3 On considère l`algorithme suivant : Donner deux entiers positifs a

3 On considère l'algorithme suivant :
Donner deux entiers positifs a et b
q=0
r=a
Tant que r ≥ b
- donner à r la valeur r – b
- donner à q la valeur q + 1
Afficher les valeurs de q et de r
1° Faire tourner cet algorithme pour a = 13 et b = 6, puis pour a = 12 et b = 6, et enfin pour a = 6et b = 13.
2° Qu'effectue cet algorithme ?
4 On veut déterminer comment choisir n pour que 2n – 1 soit divisible par 9 ?
1° Déterminer à quels restes de la division euclidienne par 9 sont congrus les nombres
An = 2n pour n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2° Déterminer alors auquel des restes précédents est congru 26 k pour k entier naturel.
3° Conclure sur le choix de n pour que 2n – 1 soit divisible par 9.
5 1° Montrer que dans le système décimal, tout nombre est congru à son dernier chiffre modulo 10.
2° Montrer que 19992k ≡ 1 (modulo 10) pour tout entier k.
3° Calculer le dernier chiffre de 199919.
6 1° a) Montrer que 1 999 est congru à 4 modulo 7.
b) Déterminer le plus petit entier naturel congru à 2 007 modulo 7.
2° Soit n un nombre entier naturel congru à 5 modulo 7.
a) Déterminer un nombre entier naturel congru à n3 modulo 7.
b) En déduire que (n3 + 1) est divisible par 7.
3. Montrer que si n est un nombre entier naturel congru à 4 modulo 7 alors (n3 – 1) est divisible par 7.
4° On considère le nombre A = 1 9993 + 2 0073.
Sans calculer A, montrer en utilisant les résultats précédents que le nombre A est divisible par 7.
Bac 2002 - Antilles
7 Les parties I et II sont indépendantes
I On considère deux nombres entiers a et b tels que :
a est congru à 10 modulo 23 et b est congru à 15 modulo 23.
1° Déterminer le plus petit nombre entier congru à (a + b) modulo 23.
2° Déterminer le plus petit entier naturel congru à ab modulo 23.
II 1° Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à 1 000 modulo 111.
2° Montrer que pour tout nombre naturel n, 1 000n est congru à n modulo 111.
En déduire que le nombre 108 + 104 + 1 est divisible par 111.
Bac 2002 - Japon
8 Dans une entreprise de vente par correspondance, les références des articles sont composées de 6 chiffres et
d'une lettre de contrôle afin d'éviter les erreurs de saisie. La position de la lettre dans l'alphabet correspondant
au reste de la division de la référence numérique par 26.
Exemple : la référence numérique 123 436 = 4 748 × 26 + 8 et la 8ième de l'alphabet est H donc la référence de
l'article avec sa clé de contrôle est 123 456 H.
1° La référence numérique d'un article est 780 503, déterminer la lettre de contrôle correspondant à cette
référence.
2° On considère la référence « .37 254 H » où le premier chiffre a été effacé.
a) On note n le chiffre manquant.
Vérifier que le nombre n37 254 = n × 100 000 + 37 254.
b) Déterminer le reste de la division de 100 000 par 26, puis de 37 254 par 26.
c) En déduire que 4n + 22 = 8 (modulo 26).
d) Sachant que 1 ≤ n ≤ 9, déterminer le chiffre manquant de la référence.
Bac 2003 - Amérique du Nord
q=0
r=a
Tant que r ≥ b
- donner à r la valeur r – b
- donner à q la valeur q + 1
Afficher les valeurs de q et de r
3 On considère l'algorithme suivant : Donner deux entiers positifs a et b
1° Faire tourner cet algorithme pour a = 13 et b = 6,
puis pour a = 12 et b = 6, et enfin pour a = 6et b = 13.









 r = 13 – 6 = 7
r=7–6=1
q=0


13
≥
6
donc
7
≥
6
donc
1 < 6 donc on afiche r = 1 et q = 2
r =13
q=0+1=1
q=1+1=2
 r = 12 – 6 = 6
r=6–6=0
q=0


12
≥
6
donc
6
≥
6
donc
0 < 6 donc on affiche r = 0 et q = 2
r = 12
q=0+1=1
q=1+1=2
q=0
r = 6 6 < 13 donc on affiche r = 6 et q = 0
2° Qu'effectue cet algorithme ?
La division euclidienne de a par b. r est alors le reste et q le quotient.
4 On veut déterminer comment choisir n pour que 2n – 1 soit divisible par 9 ? 1° Déterminer à quels restes de la division
euclidienne par 9 sont congrus les nombres An = 2n pour n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
n
2n
reste
1
2
2
2
4
4
3
8
8
4
16
7
5
32
5
6
64
1
2° Déterminer alors auquel des restes précédents est congru 26 k pour k entier naturel.
26 k = (26)k
26 ≡ 1 [9] donc (26)k ≡ 1k [9] donc 26 k ≡ 1 [9]
3° Conclure sur le choix de n pour que 2n – 1 soit divisible par 9.
26 k ≡ 1 [9] donc 26 k – 1 ≡ 0 [9] Donc si n est divisible par 6 alors 26 k – 1 est divisible par 9.
Réciproquement si 2n – 1 est divisible par 9 démontrons que n est divisible par 6.
n = 6 q + r où r est le reste de la division de n par 6 et q le quotient de cette division.
2n = 26 q + r = 26 q × 2r donc 2n ≡ 2r [9]
Si 2n – 1 ≡ 0 [9] alors 2n ≡ 1 [9] alors 2r ≡ 1 [9]
r ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}donc d'après le tableau de la question 1° si 2r ≡ 1 [9] alors r = 0et on êut alors conclure
que n est divisible par 6.
5 1° Montrer que dans le système décimal, tout nombre est congru à son dernier chiffre modulo 10.2° Montrer que 19992k ≡ 1
(modulo 10) pour tout entier k.
k
19992 se termine par 1 (car 92 = 81) donc 19992 === 1 [10] donc (19992) ≡ 1k [10] donc 19992 k ≡ 1 [10]
19
18 + 1
3° Calculer le dernier chiffre de 199919. 1999 = 1999
= 19992 × 9 × 1999
19992 × 9 ≡ 1 [10] 
 donc par compatibilité avec la multiplication 19992 × 9 × 1999 ≡ 1 × 9 [20)
1999 ≡ 9 [10] 
donc 199919 ≡ 9 [20]. Le dernier chiffre de 199919 est donc 9.
6 1° a) Montrer que 1 999 est congru à 4 modulo 7.
1999 – 4 = 1995 = 7 × 285 donc 1999 – 4 est divisible par 7 donc 1999 === 4 (7)
b) Déterminer le plus petit entier naturel congru à 2 007 modulo 7.
1999 ≡ 4 [7]
donc 2007 ≡ 5 [7]
 8 ≡ 1 [7]

2007 = 1999 + 8 et 
2° Soit n un nombre entier naturel congru à 5 modulo 7. a) Déterminer un nombre entier naturel congru à n3 modulo 7.
Modulo 7 on a : n ≡ 5 donc n3 ≡ 53. 53 = 125 = 17 × 7 + 6 donc n3 ≡ 6
b) En déduire que (n3 + 1) est divisible par 7.
Modulo 7 on a :
 n3 ≡ 6

 1 ≡ 1
donc n3 + 1 ≡ 6 + 1 donc n3 + 1 == 0 donc n3 + 1 est divisible par 7.
3. Montrer que si n est un nombre entier naturel congru à 4 modulo 7 alors (n3 – 1) est divisible par 7.
Modulo 7 : si n ≡ 4 alors n3 ≡ 43. 43 = 64 = 7 × 9 + 1 donc n3 ≡ 1 et donc n3 – 1 == 0. n3 × 1 est divisible par 7.
4° On considère le nombre A = 1 9993 + 2 0073. Sans calculer A, montrer en utilisant les résultats précédents que le nombre A est
divisible par 7.
On a vu que, modulo 7



1999 ≡ 4 on a donc 19993 – 1 ≡ 0
donc 19993 – 1 + 20073 + 1 ≡ 0 donc A ≡ 0
2007 ≡ 5 on a donc 20073 + 1 ≡ 0
7 Les parties I et II sont indépendantes I On considère deux nombres entiers a et b tels que : a est congru à 10 modulo 23 et
b est congru à 15 modulo 23. 1° Déterminer le plus petit nombre entier congru à (a + b) modulo 23.
a ≡ 10
donc par compatibilité avec l'addition on a : a + b ≡ 10 + 15
b ≡ 15
On sait que 25 ≡ 2 [23] donc a + b ≡ 2 [23]

Modulo 23 on a : 

2° Déterminer le plus petit entier naturel congru à ab modulo 23.
a ≡ 10
donc par compatibilité avec la multiplication on a : a × b ≡ 10 × 15
 b ≡ 15
On sait que 150 ≡ 12 [23] donc a × b ≡ 12 [23]

Modulo 23 on a : 
II 1° Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à 1 000 modulo 111.
La division euclidienne de 1000 par 11 donne : 1000 = 9 × 111 + 1 donc 1000 ≡ 1 [111]
2° Montrer que pour tout nombre naturel n, 1 000n est congru à n modulo 111.
1000 ≡ 1 [111] donc par compatibilité avec la multiplication on a : 1000 × n ≡ 1 × n [111]
En déduire que le nombre 108 + 104 + 1 est divisible par 111.
108 = (103)2 × 102 donc 108 ≡ 102
par compatibilité avec l'addition on obtient
4
3
4
 10 = 10 × 10 donc 10 ≡ 10
108 + 104 + 1 ≡ 100 + 10 + 1 [111] donc 108 + 104 + 1 ≡ 0 [111]

Modulo 111 on a 
8 Dans une entreprise de vente par correspondance, les références des articles sont composées de 6 chiffres et d'une lettre de
contrôle afin d'éviter les erreurs de saisie. La position de la lettre dans l'alphabet correspondant au reste de la division de la
référence numérique par 26. Exemple : la référence numérique 123 436 = 4 748 × 26 + 8 et la 8ième de l'alphabet est H donc la
référence de l'article avec sa clé de contrôle est 123 456 H.1° La référence numérique d'un article est 780 503, déterminer la
lettre de contrôle correspondant à cette référence.
780503 = 30019 × 26 + 9 donc 780503 ≡ 9 [26] la 9ième lettre est I
2° On considère la référence « .37 254 H » où le premier chiffre a été effacé. a) On note n le chiffre manquant. Vérifier que le
nombre n37 254 = n × 100 000 + 37 254.
n37254 – 37254 = n00000 = n × 100000 donc n37254 = n × 100000 + 37254
b) Déterminer le reste de la division de 100 000 par 26, puis de 37 254 par 26.
100000 = 26 × 2846 + 4 et 37254 = 26 × 1432 + 22
c) En déduire que 4n + 22 = 8 (modulo 26).
100000 ≡ 4 donc 100000 × n ≡ 4 × n
donc 100 000 × n + 37254 ≡ 4 n + 22
 37254 ≡ 22
H est la 8ième lettre donc 100 000 × n + 37254 ≡ 8 et donc 4 n + 22 ≡ 8 modulo 26

Modulo 26 on a : 
d) Sachant que 1 ≤ n ≤ 9, déterminer le chiffre manquant de la référence.
1
2
3
26 ≡ 0
30 ≡ 4
34 ≡ 8
le seul chiffre possible est 3
4
38 ≡ 12
5
42 ≡ 16
6
46 ≡ 20
7
50 ≡ 24
8
54 ≡ 2
9
58 ≡ 6