Espaces vectoriels

Espaces vectoriels
Les objets mathématiques ci-dessous ont tous une structure similaire. Les exercices
qui suivent ont pour objet de vous la faire découvrir !
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Les carrés magiques d’ordre 3 (à coefficients dans Q ).
Les suites arithmétiques (à coefficients dans Q ).
Les solutions de l’équation différentielle f !!(x) + f (x) = 0 .
L’ensemble des polynômes à coefficient réels de degré ! 4
L’ensemble des quadruplets à coefficients dans R .
L’ensemble des solutions d’un système homogène et linéaire de 2 équations à
4 inconnues
Si l’on considère deux objets (de la même classe) l’on aimerait pouvoir définir leur
‘somme’ afin que cette dernière appartienne à cette même classe d’objets.
Exercices. a) Au sujet des carrés magiques :
1) Construire un carré magique T1 contenant les nombres 1,2,3,4,5,6,7,8 et 9.
2) Multiplier chacun des coefficients par 3, puis faites faire un quart de tour
(dans le sens des aiguilles d’un montre) à votre carré produit = T2.
3) Additionner T1 + T2.
4) Qu’obtient-on ?
b) Une suite arithmétique de premier terme a et de raison b est donnée par
l’expression { sk }k!N := {a + k "b}k!N .
1) Donner deux exemples (concrets) de suites arithmétiques.
2) Soustraire le double de la deuxième au quintuple de la première.
3) Qu’obtient-on ?
4) La suite {0 ; 0 ; 0 ; …} est-elle arithmétique ?
5) La suite {2 ; -3 ; -8 ; -13 ; …} est-elle arithmétique ? Quel est son opposé ?
c) Les polynômes
1) Donner deux exemples (concrets) de polynômes de degré 4 qui s’annulent en
x = 1 et x = -1
2) Soustraire le quadruple du deuxième du sextuple du premier.
3) Qu’obtient-on ?
d) Solutions de l’équation différentielle f !!(x) + f (x) = 0 pour !x "! .
Si g et h sont deux solutions de l’équation ci-dessus et que ! "R est fixé
est-il vrai que ! " g(x) + h(x) l’est aussi ?
e) Les quadruplets.
!!!"
!!!"
Soit deux quadruplets (ou vecteurs) OA = (2;1; 3;!1) , OB = (!2; 3;2; 4) et ! = 3 un
!!!" !!!"
!!!"
nombre réel. Comment définir de manière naturelle OA + OB ? Et ! "OA ?
"$ 2x ! 3y + 4w ! 5z = 0
$% x + y ! 3w + 5z = 0
f) Soit le système homogène d’équations linéaires : #
Montrer que si (x1; y1; w1; z1 ) et (x2 ; y2 ; w2 ; z2 ) sont solutions alors
! (x1; y1; w1; z1 ) + (x2 ; y2 ; w2 ; z2 ) l’est aussi pour ! "! quelconque.
.
Définition (abstraite). On dit que (V;!;*) est un espace vectoriel sur un corps
(K ; + ; ·) (les nombres rationnels, réels ou complexes) si :
(V,!) forme un groupe commutatif , c’est-à-dire si ! est une opération interne sur V,
commutative, associative, admettant un élément neutre et que chaque élément admet
un opposé. En d’autres termes, !a,b "V on a que
1) a ! b "V
l’opération est interne
2) a ! b = b ! a
elle est commutative
3) (a ! b) ! c = a ! (b ! c)
associative
4) ! n "V tel que a ! n = n ! a = a
5) ! a" #V tel que a ! a" = a" ! a = n
De plus ! est une opération externe de
1)
2)
3)
4)
1* a = a
µ *(! * a) = ( µ " ! )* a
( µ + ! )* a = ( µ * a) " (! * a)
! *(a " b) = (! * a) " (! * a)
2.3 Propriétés 1 2.3.7 ! " x = n #
admet un élément neutre n
chaque élément a admet un opposé a!
K !V "V
qui vérifie les propriétés :
(# ; a) ! # * a
le neutre du corps K reste ‘neutre’
une pseudo associativité
une pseudo distributivité (sur K)
une pseudo distributivité (sur E)
Si (V ;! ;") une structure d’espace vectoriel, d’élément neutre n, et de symétrique x′ , alors les propriétés suivantes sont vérifiées. 2.3.1 L’élément neutre n est unique. 2.3.2 Pour tout élément x de V, L’élément x′ est unique. On le note x′ = − x . 2.3.3 x ! z = y ! z " x = y #x, y, z dans V 2.3.4 Pour tout élément x de V on a que : 0 ∗ x = n . 2.3.5 Pour tout nombre réel λ on a : λ ∗ n = n . 2.3.6 Pour tout élément x de V on a que : ( −1) ∗ x = x′ = − x . ( ! = 0 ou x = n) . Quelques questions autour des espaces vectoriels
1) Peut-on générer un espace vectoriel à partir d’un nombre fini de vecteurs ?
Si oui, dans ce cas quel est le nombre minimal nécessaire ?
2) Peut-on classifier les espaces vectoriels et si oui, par quel(s) critère(s) ? Plus
précisément, existe-t-il une caractéristique qui permet d’identifier deux espaces
vectoriels « isomorphes» ?
Définition. Si E et F sont des espaces vectoriels alors une application f de E dans F
qui préserve la structure d’espace vectorielle est appelée un homomorphisme
(d’espaces vectoriels) ou tout simplement une application linéaire.
1) Comment écrit-on une telle application linéaire ?
2) Quelles sont les propriétés de base que vérifie toute les application linéaire ?
3) Existe-t-il une forme « réduite » d’une application linéaire ? Si oui, comment la
trouver ?