Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Rafael Guglielmetti, Muriel Galley Algèbre linéaire II http ://homeweb1.unifr.ch/guglielr/pub/teaching.html Série 19 À rendre avant le mercredi 17 avril, 12h00 Remarque 1 Pour toute application linéaire T (respectivement matrice A), on note pT et MT les polynômes caractéristiques et minimaux de T (respectivement de l’application linéaire associée à A). Exercice 1 (Polynômes minimaux et polynômes caractéristiques, 4 points) 1. On considère une application linéaire T : R3 → R3 de polynôme minimal MT (t) = t(t2 − 1). Quel est le polynôme caracteristique pT ? 2. Calculez le polynôme characteristique et minimal des matrices suivantes : −5 3 2 3 −1 0 1 4 −7 4 3 , C = 2 0 0 , B := . A := 4 1 −3 2 1 2 −1 1 3. Pour la matrice C du point précédent, vérifiez par calcul le théorème de Cayley-Hamilton, c’est-à-dire que pC (C) = 0, l’application linéaire triviale. Exercice 2 (Matrice triangulaire supérieure, élément diagonal et polynôme minimal, 2 points) Soit A ∈ M(n × n, K) une matrice triangulaire supérieure et λ ∈ K un élément de la diagonale de A. Montrez que λ est une racine du polynôme MA (t). Exercice 3 (Evaluations de polynômes, 4 points) 1. Soit D ∈ M(n × n, K) une matrice diagonale. Montrez (sans utiliser le théorème de Cayley-Hamilton) que pD (D) = 0. λ1 ∗ .. 2. Soit A := la matrice associée à F ∈ End(V ) par rapport à la base . 0 λn (v1 , . . . , vn ). On définit le sous-espace Vk := span(v1 , . . . , vk ) et l’endomorphisme Gk : V −→ V par Gk := (λ1 · idV − F ) ◦ · · · ◦ (λk · idV − F ). pour k = 1, . . . , n. Montrer que Gk (Vk ) = {0} pour tout k. Exercice 4 (Divisions euclidiennes, 4 points) Soit R[t]n , l’espace des polynômes à coefficients réels de degré plus petit ou égal à n et soit g(t) = 12 · t2 + 4 · t + 2013. On définit l’endomorphisme R : R[t]n −→ R[t]n de la manière suivante : un polynôme p est envoyé sur le reste r de sa division par g, c’est-à-dire que p est envoyé sur r où r est l’unique polynôme de degré strictement inférieur à deg(g) tel que p = q · g + r. Montrez : 1. R est effectivement un endomorphisme. 2. R est diagonalisable. Exercice 5 (Espaces caractéristiques, 4 points) Déterminer les espaces caractéristiques de −1 4 −2 1 0 1 −2 −1 . A := 0 0 1 −3 0 0 0 −1 Exercice 6 (Vrai ou faux, 0 points) 1. Soit A ∈ M(3×3, R) une matrice qui satisfait l’équation A3 = A2 + 2A. Alors A est diagonalisable. 2. Soient A, B ∈ M(n × n, R) deux matrices ayant le même polynôme caracteristique. Alors A est semblable à B. 3. Soit T : V −→ V un endomorphisme triangularisable. Alors T possède une valeur propre.