TES – DM1 Correction Chapitre : limites de fonction , continuité . 2 I . f est la fonction inverse définie sur ℝ* par f (x) = 1. 1 1 7 ; g est la fonction définie sur ℝ par g (x) = x − + x 2 4 Avec la calculatrice graphique, conjecturer le nombre de points d'intersection des courbes représentatives des fonctions f et g . à l’aide de la calculatrice , je conjecture qu’il y a un point d’intersection entre Cf et Cg . 2. Montrer que, pour tout x non nul, l'équation f (x) = g (x) équivaut à x 3 − x 2 + 2x − 1 = 0 2 1 1 7 1 1 1 7 f (x) = g (x) s’écrit = x − + soit = x2 − x + + ⇔ = x 2 − x + 2 ⇔ 1 = x 3 − x 2 + 2x et x ≠ 0 x 4 4 x x 2 4 3 2 Ce qui équivaut à x − x + 2x − 1 = 0 pour x ≠ 0 h est la fonction définie sur R par 3. h(x) = x 3 − x 2 + 2x − 1 a ) Etudier la limite de h en + ∞, puis en − ∞ . lim h(x) = lim x 3 − x 2 + 2x − 1 = lim x 3 = +∞ x →+ ∞ x →+ ∞ x →+∞ et lim h(x) = lim x 3 − x 2 + 2x − 1 = lim x 3 = − ∞ x → −∞ x → −∞ x → −∞ b ) Calculer la dérivée de la fonction h. h '(x) = 3x 2 − 2x + 2 c ) Etudier les variations de h sur R . pour le trinôme 3x 2 − 2x + 2 x -∞ h’(x) α , le discriminant ∆ = –20 est négatif donc h’(x) est toujours positif sur R . +∞ + +∞ h −∞ 0 d ) Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction h au point d’abscisse 1 au point d’abscisse 1 , une équation de la tangente est soit y = 3 x – 2 e ) Calculer h(0). y – h (1) = h’(1) ( x – 1 ) avec h’(1) = 3 et h (1) = 1 h (0) = –1 f ) Démontrer que l'équation h(x) = 0 a une solution unique dans R . – Avec la calculatrice, donner un encadrement à 0,01 près de cette solution. – Qu'en déduit-on à propos de l'intersection des courbes représentatives de f et g et de la conjecture faite dans le début de l'exercice ? la fonction h est continue et strictement croissante , elle réalise une bijection de R sur ]−∞ ; + ∞[ comme 0 ∈ ]−∞ ; + ∞[ , l’équation h (x) = 0 admet une unique solution α ∈R . à la calculatrice , je trouve 0,56 < α < 0,57 il y a un seul point commun à Cf et Cg ce qui démontre la conjecture