Les moments (chapitre 2)
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Chapitre n° 2 : Les moments. 1 LES MOMENTS Lorsqu’une force F communique à un corps un mouvement de rotation autour d’un centre de rotation O, l’effet de rotation est appelé moment. I. DEFINITIONS Le moment d’une force représente donc la possibilité qu’a une force de produire une rotation. Plus une force sera exercée près du centre de rotation O, plus elle sera faible et inversement plus elle sera exercée loin du centre de rotation plus elle sera importante. Exemple : une force exercée sur une porte plus ou moins près des gons sera plus ou moins importante. La grandeur d’un moment s’exprime par le produit de la force et du bras de levier. Le bras de levier d’une force est la distance entre le point d’application de la force et l’axe de rotation. Le moment d’une force est aussi une grandeur vectorielle. Si on prend une roue qui tourne autour du centre O. On lui applique une force F 1 à une certaine distance du centre de rotation (le rayon de la roue) qui va donc créer un moment de force. R O F1 M F1/O = F1 ^ R Chapitre n° 2 : Les moments. 2 Le moment est un vecteur qui est le résultat d’un produit vectoriel et il est perpendiculaire au plan représenté par le bras de levier et la force. Ce moment peut être positif ou négatif, ce qui indique le sens de rotation du corps en mouvement. Le sens positif est le sens trigonométrique qui correspond au sens inverse des aiguilles d’une montre. Dans l’exemple de la roue au dessus, le sens est positif. Donc, cela nous donne : M F1/O = F1 . R M en N.m, F en N et R en m. Au contraire, M F2/O = - F2 . OA O A F2 Quand le moment est positif, on le représente par une tête de flèche : . Quand le moment est négatif, on le représente par le cul de la flèche : M F3/O = 0 O F3 Un moment est égale à zéro si le centre de rotation se trouve sur la direction de la force. Chapitre n° 2 : Les moments. 3 A. L’EFFET DE PLUSIEURS FORCES DE MEME DIRECTION Dans le cas de plusieurs forces appliquées au système, le moment résultant sera égale à la somme des moments des forces appliquées à ce corps. M F1/O = F1 . OB M F2/O = F2 . OA M R = Σ M F/O = M R/O B D A O M R = M F1/O + M F2/O = R . OD F1 FR F2 F1 . OB + F2 . OA = R . OD F1 . OB + F2 . OA OD = F1 + F2 B. L’EFFET DE PLUSIEURS FORCES DE DIRECTIONS DIFFERENTES M F1/O = - F1 . OA M F2/O = 0 M R/O = - R . d = - R . OA . cos α d α A F2 M R/O = M F1/O + M F2/O O α R R . OA . cos α = F1 . OA F1 F1 R = cos α Chapitre n° 2 : Les moments. 4 II. CENTRE DE GRAVITE D’UN CORPS La somme des moments de toutes les forces de pesanteur appliquées à un corps est égal à 0 lorsque l’axe de rotation passe par le centre de gravité de ce corps. A. DETERMINATION DU CENTRE DE GRAVITE Exemple : soit 3 boules placées sur une barre de poids négligeable. A G P1 P2 P3 R Les 3 boules pèsent 10N, 15N, 25N. La première boule se trouve à 1 mètre de l’extrémité de la barre, la deuxième à 1 mètre de la première boule et la troisième à 2 mètres de la deuxième. a. Trouver la position du centre de gravité de la barre. b. Calculer les moments des poids des 3 boules par rapport à ce point G. Position du centre de gravité de la barre : M P1/A = - P1 . d1 M P2/A = - P2 . d2 M P3/A = - P3 . d3 M R/A = Σ M P/A = (- P1 . d1) + (- P2 . d2) + (- P3 . d3) = - (P1 + P2 + P3) . AG P1 . d1 + P2 . d2 + P3 . d3 AG = = 2,8 m P1 + P2 + P3 Le point G se trouve donc entre la deuxième et la troisième boule, à 0,8 m de la deuxième boule. Chapitre n° 2 : Les moments. 5 Moments des poids des 3 boules par rapport à G : M P1/G = P1 . (dG - d1) = 10 . 1,8 = 18 N.m M P2/G = P2 . (dG - d2) = 15 . 0,8 = 12 N.m M P3/G = - P3 . (d3 – dG) = - 25 . (4 - 2,8) = - 25 . 1,2 = - 30 N.m M R/G = 18 + 12 - 30 = 0 N.m Soit n particules de poids P1, P2, P3,... Pn, situées à des distances d1, d2, d3, …, dn d’un point A, la distance D entre le point A et le centre de gravité, (AG), sera égale à : P1 . d1 + P2 . d2 + … + Pn . dn D (AG) = P1 + P2 + ... + Pn Par convention, on applique la résultante des forces de pesanteur au centre de gravité G. M P/G = 0 B. PLACEMENT DU CENTRE DE GRAVITE Le centre de gravité peut varier dans un corps déformable qui est en mouvement. Suivant la position du sujet, le centre de gravité va pouvoir se trouver à l’extérieur du corps. Pour se trouver en équilibre, il faut que le centre de gravité G soit projeté à l’intérieur du polygone de sustentation. Rq : lors d’un départ de sprint, on crée un déséquilibre. III. LES COUPLES DE ROTATION F2 R O F1 Chapitre n° 2 : Les moments. 6 Deux forces parallèles égales en intensité mais de sens contraire, déterminent le couple de rotation. Le centre de rotation de ce couple se situe au milieu du segment de droite joignant les deux points d’application. L’axe de rotation est perpendiculaire au plan déterminé par les deux forces. Les deux forces ont le même effet au niveau de la rotation du corps : on parle donc de moment de couple de rotation. M C = Σ M F/O M F1/O = F1 . R M F2/O = F2 . R M C = M F1/O + M F2/O MC = = = = = F1 . R + F2 . R R . (F1 + F2) R . 2 F1 F1 . 2R F1 . D or F1 = F2 D = diamètre On peut avoir un moment de couple positif ou négatif. R’ F1’ F2’ A x C O F1 D x’ B F2 R M C1 = F1 . AB M C2 = F2 . CD M R = MC1 + MC2 M R = F1 . AB + F2 . CD M R = R . xx’
