Correction Dérivée

Correction
Dérivée
Exercice 1.
Déterminer la limite des fonctions suivantes :
1.
lim
x2
x2
5
3 x  x  10
2
3x²  x 10   x  23x  5 donc, quand x tend vers 2–,  x  2  tend vers 0– et  3x  5 vers 11–, et le produit tend
5
 
vers 0–. On a donc lim 2
x  2 3 x  x  10
x2
2.
1
x²  5  2
lim f ( x) 
x 3
x 3
Quand x tend vers 3+ ,
x ²  5  2 tend vers 0+ et donc lim
x 3
x 3
1
 
x²  5  2
Exercice 2.
Soit f la fonction définie sur
3
1 
   par f ( x)  x  1 
,
1  2x
2
1. Déterminer les points de la courbe représentative de f en lesquels la tangente est parallèle à la droite
d’équation y  7 x  4
Le coefficient directeur de la tangente est le nombre dérivé.
Il faut donc trouver le (ou les) nombre(s) x0 tel que f '(x0) = 7.
f ( x)  x  1 
3
 u ( x)  v( x)
1 2x
u ( x)  x  1
v( x) 
f '( x)  1 
3
1 2x
u '( x)  1
v '( x) 
0  1  2 x   3   2 
1  2 x 
2

6
1  2 x 
2
6
1  2 x 
2
Il faut donc résoudre l'équation
1
6
1  2 x 
6
1  2 x 
2
1
2
7
6
1
1  2 x 
2
1  2 x   1
2
1  2 x  1 ou 1  2 x  1
x0
ou x  1
f(0) = 4 et f(1) = -1
0
 4
1

 1
Les points recherchés sont A   et B 
2. Déterminer les nombres a, b et c tels que
f ( x)  x  1 
 x  11  2 x   3  x  2 x²  1  2 x  3  2 x²  x  4
3

1 2x
1 2x
1 2x
1 2x
Exercice 3.
Soit f la fonction définie sur  2;7 par f ( x)   x3  6 x 2  7 , soit  sa courbe représentative dans un repère du
plan.
1. Étudier les variations de f sur  2;7 et dresser son tableau de variation.


f est définie sur IR. Df = IR.

f '(x)=–3x² + 12x = 3x(– x + 4)
x
f '(x)
lim f ( x)  lim x3   lim f ( x)  lim  x3  
x 
x 
–∞
–
x 
0
0
x 
+
+∞
4
0
25
+∞
–
f(x)
–7
–∞
f(0)=–7 ; f(4) = 25
2. En déduire que f est bornée sur  2;7 et donner un encadrement de f(x) sur cet intervalle.
Sur [–2 ; 0] la fonction est décroissante et prend des valeurs de f(-2)=25 à f(0)=7.
Sur [0 ; 4], la fonction est croissante et prend des valeurs de f(0)=7 à f(4)=25.
Sur [4 ; 7], la fonction est croissante et prend ses valeurs de f(4)=25 à f(7)=–56.
Conclusion : pour x   2;7 –56 ≤ f(x) ≤ 25
,
Exercice 4.
Soit  la courbe d’équation y  x 2  2 x  3 .
1. Déterminer l’équation réduite de la tangente à  au point A d’abscisse a
L'équation de la tangente est de la forme : y = f '(a)(x – a) + f(a)
f '( x)  2 x  2
f '(a)  2a  2
L'équation devient : y = (2a + 2)(x – a) + (a² + 2a + 3) = 2ax –2a² + 2x – 2a + a² + 2a + 3 = (2a + 2)x +(3 – a²)
f ( x)  x 2  2 x  3
f ( a )  a ²  2a  3
2. Existe-t-il des tangentes à la courbe  passant par le point E (-3 ; 5) ? Si oui déterminer l’équation de chaque
tangente à la courbe  passant par E.
Si elle existe, cette tangente passe par un point de la courbe d'abscisse a (donc son équation est celle du dessus) et aussi
par le point E donc son équation est de la forme y = mx + p avec 5 = –3m + p
Il faut donc résoudre le système :
5 = −3𝑚 + 𝑝
{ 𝑚 = 2𝑎 + 2
𝑝 = 3 − 𝑎²
En prenant m et p et en substituant leur valeur dans la
et en remplaçant a :
première équation on obtient :
a=–2
a=–4
5 = –3(2a + 2) + (3 – a²)
m = 2×(–2) + 2 = – 2
m = 2×(–4) + 2 = – 6
ou encore
p = 3 – (-2)² = 3 – 4 = – 1
p = 3 – (-4)² = – 13
a² + 6a + 8 = 0
(a + 2)(a + 4 ) = 0 (racine évident a = – 2)
T1 : y = –2x – 1
T2 : y = –6x – 13
Exercice 5.
Calculer la dérivée de la fonction définie sur
2 x²  x  4
1 
   par : f ( x) 
2x 1
2
On remarque que la fonction de cet exercice est la même que celle de l'exercice 2.
x 1
3
2 x ²  x  4   2 x ²  x  4  2 x ²  x  4



 f ( x)
1 2x
1 2x
  1  2 x 
2x 1
En effet, d'après 2.2, on a :
Il est toujours plus simple de dériver une somme qu'un quotient :
f ( x)  x  1 
f '( x)  1  0 
3
1  2x
3  (2)
1  2 x 
2
 1
6
1  2 x 
2
0
donc la fonction f est strictement croissante sur son domaine.
Correction de la méthode "longue" :
u ( x)  2 x ²  x  4
u '( x)  4 x  1
v( x)  2 x  1
v '( x)  2
f ( x) 
2 x ²  x  4 u ( x)

2x 1
v( x)
f '( x) 
u '( x)  v( x)  u ( x)  v '( x)  4 x  1 2 x  1   2 x²  x  4   2 8 x²  4 x  2 x  1  4 x²  2 x  8 4 x²  4 x  7



2
2
2
v ²( x)
 2 x  1
 2 x  1
 2 x  1
étudier les variations de f revient à étudier le signe de f'. Le discriminant du numérateur est négatif (Δ=16-16×7) donc le
numérateur est du signe du coefficient de plus haut degré : 4.
Je vous laisse juge du choix de la méthode…