est surjectif.
z
∃θ∈ℝ , =e i θ
∣z∣
Démonstration :
Forme trigonométrique : z=∣z∣×e i θ
Attention : si z=r e i θ , θ est un argument de z si r>0 . Si r<0 est négatif, un argument de z est
θ+π .
Cas particuliers : tout nombre réel positif a comme argument 0, et tout réel négatif a π comme
π
π
argument. Un imaginaire pur de la forme a i a pour argument 2 si a>0 et 2 +π si a<0 .
Propriété : Deux nombres complexes z et z' sont égaux, si et seulement si:
∣z∣=∣z '∣=0 ou ( ∣z∣=∣z '∣≠0 et arg(z)≡arg( z ')[2 π]
Méthode : mise d'un nombre complexe sous forme trigonométrique, on commence par calculer le
b
a
z
module de z puis :
et on résout : cos (θ)= 2 2 et sin(θ)= 2 2
∣z∣
√ a +b
√ a +b
Le forme trigonométrique est pratique pour calculer des puissances, et pour montrer
l'associativité de la multiplication.
Propriété : Soit θ0 un argument de z, alors l'ensemble des arguments de z est {θ 0+2k π , k ∈ℤ}
Définition : l'argument principal est dans l'intervalle ] π , π ]
Méthode : Pour démontrer qu'un nombre est réel il faut et il suffit de démontrer que son argument
vaut 0 [π ] et pour démonter qu'un nombre est imaginaire pur il faut et il suffit de démontrer que
π
son argument est 2 [π]
15/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
b- Propriétés.
iθ
re
r i(θ θ')
= e
i θ'
r'
r'e
Remarque : dans un produit, les modules se multiplient et les arguments s'additionnent.
(r ei θ )n=r n e i n θ et
Théorème : r ei θ r ' e i θ '=rr ' ei (θ+θ ')
Interprétation géométrique : multiplier par e i θ revient à effectuer une rotation d'angle θ .
Propriété :
Argument d'un produit : ∀(z 1 , z 2 )∈ℂ2 , arg(z1 z 2 )≡arg(z1 )+arg(z 2)[2 π]
(Analogie avec la fonction logarithme népérien.)
Corollaire : arg( z )≡arg( z)+π [2 π]
∗
Propriété. Argument d'un quotient. ∀ z 2∈ℂ et z 1 ∈ℂ , arg
En particulier : arg
( 1z )≡
()
z2
≡arg(z 2 ) arg( z1 )[2 π]
z1
arg(z )[2 π] et arg( ̄z )≡ arg( z)[2 π]
Et arg(z n )≡n arg(z)[2 π] et arg
( )
1
≡ n arg(z)[2 π]
zn
c- Interprétation géométrique
de Z =
z D zC
CD
⃗ , CD
⃗ )
, ∣Z∣=
et Arg ( Z )=̂
( AB
AB
zB zA
En particulier : ( AB)⊥(CD )⇔ arg
(
(
( ) (
( )
A , B , C et D cocycliques⇔ arg
A , B et C alignés ⇔ arg
)
)
z D zC
z D zC
≡ π [π] , ( AB)∥(CD) ⇔arg
≡0 [π ]
zB zA
2
zB zA
)
zD zB
z z
≡arg C B [π]
zD zA
zC z A
zC zA
≡0 [π]
zB z A
La transformation qui à z associe e i θ z est la rotation plane de centre O et d'angle θ .
La transformation qui à z associe k × z , avec k ∈ℝ∗ est l'homothétie de centre O et de rapport
k.
16/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
d- Transformation d'expression du type : a cos( t)+b sin( t )
On met a+ib sous forme trigonométrique a+ib=A e i φ avec A=√ a 2+b 2 .
On calcule : A=√ a 2+b 2 et :
On considère φ tel que : cos (φ)=
a
b
sin( φ)= 2 2
2 et
√ a +b
√ a +b
2
φ est un argument du nombre complexe a+ib .
On a :
a cos( t)+b sin( t)=ℜ ( e it A e
a cos( t)+b sin( t )=ℜ ( A e i(t
iφ
φ)
)
)=A ℜ ( e i (t φ) )
a cos( t)+b sin( t)=A cos ( t φ )
Remarque : A est l'amplitude du signal, φ représente la phase.
3- Application à la trigonométrie (en grec « mesure des triangles»)
a- Les formules de base
Méthode : s'aider d'un cercle trigonométrique pour retrouver les
formules !!!!!!!
cos ( x)=cos( x) et sin( x )= sin( x )
cos ( x+2 π )=cos( x) et sin ( x+2 π )=sin ( x )
cos (π x)= cos ( x ) et sin( π x )=sin( x)
cos ( x+π)= cos ( x ) et sin( π+ x)= sin( x)
cos x+ π = sin ( x) et sin x+ π =cos( x)
2
2
π
π
cos
x =sin( x) et sin
x =cos( x)
2
2
(
(
)
)
(
(
)
)
Relations obtenues à partir de : e i (a +b)= eia × eib
cos (a+b)=cos (a ) cos( b) sin (a) sin( b)
cos (a b)=cos (a ) cos( b)+sin (a) sin( b)
sin( a+b)=sin( a)cos( b)+cos( a) sin( b)
17/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
sin( a b)=sin( a)cos( b) cos( a) sin( b)
Définition de la fonction tangente : pour
x ∉ π +π ℤ
2
tan ( x )=
sin( x)
cos( x)
Interprétation géométrique.
tan (a+b)=
tan (a)+tan ( b)
.
1 tan( a) tan (b)
tan (a b)=
tan (a) tan ( b)
1+tan( a) tan (b)
Démonstration :
On démontre d'abord cos (a b)=cos (a ) cos( b)+sin (a) sin( b) en utilisant le produit scalaire de
⃗ et OB
⃗ , où A et B sont deux points du cercle trigonométrique.
OA
On utilise : tan (a+b)=
sin (a+b)
et on utilise les relations précédentes.
cos (a+b)
b- Les formules de duplication
cos (2x)=cos 2 (x ) sin 2(x)=2 cos 2 (x ) 1=1 2 sin2 (x)
sin( 2x)=2sin(x)cos( x)
tan (2x )=
Rappel :
2tan (x)
1 tan 2 ( x)
1
=1+tan 2 (x)
2
cos ( x)
On en déduit pour x ∉π ℤ :
cos (x )=2cos 2
( x2 )
2
1=
2
1+tan
2
()
x
2
1=
x
(
( 2 )) et :
x
1+tan ( )
2
1+tan 2
2
18/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
x
x
x
2tan
2tan
(
)
(
)
(
2
2
2)
cos (x )=
, sin(x)=
et tan (x)=
1+tan
1+tan
1 tan
( x2 )
( x2 )
( x2 )
1 tan
2
2
En posant t =tan
()
x
2
2
2
on a les relations :
2
2t
1 t sin( x)= 2t
tan (x)=
cos (x )=
2 et
2
2 ,
1+t
1 t
1+t
Application :
()
x
2
Méthode générale de calcul d'une primitive d'une fonction rationnelle de cos ( x) et sin( x) .
Paramétrisation rationnelle du cercle privé de {( 1 ; 0)} en posant t =tan
c- Transformations de produits en somme et vice-versa.
1
cos (a) cos ( b)= (cos (a+b)+cos (a b))
2
sin( a)sin( b)=
1
(cos (a+b) cos (a b))
2
1
sin( a)cos( b)= (sin (a+b)+sin (a b))
2
Démonstration : on peut additionner les formules de cos(a+b) et cos(a-b) ou utiliser les formules
( e ia+e ia) ( e ib+e ib )
d'Euler. cos (a) cos (b)=
2
2
p+q
p q
et b=
En posant : a+b=p et a b=q , on a : a=
, on obtient :
2
2
cos ( p)+cos (q)=2 cos
( p+q2 ) cos( p 2 q )
cos ( p) cos (q)= 2 sin
( ) ( )
p+q
p q
sin
2
2
sin( p)+sin (q )=2 sin
( ) ( )
sin( p) sin (q )=2 sin
( p 2 q )cos( p+q2 )
p+q
p q
cos
2
2
19/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
Autre démonstration :
ip
iq
e +e =e
i
( p+q2 )×ei ( p 2 q )+e i( p+2 q )×e i( p 2 q )=ei ( p+q2 )×(e i( p+q2 )+ei ( p 2 q ))
(
(
e
e +e =2
i
p q
2
)+e i( p 2 q ))
p q i( 2 )
e
2
2
On obtient les résultats en prenant les parties réelles et imaginaires.
ip
iq
p+q
(
)
×e 2 =2 cos
i
( )
p+q
Remarque : on ne dispose pas de formule aussi simple pour la tangente, néanmoins on peut vérifier
sin(p+q )
sin( p q )
et tan (p) tan (q )=
que : tan ( p)+tan (q )=
cos p cos q
cos p cos q
d- Linéarisation de polynômes trigonométriques : formules d'Euler
Formules d'Euler : cos θ=
e iθ +e
2
iθ
et sin θ=
ei θ e
2i
Ces relations sont une conséquence de : ℜ(z)=
iθ
z+z̄
z+z̄
et ℑ(z)=
car cos (θ) et sin(θ) sont
2
2
les parties réelles et imaginaires de e i θ .
Les formules d'Euler permettent de linéariser des polynômes trigonométriques cos m (x)sin n (x)
(calcul de primitives)
Exemple :
2
( )
cos (θ)=
e
iθ +e
2
iθ
2
2i θ
=
iθ
e +2 e e
4
iθ
+e
2i θ
2iθ
=
3
On trouve par la même méthode : cos (θ)=
e +e
4
2i θ
+2
=
2 cos( 2 θ)+2 cos ( 2θ)+1
=
4
2
cos( 3θ)+3cos( θ)
4
e- Expression de cos (n θ) en fonction de cos (θ) : formule de Moivre.
Théorème : Formule de Moivre (Abraham de Moivre (1667-1754))
∀θ ∈ℝ et n ∈ℤ , ( cos θ+isin θ)n=cos( n θ)+isin (n θ)
Démonstration : on utilise le morphisme de ℝ dans U.
Exemples : cos (3 θ)=4 cos3 (θ) 3cos (θ) et sin(3θ)=3sin(x) 4sin3 (x)
(Polynômes de Tchebycheff)
A permis de ramener la résolution d'une équation algébrique à la division d'un angle en n parties
20/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
égales
f- Factorisation
it
i0
it
it
2
it
1+e =e +e =e
it
2
it
2
it
2
+e
it
2
1+e =e ×e +e ×e
(
it
it
it
1+eit =e 2 × e 2 +e 2
()
it it
+
2 2
it
2
)
it
t 2
1+e =2 cos
e On applique la formule précédente avec p=0 et q=t.
2
it
On trouve de même :
it
1 e = 2i sin
()
it
t 2
e
2
Remarque : on peut aussi appliquer la relation précédente à t+π .
n
Calcul de
∑ cos( kt )
n
et
k =0
∑ sin( kt)
n
On pose :
S 1=∑ cos ( kt) et
k=0
Considérons :
:
k =0
n
S 2= ∑ sin (kt ) .
k=0
S=S 1 +iS 2 .
n
ikt
On obtient : S=∑ e et :
k=0
En posant : q=e it , on a :
n
S=∑ (e it ) k .
k=0
n
S=∑ qk .
k=0
S est la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q.
On distingue 2 cas :
q=1⇔ t ∈2 π ℤ et
S=n+1 et S 1=n+1 et
q≠1⇔ t ∉2 π ℤ et
1 qn+1
S=
1 q
21/30
S 2=0 .
Lycée Baimbridge
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
1 e i (n+1)t
S=
1 e it
S=
e
i (n +1 )t
2
e
it
e2
S=e
i(n+1)t
2
i nt
2
S 1=cos
sin
e
(
e
it
2
(n+1)t
2
it
e2
)
()
t
sin
2
(
(n+1) t
2
)
i(n+1)t
2
sin
(
. On a :
( n+1) t
2
sin
()
t
2
)
S 1=ℜ(S ) et
et S 2=sin
(
S 2=ℑ(S ) . Soit :
( n+1)t
2
22/30
)
sin
(
(n+1) t
2
sin
( 2t )
)
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
III- Équations algébriques
1- Équation du second degré
a- Racine carré d'un nombre complexe.
Définition :
On appelle racine carrée d'un nombre complexe Z, tout nombre complexe z tel que : z 2=Z
Remarques :
0 a une seule racine carrée 0.
On sait déjà que tous les nombres réels X strictement positifs ont deux racines carrées. √ X et
√X .
On sait aussi que 1 a deux racines carré i et i .
On en déduit que tous les nombres négatifs X ont une deux racines carrées.
i√ X ,i √ X
On récapitule : Soit
X ∈ℝ
X>0 on a deux racines carrée : √ X , √ X .
X=0 on a une racine carrée 0.
X<0 on a deux racines carrés : i √ X , i √ X .
Cas général :2 méthodes possibles.
Utilisation de la forme trigonométrique.
On pose Z=ρe i θ et on cherche z sous la forme z=r e it
z 2=Z ⇔ r 2 ei2t =ρ ei θ ⇔ r 2=ρ et 2t ≡θ[2 π]⇔ r =√ ρet t≡ θ [π]
2
On trouve : z 1=√ ρe
iθ
2
et z 2=
√ ρe
iθ
2
car e i π = 1
Utilisation de la forme algébrique.
Sinon on pose z=x+iy , et on a : z 2=x 2 y 2+2xy i .
On doit trouver x et y tels que : x 2 y 2=a (1) et 2xy=b (2). De plus x 2+y 2= √ a 2 +b2 (3)
Les équations (1) et (3) donnent les valeurs de x et y au signe près. L'équation (2) en donnant le
signe de xy permet d'associer les valeurs de x et y qui correspondent.
23/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
Dans tous les cas, si le nombre complexe Z est non nul, on doit trouver deux valeurs opposées.
b- Résolution de l'équation du seconde degré à coefficients dans C.
Soit l'équation az 2+bz+c=0 , avec a,b et c des nombres complexes tels que : a≠0 .
Le discriminant est : ∆=b 2 4ac .
Cas général :
Théorème
Si ∆≠0 alors l'équation admet deux solutions distinctes :
z 1=
b δ
b+δ
et z 2=
où δ est une racine carrée de ∆ .
2a
2a
Si ∆=0 alors l'équation admet une unique solution :
b
z 0=
. C'est une racine double.
2a
Démonstration : le but est de se ramener à une équation du second degré du type, z 2=Z que l'on
2
b
2
∆ .
sait résoudre. On utilise l'égalité algébrique az +bz+c=a z+
2a
4a
(
)
Remarques : Le choix d'une autre racine carrée de ∆ ne change pas l'ensemble des solutions, mais
seulement leur numérotation.
Pour une équation du second degré on a une formule qui donne les racines dans tous les cas. On dit
que l'équation générale du second degré est résoluble par radicaux. C'est aussi le cas des équations
du troisième et du quatrième degré. Les mathématiciens ont longtemps pensé qu'il existait aussi une
formule pour les équations de degré supérieur ou égal à 5. Évariste Galois (1811-1832) apporte une
réponse définitive en précisant sous quelles conditions une équation est résoluble par radicaux. Ses
travaux sont à l'origine de la théorie des groupes de l'algèbre moderne.
24/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
c- Cas particulier : équation à coefficients réels.
Soit l'équation az 2+bz+c=0 , avec a,b et c des nombres réels tels que : a≠0
Le discriminant est ∆=b 2 4ac . Il est réel.
b ∆
b ∆
Si ∆>0 l'équation a deux solutions réelles distinctes : x 1=
et x 2=
2a
2a
b
Si ∆=0 l'équation a une racine double réelle :
2a
b i√ ∆
b+i √ ∆
Si ∆<0 l'équation a deux solutions complexes conjuguées : x 1=
et x 2=
2a
2a
(
2
Démonstration : on a l'égalité az +bz+c=a z+
b
2a
)
2
∆
4a
Remarque : si P est un polynôme à coefficients dans ℝ , si z est racine de P alors ̄z est aussi
racine de P.
d- Relation entre les racines et les coefficients.
Dans le cas des solutions distinctes on a la factorisation : az 2+bz+c=a ( z z 1)(z z 2 )
Et dans le cas de la racine double : az 2+bz+c=a ( z z 0 )2 .
Une racine est double si et seulement si elle annule le polynôme et sa dérivée.
Propriété :
Soient z 1 et z 2 les deux solutions de l'équation : az 2+bz+c=0 avec a≠0 .
Alors z 1+z2 =
b
c
et z 1 z 2=
a
a
Démonstration : On utilise l'égalité az 2+bz+c=a (z z 1)(z z 2 ) et le fait que deux polynômes
sont égaux si et seulement si leurs coefficients de même degré sont égaux.
Remarque :si on cherche deux nombres complexes connaissant leur somme et leur produit
z 1+z2 =S et z 1×z2 =P , on résout l'équation du seconde degré : z 2 Sz+P=0 .
Les deux relations précédentes restent vraies dans le cas d'une racine double.
25/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
2- Racines nième d'un nombre complexe
Soit n un entier naturel non nul
Rappels : propriétés sur les puissances.
a- Le groupe Un des racines nième de l'unité.
Définition :
Soit Z un nombre complexe. On appelle racine nième de Z, tout nombre complexe z tel que : z n =Z
En particulier, on appelle racine nième de l'unité tout nombre complexe ω tel que : ω n=1 .
Définition :
Soit G un groupe. Une partie H de G est un sous-groupe de G si :
–si elle contient l'élément neutre.
–si elle est stable par produit.
–si elle est stable par passage au symétrique.
Théorème : l'ensemble des racines nième de l'unité est un groupe noté Un .
C'est un sous-groupe de (U , ×) .
Démonstration : 1∈U n , stable par produit et par inverse.
Remarque : Un est un sous-groupe de U, qui est lui même un sous-groupe de (ℂ∗ , ×) .
U n est stable par conjugaison et par inverse.
{
Théorème : Il existe n racines nième de l'unité distinctes: U n= e
Si on pose ω=e
2π
i
n
i
2k π
n
avec 0≤k ≤n 1 et k ∈ℤ
.alors Un ={1 , ω , ω2 ,... ,ω n 1 } . card (U n)=n .
Remarque :
C'est un groupe fini (de cardinal n) et monogène, c'est-à-dire engendré par un seul élément.
C'est un groupe cyclique.
Démonstration :
On résout : z n =1 , z∈ℂ . On pose : z=r e i t . On doit avoir :
26/30
}
.
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
r n e i n t=1 ⇔ r n =1 et n t≡0 [2 π]⇔ r =1(r>0)et n t=2 k π avec k ∈ℤ .
D'où t =
2k π
. On peut se limiter à 0≤k ≤n 1 .
n
En effet soit k '∈ℤ , la division euclidienne de k' par n donne : k'=q n+r avec 0≤r≤n 1 .
Et
2k ' π
2k π
2k 'π
r 2π
=2q π+
. En posant k=r, on obtient : e i n =e i n avec 0≤k ≤n 1 .
n
n
Propriété : la somme des racines nième de l'unité est égal à 0.
Démonstration : somme des termes d'une suite géométrique.
Propriété : le produit des racines nième de l'unité est égal à ( 1)n+1 .
Démonstration : on développe la relation :
n
( X 1)=(X ω0)( X ω1) ...( X ω n 1 ) .
b- Interprétation géométrique et exemples
Les points correspondants aux racines nième de l'unité forment un polygone régulier à n côtés.
Soit j=e
2π
3
, les racines cubiques de l'unité sont {1, j , j 2 }
On a les relations :
j 2=̄j
j3=1
1+ j+ j 2=0
j 4= j, j 5= j 2 ,…
c- Cas général : résolution de z n =Z .
Soit z=r e i θ . On pose z=r e it et z n =Z⇔ r n=ρ et nt =θ+2k π
On en déduit que les racines nième de Z sont les nombres complexes :
z k =r
1
n
(
e
2k π
i θ+
n
n
), avec k ∈ℤ
1
en posant u=r n e
Les solutions s'écrivent : z k =u wk , 0≤k ≤n 1 .
Plus généralement :
27/30
()
i θ
n
et wk =e (
i
2k π
n
)
avec 0≤k ≤n 1 .
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
Théorème
Soit Z un nombre complexe non nul.
Si u est une racine nième de Z, alors l'ensemble des racines nième de Z est : {u ω ' avec ω ' ∈U n }
()
n
z
z
=1⇔ ∈Un
Démonstration : u =Z et z =Z⇔
u
u
n
n
28/30
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
IV- Nombres complexes et transformations géométriques
z ֏ az
Similitude de centre O de rapport ∣a∣ et d'angle Arg(a )
Si a est réel c'est une homothétie.
Si ∣a∣=1 c'est une rotation
z ֏ az + b
Si a=1 c'est une translation de vecteur d'affixe b
Sinon c'est une similitude.
z֏z
C'est une symétrie par rapport à l'axe des réels.
z +b sont des symétries.
Les transformations de la forme z '=a ̄
29/30
Lycée Baimbridge
PCSI(2013-2014)
Les Nombres complexes
Lycée Baimbridge
Conclusion
Le corps ℂ prolonge le corps ℝ des nombres réels.
On note une différence importante. Dans ℂ toutes les équations du seconde degré admettent 2
solutions (comptées avec leur ordre de multiplicité). Ce résultat, ce généralisera avec le théorème de
d'Alembert-Gauss : tout polynôme de degré n admet n racines (comptées avec leur ordre de
multiplicité).
Application en : tout endomorphisme d'un ℂ espace vectoriel admet une valeur propre. Et tout
endomorphisme d'un ℂ espace vectoriel est trigonalisable.
Liens avec d'autres chapitres :
–tous les chapitres sur la géométrie plane : géométries planes, courbes paramétrées, coniques.
–les polynômes : la décomposition dans ℂ permettra la décomposition dans ℝ .
–les équations différentielles : comme pour les polynômes, on résout d'abord dans ℂ , puis on
utilise le résultat pour la résolution dans ℝ .
–espaces hermitiens, séries de Fourier. (seconde année)
30/30