EXERCICE 1 (14 points) La courbe C d`une fonction u est donnée. 1

Lycée A.Maurois
...... Octobre
EXERCICE 1
T ES3
Durée 1H20
CORRIGE DS N° 2
(14 points) La courbe C d’une fonction u est donnée.
1. La fonction u est définie et dérivable sur Du =] − 2; +∞[. Lorsque x ∈ Du , u(x) appartient à ] − ∞; 5] d’après les indications
du graphique.
2. Sur ] − 2; +∞[ l’équation u(x) = 0 admet les solutions −1,5, 4,5 et 6,5 qui sont les abscisses des points de C dont l’ordonnée
vaut 0.
3. Sur ] − 2; +∞[, u(x) > 0 a pour solutions les abscisses des points de C situés au dessus de l’axe des abscisses strictement.
L’ensemble des solutions est donc J =] − 1,5; 4,5[∪]6,5; +∞[.
4. Pour résoudre graphiquement l’inéquation u(x) > 3x − 1 on trace la droite (d) d’équation y = 3x − 1, on repère pour quelles
valeurs de x un point d’abscisse x sur C a une ordonnée supérieure à l’ordonnée du point d’abscisse x de (d). On ne dispose
pas de suffisamment d’informations sur ce qui se passe entre −2 et −1,5 mais on est certain que u(x) > 3x − 1 sur [−1,5; 5].
5. On lit : u(−1) = 2, u(2) = 5 et u(4) = 2.
2 − (−1)
5−2
= 3 , u0 (2) = 0 ( tangente horizontale) et u0 (4) =
= −3.
6. A l’aide du graphique u0 (−1) =
0 − (−1)
4−5
7. La tangente à C en A a pour coefficient directeur u0 (4) = −3 son équation réduite est donc de la forme y = −3x + p et il faut
trouver p.
Comme A ∈ T A , ses coordonnées vérifient l’équation et donc 2 = −3 × 4 + p soit p = 14.
8. Tableau de variation de u : à partir de la courbe. (Remarque lim u(x) = −∞ et lim u(x) = 4).
x→−2
x→+∞
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9. On introduit la fonction g définie par g(x) = pour x ∈]0; +∞[ et on note f la fonction g ◦ u.
x
a. f (x) existe ssi x ∈ Du =] − 2; +∞[ et si u(x) ∈ x ∈]0; +∞[. D’après la question 3. on a donc D f = J.
1
b. On a par définition f (x) = g(u(x)) =
soit encore
u(x)
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f : x 7→ u(x) 7→ g(u(x)) =
.
u(x)
c. Etudier les variations de f sur D f . Sur ] − 1,5; 2], u est croissante à valeurs dans ]0; +∞[ où g décroît donc par composition
f décroît sur ] − 1,5; 2].
Sur ]2; 4,5[, u est décroissante à valeurs dans ]0; +∞[ où g décroît donc par composition f croît sur ]2; 4,5[.
Sur ]6,5; +∞[, u est croissante à valeurs dans ]0; +∞[ où g décroît donc par composition f décroît sur ]6,5; +∞[.
1
1
d. On a f (−1) =
= 0,5 f (2) =
= 0,2 et f (6) n’existe pas.
u(−1)
u(2)
e. La formule de la dérivée d’une fonction composée g ◦ u des deux fonctions dérivables u et g : (g ◦ u)0 (x) = u0 (x) × g0 (u(x)).
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f. Calculer en utilisant ce qui précède f 0 (−1) = 3 × (−
= −3, f 0 (2) = 0 et f 0 (6) n’existe pas.
(−1))2
g. Tableau des variations de f : résumé des informations précédentes.
h. Grâce au théorème fondamental de l’analyse on déduit le signe de f 0 (x) des variations de f soit f 0 (x) > 0 sur ]2; 4,5[,
f 0 (x) < 0 sur ] − 1,5; 2]∪]6,5; +∞[ et f 0 (x) = 0 en 2 qui est l’abscisse d’un minimum local.
(4 − x)3
(6 points) Soit f la fonction définie par la formule f (x) = − 2
où x désigne un nombre réel.
x −3
√
√
1. f (x) existe ssi x2 , 3 donc D f = R − { 3; − 3}.
EXERCICE 2
2. Exprimer f 0 (x) :
Dérivée du numérateur : x 7→ 3(4 − x)2
Dérivée du dénominateur : x 7→ 2x,
3(4 − x)2 (x2 − 3) + 2x(4 − x)3
D’où f 0 (x) =
.
(x2 − 3)2
(4 − x)2 [3(x2 − 3) + 2x(4 − x)] (4 − x)2 [x2 + 8x − 9]
=
et puisque
(x2 − 3)2
(x2 − 3)2
des carrés sont positifs on obtient le résultat : f 0 (x) est du signe contraire de celui du trinôme −x2 − 8x + 9.
On factorise le numérateur par (4 − x)2 on obtient f 0 (x) =
3. On étudie le signe de x2 + 8x − 9. Ce trinôme a deux racines −9 et 1 et il est négatif entre ses racines, d’où le signe de f 0 x) et
donc on en déduit les variations de f .
4. L’équation réduite de la tangente à la courbe de f au point A d’abscisse 2 est : y = f 0 (2)(x−2)+ f (2) = 44(x−2)−8 = 44x−96.