module tr 30
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TR 30 MATHEMATIQUES TRONC COMMUN NIVEAU 3 MODULE TR 30 Nom : Date de distribution : Objectifs à atteindre : Relations trigonométriques dans le triangle rectangle 301 Calculer le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle aigu 302 Calculer un angle aigu 303 Calculer un côté Modules pré requis : Pré requis TC26, TC32 et G21 E2c en Yvelines Page 1 sur 13 TR 30 301 Calculer le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle aigu ► Rappels sur le triangle rectangle On considère le triangle ABC rectangle en A suivant : Hypoténuse C Côté opposé à l’angle A B Côté adjacent à l’angle Notations : - BAC et CAB est la notation de l’angle A qu’on peut aussi noter  - ABC et CBA est la notation de l’angle B qu’on peut aussi noter B̂ - ACB et BCA est la notation de l’angle C qu’on peut aussi noter Ĉ Propriétés : -  = 90° : angle droit, et B̂ et Ĉ sont des angles aigus. -  + B̂ + Ĉ =180° et comme  = 90° donc B̂ + Ĉ =90°. - l’angle B̂ a pour : ▪ côté adjacent le segment [AB] ▪ côté opposé le segment [AC] - l’angle Ĉ a pour : ▪ côté adjacent le segment [AC] ▪ côté opposé le segment [AB] ► Le sinus d’un angle aigu longu du côté opp à cet an sin us d ' un angle aigu longu de l ' hyp Notation : le sinus de l’angle B̂ est noté sin B̂ E2c en Yvelines Page 2 sur 13 TR 30 ˆAB ˆACet sin B C Exemples : dans la figure précédente : sin BC BC ► Le cosinus d’un angle aigu longu du côté adja à cet an cos inus d ' un angle aigu long de l ' hyp Notation : le cosinus de l’angle B̂ est noté cos B̂ ˆAC ˆABet cos B C Exemples : dans la figure précédente : cos BC BC ► La tangente d’un angle aigu longu du côté opp à ce an tan gente d ' un angle aigu longu du côté adj à ce an Notation : la tangente de l’angle B̂ est noté tan B̂ ˆAB ˆACet tan B C Exemples : dans la figure précédente : tan AB AC ► Avec une calculatrice Il faut mettre la calculatrice en mode DEGRE. Selon le type de calculatrice : - pour trouver le sinus d’un angle aigu : ▪ introduire la mesure de l’angle puis presser sur la touche : sin, ▪ ou presser sur la touche sin et introduire la mesure de l’angle et ensuite presser sur =, ▪ ou se reporter à la notice de votre calculatrice. - pour trouver le cosinus et la tangente faire comme pour le sinus. Exemples : Utiliser votre calculatrice pour vérifier les calculs suivants : Sin 15° = 0,258 8 ; cos 15° = 0,965 9 ; E2c en Yvelines tan 15° = 0,267 9 Page 3 sur 13 TR 30 Sin 31° = 0,515 0 ; Sin 45° = 0,707 1 ; cos 31° = 0,857 2 ; cos 45° = 0,707 1 ; tan 31° = 0,600 9 tan 45° = 1 Exercice 1 : 1°) Construire un triangle ABC rectangle en A avec : AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm. 2°) Calculer le sinus, le cosinus et la tangente des angles aigus avec une précision de 3 chiffres après la virgule. Que remarquez-vous ? Réponse : ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… Exercice 2 : 1°) Construire un triangle ABC rectangle en B avec : AB = 3 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm. 2°) Calculer le sinus, le cosinus et la tangente des angles aigus avec une précision de 3 chiffres après la virgule. Que remarquez-vous ? Réponse : ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… E2c en Yvelines Page 4 sur 13 TR 30 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… Exercice 3 : Soit un triangle ABC rectangle en C. 1°) On donne AC = 11,4 cm ; calculer la tangente des angles aigus dans les cas suivants : BC =2,8 cm ; 5,7 cm et 8,1 cm. 2°) On donne AB = 22,8 cm ; calculer le sinus, le cosinus des angles aigus dans les cas suivants : BC =5,6 cm ; 11,4 cm et 16,2 cm. Que remarquez-vous ? (Précision de 3 chiffres après la virgule). Réponse : ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… E2c en Yvelines Page 5 sur 13 TR 30 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… Exercice 4 : Calculer avec votre calculatrice le sinus, le cosinus et la tangente des angles aigus suivants : 5° ; 21° ; 71° Réponse : ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 302 Calculer un angle aigu Il faut mettre la calculatrice en mode DEGRE. Selon le type de calculatrice, pour trouver la mesure en ° d’un angle aigu dont on connaît : - la valeur de son sinus : ▪ introduire cette valeur puis presser sur les touches : inv et sin, ▪ ou presser sur la touche inv et sin et introduire cette valeur et ensuite presser sur =, ▪ ou se reporter à la notice de votre calculatrice. - la valeur de son cosinus, de sa tangente, faire comme pour le sinus. Exemples : 1°) Utiliser votre calculatrice pour trouver les angles dont les sinus sont : 0,258 8 ; On trouve : 15° ; 0,515 0 ; 31° ; 0,707 1 45° ; 2°) Trouver les angles dont les cosinus sont : E2c en Yvelines Page 6 sur 13 TR 30 0,965 9 ; 0,857 2 ; 0,707 1 On trouve : 15° ; 31° ; 45° ; 3°) Trouver les angles dont les tangentes sont : 0,466 4 ; On trouve : 25° ; 1,733 ; 60° ; 1 45° ; Exercice 5 : A l’aide de la calculatrice, compléter le tableau suivant : sin  = 0,471 sin  = 0,076 sin  = 0,482 303 Calculer un côté Pour déterminer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle, il suffit de connaître un angle et la longueur d’un second côté. Exemple : On considère un triangle ABC rectangle en B de côté AB = 20 cm et d’angle  = 50°. On cherche à calculer la longueur du côté BC. On a : tan  = BC AB En remplaçant les grandeurs connues par leurs valeurs, on aura : A BC tan 50° = 1,191 8 = 20 Alors BC = 1,191 8 x 20 = 23,8 cm. 50° Si on veut connaître la longueur du côté AC. B On a : cos  = C AB AC En remplaçant les grandeurs connues par leurs valeurs, on aura : cos 50° = 0,642 8 = 20 AC E2c en Yvelines Page 7 sur 13 TR 30 Alors AC = 20 0,6428 = 31,1 cm. Exercice 6 : Dans un triangle EFG rectangle en F, on donne EF = 40 cm et Ê = 35°. Calculer EG et FG. Réponse : ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… Exercice 7 : Dans un triangle ABC rectangle en A, on donne AB = 25 cm et Ĉ = 45°. Calculer AC et BC. Réponse : ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… E2c en Yvelines Page 8 sur 13 TR 30 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………….. Exercice 8 : La pente d’une route est la tangente de l’angle qu’elle fait avec l’horizontale. Sur cette figure la pente est tan  . route  horizontale 1°) Une route longue de 1 000 m s’élève de 50 m par rapport à l’horizontale. Calcule sin  et déduire la mesure de l’angle  . 2°) Calculer la pente de cette route. Exprimer cette valeur en pourcentage. E2c en Yvelines Page 9 sur 13 TR 30 Autocorrection Exercice 1 : 1°) 2°) Angle B Angle C B 3 cm 5 cm A C 4 cm On remarque que sin B̂ = cos Ĉ et cos B̂ = sin Ĉ Exercice 2 : 1°) 2°) Angle A A Angle C 3 cm 5 cm C B 4 cm On remarque que sin  = cos Ĉ et cos  = sin Ĉ Exercice 3 : 1°) On donne AC = 11,4 cm. A C BC 2, 8 c m 5, 7 c m B 8, 1 c m 2,85 ,0 7 8 ,0 1 ,246 ,500 0,711 11 ,4 11 ,4 11 ,4 E2c en Yvelines Page 10 sur 13 TR 30 11 ,4 11 ,411 ,4 4 ,071 2 1,407 2,85,7 8,1 2°) On donne AB = 22,8 cm. 5, 6 c m 11 ,4 c m 16 ,2 c m BC 5,6 11 ,4 16 ,2 0 ,246 0 ,5 0,711 22 ,8 22 ,8 22 ,8 5,6 11 ,4 16 ,2 0 ,246 0 ,5 0,711 22 ,8 22 ,8 22 ,8 On remarque que sin  = cos B̂ Exercice 4 : angle 5° 21° 71° Exercice 5 : A l’aide de la calculatrice, compléter le tableau suivant : sin  = 0,471 sin  = 0,076 sin  = 0,482 Exercice 6 : Pour déterminer EG : E2c en Yvelines Page 11 sur 13 TR 30 On a : cos Ê = EF EG En remplaçant les grandeurs connues par leurs valeurs, on aura : 40 EG cos 35° = 0,819 = Alors EG = E 40 0,819 = 48,8 cm. 40 cm 35° Pour déterminer FG : On a : tan Ê = FG EF F G En remplaçant les grandeurs connues par leurs valeurs, on aura : tan 35° = 0,700 = FG 40 Alors FG = 40 x 0,700 = 28 cm. Exercice 7 : Pour déterminer AC : On a : tan Ĉ = AB AC En remplaçant les grandeurs connues par leurs valeurs, on aura : C 25 tan 45° = 1 = AC Alors AC = 25 cm. 45° Pour déterminer BC : On a : sin Ĉ = AB BC A En remplaçant les grandeurs connues par leurs valeurs, on aura : B 25 cm 25 BC 25 0,707 = 35,4 cm. sin 45° = 0,707 = Alors BC = Exercice 8 : La pente d’une route est la tangente de l’angle qu’elle fait avec l’horizontale. Sur cette figure la pente est tan  . 1000 m route  50 m horizontale 1°) Une route longue de 1 000 m s’élève de 50 m par rapport à l’horizontale. E2c en Yvelines Page 12 sur 13 TR 30 50 On a sin  = 1000 = 0,05 et  = 2,9°. 2°) La pente de cette route est de : tan 2,9° = 0,05 = 5 %. E2c en Yvelines Page 13 sur 13
