Exercice 1. Courant harmonique dans le neutre

TD n°2
Sciences Appliquées
Qualité de l’énergie
BTS 2
Qualité de l’énergie __________________________________________________________________ 2
Exercice 1.
Contrôle de connaissances (Solution.1) _______________________________________________ 2
Exercice 1.
Exercice 2.
Exercice 3.
Exercice 4.
Exercice 5.
Exercice 6.
Perturbation d’un capteur (couplage par fil de masse) (Solution.2) ___________________________
Couplage par impédance commune (Solution.3) __________________________________________
Couplage par conducteur plan de masse _______________________________________________
Diaphonie inductive (Solution.5) ____________________________________________________
Diaphonie capacitive (Solution.6) ___________________________________________________
Perturbations électromagnétiques (Précis d’etk 2e année 2e ed p237)(Solution.7) _______________
Perturbations conduites _______________________________________________________________ 4
4
4
5
5
6
6
Perturbations rayonnées _______________________________________________________________ 7
Exercice 1.
Exercice 2.
Exercice 3.
Etude de cas : Foudre au sein d’un réseau informatique (Solution.8) __________________________ 7
Couplage champ électrique à conducteur(Solution.9) _____________________________________ 7
Couplage champ magnétique à boucle (Solution.10) _______________________________________ 8
Exercice 1.
Exercice 2.
Ligne monophasée (Solution.11) _____________________________________________________ 9
Relèvement du facteur de puissance(Solution.12) _______________________________________ 9
Compensation d’énergie réactive _________________________________________________________ 9
Harmoniques et filtres _______________________________________________________________ 10
Exercice 1.
Exercice 2.
Exercice 3.
Exercice 4.
Exercice 5.
Courant harmonique dans le neutre, surdimensionnement de celui-ci(Solution.13) ________________ 10
Claquage de condensateurs du aux harmoniques de courant (Solution.14) ______________________ 10
Claquage de condensateurs du aux harmoniques de courant(Solution.15) _______________________ 11
Etude d’un filtre anti- harmoniques Relèvement du facteur de puissance (Solution.16) (Ellipses p43) __ 12
BTS 2005 Etk Métropole Filtrage passif des signaux de commande présents sur le réseau (Solution.24)
13
Exercice 6.
BTS 2003 Etk Métropole : Etude d’un filtre anti-harmoniques (Solution.25) ___________________ 14
Exercice 7.
Etude d’un filtre anti- harmoniques (Solution.17) ________________________________________ 14
Exercice 8.
Amélioration du facteur de puissance avec un circuit LC (BTS 01 Métropole) (Solution.27) _________ 15
Exercice 9.
Etude d’un onduleur de secours (BTS 00 Métropole) (Solution.26) __________________________ 18
Exercice 10.
Etude en configuration onduleur à modulation de largeur d’impulsion (BTS 00 Nouméa) (Solution.28) 22
Exercice 11.
BTS 2009 Etk Metropole (Solution.29) ______________________________________________ 23
Exercice 12.
BTS 2005 Métropole : Couplage d’un transformateur (Solution.30) _________________________ 24
Exercice 13.
BTS 2001 (Nouméa) Transfo relevement fp () (Solution.31) _______________________________ 25
Exercice 14.
BTS 2007 Etk Metro - Etude de l’onduleur commande en MLI (Solution.32) ___________________ 27
Exercice 15.
BTS 2003 Etk Metro Alimentation des moteurs électriques de propulsion du paquebot Queen Mary 2
PD3 (Solution.33) _________________________________________________________________________ 28
Exercice 16.
BTS 2002 Etk Metro PMCF (Solution.34) _____________________________________________ 31
Exercice 17.
BTS 2002 Etk Nouméa PD3 et ses harmoniques (Solution.35) _____________________________ 33
Exercice 18.
BTS 1999 Etk Nouméa Q absorbée par PD3 commandé Compensateur statique (Solution.36) _______ 36
Exercice 19.
BTS 2010 Etk Metro Conséquences de l'utilisation d’un variateur de vitesse (Solution.37) ________ 39
Exercice 20. BTS 2010 Etk Nouméa ALIMENTATION ELECTRIQUE DE LA MACHINE (Solution.38) ___________ 41
Exercice 21.
BTS 2006 Etk Métro Etude d’un onduleur (Solution.39) __________________________________ 43
Exercice 22. BTS Etk 1995 Nouméa Etude de la génératrice tachymétrique (Solution.40) __________________ 46
Exercice 23. BTS Etk 2012 Nouméa Chalet PV(Solution.41) _________________________________________ 46
Exercice 24. BTS Etk 2013 Métro Eclairage Pablo Picasso (Solution.42)________________________________ 48
Exercice 25. BTS Etk 2013 Métro Eclairage Pablo Picasso (Solution.43) ________________________________ 49
Qualité de l’énergie Exercices à finaliser _________________________________________________ 53
Exercice 1.
Exercice 2.
Exercice 3.
Exercice 4.
Exercice 5.
Courants d’un tube fluorescent ____________________________________________________
Courants d’une lampe fluocompacte _________________________________________________
Courants dans une alim ordi (PD2 +C) _______________________________________________
Courants d’un oscilloscope _______________________________________________________
Etude de cas : Le match le Mans Guimgamp ___________________________________________
53
54
54
56
58
Solution.1. Exercice 1 :Contrôle de connaissances ________________________________________________
Solution.2. Exercice 1 :Perturbation d’un capteur ________________________________________________
Solution.3. Exercice 2 :Couplage par impédance commune __________________________________________
Solution.4. Exercice 3 :Couplage par conducteur plan de masse ______________________________________
Solution.5. Exercice 4 :Diaphonie inductive ____________________________________________________
59
59
60
60
60
Solutions Qualité de l’énergie __________________________________________________________ 59
Solution.6. Exercice 5 :Diaphonie capacitive ____________________________________________________ 60
Solution.7. Exercice 6 : Perturbations électromagnétiques (Précis d’etk 2e année 2e ed p237) _______________ 60
Solution.8. Exercice 1 : Etude de cas : Foudre au sein d’un réseau informatique __________________________ 60
Solution.9. Exercice 2 :Couplage champ électrique à conducteur ______________________________________ 61
Solution.10. Exercice 3 :Couplage champ magnétique à boucle ________________________________________ 61
Solution.11. Exercice 1 : Ligne monophasée ______________________________________________________ 61
Solution.12. Exercice 2 :Relèvement du facteur de puissance ________________________________________ 61
Solution.13. Exercice 1 :Courant harmonique dans le neutre, surdimensionnement de celui-ci ________________ 62
Solution.14. Exercice 2 :Claquage de condensateurs du aux harmoniques de courant (Solution.14) _____________ 63
Solution.15. Exercice 3 :Claquage de condensateurs du aux harmoniques de courant _______________________ 63
Solution.16. Exercice 4 : Etude d’un filtre anti- harmoniques Relèvement du facteur de puissance (Solution.16)
(Ellipses p43) __________________________________________________________________________ 65
Solution.17. Exercice 7 : Etude d’un filtre anti- harmoniques________________________________________ 66
Solution.18. Exercice 11 :BTS 2009 Etk Metropole _______________________________________________ 67
Solution.19. Exercice 1 :Courants d’un tube fluorescent ___________________________________________ 67
Solution.20. Exercice 2 :Courants d’une lampe fluocompacte ________________________________________ 67
Solution.21. Exercice 3 :Courants dans une alim ordi (PD2 +C) _______________________________________ 67
Solution.22. Exercice 4 :Courants d’un oscilloscope_______________________________________________ 67
Solution.23. Exercice 5 :Etude de cas : Le match le Mans Guimgamp __________________________________ 67
Solution.24. Exercice 5 : BTS 2005 Etk Métropole ______________________________________________ 67
Solution.25. Exercice 6 : BTS 2003 Etk Métropole : Etude d’un filtre anti-harmoniques____________________ 68
Solution.26. Exercice 9 : Etude d’un onduleur de secours (BTS 00 Métropole) (Solution.26) ________________ 69
Solution.27. Exercice 8 : Amélioration du facteur de puissance avec un circuit LC (BTS 01 Métropole) (Solution.27) 72
Solution.28. Exercice 10 : Etude en configuration onduleur à modulation de largeur d’impulsion (BTS 00 Nouméa) 74
Solution.29. Exercice 11 : BTS 2009 Etk Metropole ______________________________________________ 76
Solution.30. Exercice 12 : BTS 2005 Métropole : Couplage d’un transformateur _________________________ 77
Solution.31. Exercice 13 : BTS 2001 (Nouméa) Transfo relevement fp () _______________________________ 78
Solution.32. Exercice 14 : BTS 2007 Etk Metro - Etude de l’onduleur commande en MLI (Solution.32) _________ 79
Solution.33. Exercice 15 : BTS 2003 Etk Metro Alimentation des moteurs électriques de propulsion du paquebot
Queen Mary 2 PD3 (Solution.33) ___________________________________________________________ 80
Solution.34. Exercice 16 : BTS 2002 Etk Metro PMCF (Solution.34) __________________________________ 82
Solution.35. Exercice 17 : BTS 2002 Etk Nouméa PD3 et ses harmoniques (Solution.35) ___________________ 82
Solution.36. Exercice 18 : BTS 1999 Etk Nouméa Q absorbée par PD3 commandé Compensateur statique (Solution.36)
____________________________________________________________________________________ 83
Solution.37. Exercice 19 : BTS 2010 Etk Metro Conséquences de l'utilisation d’un variateur de vitesse (Solution.37)
____________________________________________________________________________________ 86
Solution.38. Exercice 20 : BTS 2010 Etk Nouméa ALIMENTATION ELECTRIQUE DE LA MACHINE (Solution.38) 88
Solution.39. Exercice 21 : BTS 2006 Etk Métro Etude d’un onduleur (Solution.39) ________________________ 89
Solution.40. Exercice 22 : BTS Etk 1995 Nouméa Etude de la génératrice tachymétrique (Solution.40) ________ 90
Solution.41. Exercice 23 : BTS Etk 2012 Nouméa Chalet PV(Solution.41) ________________________________ 91
Solution.42. Exercice 24 : BTS Etk 2013 Métro Eclairage Pablo Picasso (Solution.42) ______________________ 91
Solution.43. Exercice 25 : BTS Etk 2013 Métro Eclairage Pablo Picasso (Solution.43) _____________________ 92
Qualité de l’énergie
Exercice 1. Contrôle de connaissances (Solution.1)
Cochez les bonnes réponses
1. Le courant efficace est défini comme suit



I h1
I h3

 I hn2
n2
2.
Sur une charge non linéaire

3.
f p  cos 1

f p  cos 1
Allure de courant d’une charge non linéaire

f p  cos 1


I h21   I hn2
n2
U
U
I

I

U
U
I

4.
Le THDI est défini comme suit

I

5.
6.
7.
8.
9.
I

n2
I


I
2
hn

n 1
I

 I hn2
2
hn

n2
I1
I

n 1
2
hn
I1
La solution(s) de réduction des courants haute fréquence :
 Un filtre anti-harmoniques
 Un câble blindé
 Un filtre haut fréquences
La solution(s) de réduction du rayonnement d’un câble :
 Un câble blindé raccordé
 Un filtre hautes fréquences
 Un câble blindé
Moyen de mesure d’un courant haute fréquence :
 Sonde de Moebius
 Pince TI RMS
 Pince haute fréquence
 Antenne de mesure HF
Incidence du couplage inductif dans une surface de boucle de masse de câblage :
 Diaphonie capacitive
 Génération d’une tension perturbatrice
 génération de champ électrique
Cocher la ou les bonnes réponses
 La perturbation par couplage capacitif est un effet du champ magnétique.
 Le fil central d'un câble coaxial n'est pas soumis aux perturbations électromagnétiques, si la partie extérieure
est mise à la masse.
Perturbations conduites
Exercice 1. Perturbation d’un capteur (couplage par fil de masse) (Solution.2)
Le capteur est une dynamo tachymétrique délivrant 1V/(1000 tr/min)
VS est telle que à 2000 tr /min correspond 10 V.
1. Calculer la valeur du rapport R2/R1 satisfaisant cette condition.
La source de tension est de 120 V, la charge mécanique absorbe Imot= 8 A
Elle alimente la MCC de caractéristiques :
U= 120 V ; P= 850 W, n= 800 tr/min, I= 8A (Rinduit = 2 )
La charge mécanique impose un courant dans la MCC
2. Quelle est la vitesse de la MCC ?
3. Quelle est la tension délivrée par le capteur ?
4. Quelle est la tension v+, en déduire VS ?
La résistance du fil de masse est en fait de rfil =18 m
5. Déterminer la tension délivrée par le capteur , en déduire v+ (en n’oubliant pas la chute de
tension dans le fil de masse)?
6. Quelle est la tension VS ?
7. Quelle est la vitesse mesurée ?
Exercice 2. Couplage par impédance commune (Solution.3)
Pour les fils, l’inductance vaut à peu près 1 μH/m quel que soit le diamètre.
1. Calculer l’inductance de la piste, comparer avec la formule approchée de l’inductance d’un fil.
2. Montrer que la résistance d’une piste de circuit imprimé d’épaisseur e = 35 μm vaut approximativement
: R
3.
4.
5.
6.
d
0,5 103
Calculer les perturbations à 100 Hz et à 1 MHz.
Evaluer l’impédance de la piste de masse.
Calculer le courant délivré par le générateur.
Calculer la tension parasite aux bornes de la piste de masse.
Exercice 3. Couplage par conducteur plan de masse
Capacité parasite C = Cp + Ci
Cp  
S
: Capacité plane de 2 plaques séparées par un diélectrique de permittivité e.
e
Ci = 35.10-12 D : capacité intrinsèque qui prend en compte les effets de bord.
Circuit imprimé double face : verre époxy r = 4 épaisseur 1.5 mm
EDC = 9 V
EHF=2 V pour 1 MHz et RG= 47 
1. Calculer la capacité conducteur/plan de masse.
2. Calculer le courant parasite dans cette capacité.
3. Calculer la tension RG,.
Exercice 4. Diaphonie inductive (Solution.5)
Formule de la diaphonie : D 
1.
VV
: rapport de la tension victime sur la tension coupable.
VC
Calculer la mutuelle parasite entre les deux circuits.
2. Calculer la tension induite dans le circuit victime.
Exercice 5. Diaphonie capacitive (Solution.6)
1. Calculer la capacité parasite entre les deux pistes Cc.
2. Calculer la tension induite sur la piste victime.
Exercice 6. Perturbations électromagnétiques (Précis d’etk 2e année 2e ed p237)(Solution.7)
Une ligne A à un fil est parcourue par un courant i(t) alternatif à 50 Hz. La tension est VA= 230 V (par rapport à la terre).
Cette ligne perturbe une ligne B, identique à A et parallèle à A, et parcourue cette fois par un courant j(t) alternatif de
fréquence 1000 Hz. La tension dans cette ligne est V B = 24 V (par rapport à la terre). La longueur des deux fils est de 10
m.
La relation donnant la capacité linéique  par mètre de longueur est approximativement de la forme :

0,1
d
en pF.m-1 pour d > 0,05 m
On admet que chacun des conducteurs est relié à la terre par une résistance R = 1 M
1. Faire un schéma électrique équivalent pour la fréquence 50 Hz et pour la fréquence 1000 Hz.
2. On donne d = 0,05 m. Donner la valeur de la tension obtenue :
sur le conducteur B lorsque la fréquence est de 50 Hz (Notation V50 B)
sur le conducteur A lorsque la fréquence est de 1 000 Hz (Notation V 1 000 A )
3. On veut que la valeur des tensions V50 B et V1 000 A soit inférieure à 0,1 V. Quelle doit être la valeur minimale de d ?
4. Conclure sur l'intérêt de cette étude.
Perturbations rayonnées
Exercice 1. Etude de cas : Foudre au sein d’un réseau informatique (Solution.8)
Prenons le cas de deux ordinateurs en réseau (figure A) et examinons ce qui se passe lors d’un coup de foudre.
I
d
Supposons que la foudre tombe à 200 m du bâtiment avec un di/dt de 25.10 9 A/s (Icrête = 25 kA ; tm = 1 μs).
Si la boucle, formée par le réseau 50 Hz et les liaisons numériques (figure A) présente une surface de 50 m2
au champ impulsionnel.
1. Donnez l’expression de la f.e.m. développée dans le circuit
rappel : Le champ d’excitation créé par un fil rectiligne est H 
I
2 d
2. Calculez la valeur de cette fem. Est-elle dangereuse ?
3. Quelle parade proposez-vous ?
Exercice 2. Couplage champ électrique à conducteur(Solution.9)
BF : basses fréquences si F < Fres/2
HF : hautes fréquences si F > Fres/2
Fres : fréquence de résonance telle que la longueur  du dipôle est égale à la moitié de la longueur d’onde : /2
(monopoles avec plan de masse : = /4)  = c/F et c = 3.108 m/s
Calculer la fréquence de résonance.
Exercice 3. Couplage champ magnétique à boucle (Solution.10)
Tension induite dans la boucle : e = 2 F S μ0 H (si les dimensions de la boucle sont inférieures à l/4)
Vérifier que la tension induite est proportionnelle à la surface de la boucle
Compensation d’énergie réactive
Exercice 1.
Ligne monophasée (Solution.11)
Une ligne monophasée fournit à une usine un courant alternatif de fréquence f = 50 Hz, d'intensité I = 1 kA, sous une
tension U = 45 kV. Le facteur de puissance de l'usine est k = 0,8 (charge inductive).
1. Le modèle équivalent simplifié de cette ligne est représenté par le schéma de la figure ci-contre avec R = 8 .
2.
a.
Calculer les pertes par effet Joule dans la ligne.
b. Calculer la puissance active P, la puissance réactive Q et la puissance apparente S au départ de la ligne.
c. Calculer la tension U0 et le facteur de puissance k0 au départ de la ligne.
Le modèle équivalent réel de cette ligne est représenté par le schéma de la figure ci-contre avec R = 8 , L = 3,2
 et C=3µF.
a.
b.
c.
d.
Calculer la puissance réactive QC absorbée par le condensateur.
Calculer la nouvelle puissance apparente relative au groupement « usine + condensateur ». En déduire le
courant de ligne I'.
Calculer alors la puissance active PR consommée dans la résistance de ligne et la puissance réactive Q L
consommée dans l'inductance de ligne.
En déduire la tension U'0 et le facteur de puissance k'0 au départ de la ligne.
Exercice 2.
Relèvement du facteur de puissance(Solution.12)
On considère un atelier, alimenté par une ligne monophasée 20 kV/50Hz, absorbant une puissance active P = 500 kW, avec
un facteur de puissance k = cos = 0,75.
1- Calculer la puissance apparente de l'installation, le courant véhiculé dans l'installation et les pertes Joule dans les
câbles EDF alimentant l'installation (de résistance globale R = 10).
2- On a relevé le facteur de puissance à la valeur k' = cos' = 0,9 à l'aide d'une batterie de condensateurs placée
juste avant l'installation et présentant une capacité totale notée C. On suppose que la puissance active absorbée
par l'installation reste identique (P = 500 kW). Montrer que les pertes Joule dans la ligne alimentant l'installation
sont plus faibles que dans le cas précédent.
3- Calculer la capacité C qui a été utilisée pour le relèvement du facteur de puissance.
Harmoniques et filtres
Exercice 1. Courant harmonique dans le neutre, surdimensionnement de celui-ci(Solution.13)
Une installation triphasée (380/220 V) équilibrée comporte 3 lampes fluocompactes telles que le courant I eff
sur chaque ligne est de 180 mA.
Le courant est fortement déformé
 le fondamental du courant est de 102 mA
 l’harmonique de rang 3 est de 90 mA.
1. Quel est le taux de distorsion harmonique du courant.
2. Quelle est la puissance déformante
3. Quel est l’intensité du courant dans le neutre si on suppose négligeables les harmoniques de
courant supérieur à 3.
4. Vérifier la valeur de la somme des harmoniques >3
5. Quelle sera leur influence ?
Exercice 2. Claquage de condensateurs du aux harmoniques de courant (Solution.14)
On se propose d’étudier les phénomènes de résonances liés aux harmoniques dans une installation dotée de
condensateurs de relèvement de facteur de puissance.
Etude de l’installation
L’installation monophasée 230 V du client consomme 6.61 kW et 8.41 kVAR.
1.
Déterminer la valeur du condensateur permettant de relever le facteur de puissance à 0.97
2.
Si l’on modélise cette installation par une résistance, une inductance et un condensateur en parallèle,
déterminer les valeurs de ces 3 composants.
V=230 V
C
R
L
Genèse du problème
Un claquage intempestif des condensateurs a incité le technicien à observer le courant et la tension absorbés
par le réseau. L’étude a permis de constater que l’harmonique de courant de rang 5 I h5 est de 30% du courant
absorbé par l’installation.
3.
Déterminer l’impédance de l’installation vue par le réseau.
4.
En déduire l’amplitude de I.
5.
En déduire l’amplitude de Ih5 ainsi que sa fréquence.
Modélisation réseau+installation
6.
Montrer que le réseau, l’installation et les harmoniques peuvent être modélisés comme sur le schéma
suivant
Lrés
Ih5
V=230 V
C
R
L
Modélisation réseau+installation vu par l’harmonique de courant
7.
Montrer que le réseau et l’installation vu par l’harmonique peut être modélisé comme sur le schéma
suivant.
Ih5
R
8.
C
Ltot
Sachant que Lrés = 1.07 mH. Quelle est l’inductance Ltot ?
9.
Montrer que l'impédance de ce réseau est la suivante : Z
1

1 
1 

    C 
Ltot 
R 
2
2
10.
Montrer qu’à la fréquence de résonance que l’on précisera f0 (0), l'impédance est : Z = R. Vérifier que
cette fréquence de résonance est proche de l’harmonique de rang 5.
11.
En déduire la tension présente aux bornes de ce dipôle. Quelle est sa fréquence ?
Superposition des sources
12.
Montrer que le réseau vu par la tension de 230 V est modélisable comme sur le schéma ci-dessous.
Lrés
V=230 V
Z
13.
Par un calcul approximatif. Déterminer la tension aux bornes de Z.
14.
En appliquant le théorème de superposition : déterminer l’expression de la tension aux bornes des
condensateurs.
15.
Sachant que les condensateurs supportent au maximum 400 V, Expliquez les claquages fréquents.
Exercice 3. Claquage de condensateurs du aux harmoniques de courant(Solution.15)
Le réseau est schématisé comme sur le schéma suivant.
1.
Montrer que vis-à-vis des harmoniques le réseau est modélisable comme sur le 2 ème schéma.
2.
Montrer que ce schéma peut être représenté sous forme d'un circuit parallèle (bouchon) avec une seule
inductance équivalente à toutes les inductances du circuit.
Réseau amont
Transformateur
Scc amont
Ic
Scc transfo
Scc bt
Q
U
Q
Il
S
Ih
Ir
P
Ih
P
Electronique
Condensateur
de puissance
Eclairage, résistances, moteurs

1
3.
Montrer que l'impédance de ce réseau vue du TGBT est la suivante : Z
4.
5.
Montrer qu’à la fréquence de résonance que l’on précisera f0 (0), l'impédance est : Z = R
Si le courant harmonique Ih, de rang n de résonance généré par le circuit perturbateur, passe dans la
résistance R. Ce qui signifie pratiquement que cette intensité est absorbée par les charges consommant
de la puissance active. Déterminer l’expression de la tension harmonique U 0.
Déterminer l’expression de la tension atteinte par les condensateurs
Montrer que les courants de fréquence f0 dans les inductances et dans la batterie de condensateurs
6.
7.
2
1 
1 
    C 

L 
R 
2
U0
RI
 U 0C0  I L  I C  0  RI 0C0
L0
L0
R
 RC0 .
Si l’on pose k 
L0
sont : I L  I C 
8.
On constate que les inductances et la batterie de condensateurs sont parcourues par un courant du
rang résonnant qui est multiplié par le coefficient k. Chaque fois que ce coefficient sera supérieur à 1
(ce qui est fréquent), la présence des condensateurs amplifie les courants harmoniques injectés par les
pollueurs de l'installation.
9.
Ce risque sera augmenté si le réseau est peu chargé en récepteurs actifs. Dans ces conditions la
résistance équivalente R augmente entraînant une augmentation du coefficient k. Les courants
harmoniques du rang de résonance sont alors intenses dans le réseau, et présentent un risque certain
pour les condensateurs.
D'une manière générale, en connaissant la puissance de court-circuit SCC aux bornes d'une batterie de
condensateurs de puissance Q, Montrer que le rang de résonance n 0 sera : n0 
SCC
Q
Exercice 4. Etude d’un filtre anti- harmoniques Relèvement du facteur de puissance
(Solution.16) (Ellipses p43)
Afin de relever le facteur de puissance d’une installation triphasée comportant une charge déformante
(redresseur triphasé en pont sur machine à courant continu, on insère 3 cellules LC entre phases et neutre.
Chaque cellule ayant le même rôle, on s’intéressera dans un premier temps à celle de la phase 1. Pour supprimer
un harmonique, la cellule LC doit faire court circuit à la fréquence de cet harmonique.
Sans le filtre, le courant ip1 a l’allure de la figure ci-dessous. Les courants ip2 et ip3 sont les mêmes, décalés de
T/3. L’ensemble sans filtre consomme une puissance active P= 38,2 kW et réactive Q = 38,2 kVAR. La tension
entre phases fournie par le réseau est U=400V , f = 50 Hz, la valeur maximale du courant de ligne est I =
100 A
1. Sans cellule LC : calculer la valeur efficace de iP1 : I P1 . En déduire la puissance apparente S absorbée
par la charge et le facteur de puissance.
2. Sur quels facteurs doit-on agir pour relever le facteur de puissance ?
3. Pourquoi le courant ip1 ne comporte-t-il pas d’harmonique de rang pair ?
4. Sachant que iP1 (t) se décompose en harmoniques tel que
iP1 (t ) 
4I




 2n  1 sin   2n  1  3  cos   2n  1 t 
1
n 0
Justifiez alors le fait que l’harmonique 5 soit le plus gênant.
Déterminez la valeur efficace du fondamental de iP1 : I P1
1
I P1  I P1
2
Déterminez le THD 
2
1
I P1
1
5. On veut supprimer l’harmonique de rang 5 de chacun des trois courant i p1 , ip2 , ip3. En déduire une
relation entre L, C et .
6. Montrer alors que vis-à-vis du fondamental, la cellule LC se comporte comme un condensateur
équivalent (Céq)
7. Calculer la valeur de Céq pour que les cellules LC compensent la puissance réactive Q pour la fréquence
du fondamental.
8. En déduire la valeur de C puis celle de L.
I
ip1(t)
T/6
/3
T/2

T= 20 ms
2
t

ip1
Charge
déformante
L
C
Exercice 5.
BTS 2005 Etk Métropole Filtrage passif des signaux de commande présents
sur le réseau (Solution.24)
.
On s’intéresse aux signaux de commande envoyés par EDF sur le réseau.
Un filtre est placé en série avant certains systèmes sensibles.
Le filtre est constitué de trois cellules passives identiques insérées sur chaque phase. La structure ci-dessous représente
la cellule sur la phase A.
Figure C3
On note Z l'impédance complexe du dipôle A1A2.
Le graphique ci-dessous (figure C4) donne l'évolution du module Z de Z en fonction de la fréquence f pour un
fonctionnement en régime sinusoïdal à fréquence variable.
Figure C4
On rappelle que :
l'admittance complexe d'un dipôle est définie par


Y
1
Z
, Z étant son impédance complexe ;
les admittances de dipôles en parallèle s'ajoutent.
1. Ecrire l'admittance complexe de chaque composant R, L et C. En déduire l'admittance complexe du circuit sous la forme
Y  A  jB
, A et B étant fonction de R, L, C et de la pulsation .
2. Montrer que son module Y passe par un minimum Ymin pour la pulsation particulière 0. Exprimer 0 en fonction de L et C.
Exprimer Ymin,,. En déduire l'impédance Zmax correspondante.
3. Relever sur la figure C4 la valeur maximale Z max et la fréquence correspondante.
4. On donne L = 4,0 mH. Déterminer les valeurs de R et C.
5. L'ensemble constitué de l'alternateur et de son transformateur de sortie présente pour chaque phase, à la fréquence
de 175 Hz, une impédance série inférieure à 35 . Conclure sur l'intérêt de ce filtre pour le réseau HTA.
6. Chaque cellule a son impédance à 50 Hz égale à Z50= 1,86.10-3+1,36j.
Sachant que le courant circulant dans chaque cellule est de 21 A donnez les puissances actives et réactives consommées
par chaque cellule de ce filtre
Exercice 6.
BTS 2003 Etk Métropole : Etude d’un filtre anti-harmoniques (Solution.25)
Une installation comporte une charge déformante constituée
entre autres de plusieurs redresseurs associés de telle sorte
que le courant réseau comporte en plus de son fondamental
des harmoniques. Le premier d’entre eux est celui de rang 11.
Pour diminuer le taux global de distorsion en courant de
cette installation triphasée, on place sur le réseau un filtre
triphasé constitué de 3 éléments identiques couplés en
étoile.

i
R=5
V=63 kV
f=60 Hz
Charge
équivalente
monophasée
L=0,16 mH
C=307 µF
On envisage un fonctionnement pour lequel la puissance réactive vaut : Q=14,8 MVAR
On fera l’étude pour une seule phase du réseau
Le modèle équivalent retenu pour ce filtre est représenté ci-contre. La tension sinusoïdale entre phases et neutre a pour
valeur V = 6,3 kV et f=60 Hz
1ère Partie : Comportement du filtre à la fréquence du fondamental.
A la fréquence du fondamental, on utilise le schéma simplifié suivant.
1.
2.
if
iLC
Exprimer puis calculer l’impédance complexe Z1 du circuit LC pour f = 60 Hz. En
déduire la valeur efficace ILC du courant iLC.
Calculer la puissance réactive QLC mise e n jeu dans le circuit LC pour f = 60 Hz.
2ème Partie : Comportement du filtre au rang 11.
1. Donner l’expression de Ze11 , impédance complexe équivalente aux
éléments R et L en parallèle pour la fréquence f11 = 660 Hz .Mettre
cette expression sous la forme r+jx.
Sachant que R = 5 , donner les valeurs numériques de r et x.
L=0,16 mH
v
C=307 µF
Réseau
Charge polluante
i11
=0,5 mH
R
Dans la suite, on prendra r = 0,086  et x = 0,65 
2.
3.
L
C
Calculer le module de l’impédance Z11 du filtre pour la fréquence f11.
On utilise le modèle suivant où i11 est l’harmonique de courant de rang 11 généré par l’installation.
Calculer l’impédance
Z 11
représentée par l’inductance  à la fréquence f11.
Montrer, en comparant les valeurs de
Z11
et
Z 11
que l’harmonique i11 circule principalement dans le filtre.
Exercice 7. Etude d’un filtre anti- harmoniques (Solution.17)
Une installation comporte une charge déformante constituée entre autres de plusieurs redresseurs associés
de telle sorte que le courant réseau comporte en plus de son fondamental des harmoniques. Le premier d’entre
eux est celui de rang 11. Pour diminuer le taux global de distorsion en courant de cette installation triphasée,
on place sur le réseau un filtre triphasé constitué de 3 éléments identiques couplés en étoile.
On envisage un fonctionnement pour lequel la puissance réactive vaut : Q=14,8 MVAR
On fera l’étude pour une seule phase du réseau
Le modèle équivalent retenu pour ce filtre est représenté ci-contre. La tension sinusoïdale entre phases et
neutre a pour valeur V = 6,3 kV et f=60 Hz

i
V=6,3 kV
f=60 Hz
Charge
équivalente
monophasée
L=0,16 mH
R=5
C=307 µF
1ère Partie : Comportement du filtre à la fréquence du
fondamental.
A la fréquence du fondamental, on utilise le schéma simplifié
suivant.
1. Exprimer puis calculer l’impédance complexe Z1 du
circuit LC pour f = 60 Hz. En déduire la valeur efficace
ILC du courant iLC.
2. Calculer la puissance réactive QLC mise e n jeu dans le
circuit LC pour f = 60 Hz.
2ème Partie : Comportement du filtre au rang 11.
1. Donner l’expression de Ze11 , impédance complexe
équivalente aux éléments R et L en parallèle pour la
fréquence f11 = 660 Hz .Mettre cette expression sous la
forme r+jx.
Sachant que R = 5 , donner les valeurs numériques de r
et x.
Dans la suite, on prendra r = 0,086  et x = 0,65 
2. Calculer le module de l’impédance Z 11 du filtre pour la
fréquence f11.
3. On utilise le modèle suivant où i11 est l’harmonique de
courant de rang 11 généré par l’installation.
Calculer l’impédance Z 11 représentée par l’inductance 
à la fréquence f11.
Montrer, en comparant les valeurs de
if
iLC
L=0,16 mH
v
C=307 µF
Réseau
Charge polluante
i11
=0,5 mH
L
R
C
Z11 et Z 11 que
l’harmonique i11 circule principalement dans le filtre.
Exercice 8.
Amélioration du facteur de puissance avec un circuit LC (BTS 01 Métropole)
(Solution.27)
On s'intéresse à un fonctionnement de l'installation en pont tout thyristors. Sauf mention contraire (question
5.3), on admet que le courant i des figures 1 et 3 a l'allure représentée figure 7 sur le document réponse n°2.
La tension sinusoïdale du réseau a pour valeur efficace U = 400 V et pour fréquence f = 50 Hz.
1. Pour IC = 50 A, donner la valeur efficace I du courant i puis calculer la puissance apparente S de
l'installation.
2. On rappelle que si la tension du réseau est sinusoïdale, la puissance active P et la puissance réactive Q qu'il
fournit à l'installation se calculent en utilisant le fondamental (ou premier harmonique) du courant i.
2.1. Représenter sur le document réponse n°2, le fondamental i F du courant i sachant que son
amplitude a pour valeur: I F max 
4IC

- Calculer la valeur efficace IF du fondamental pour IC = 50 A.
- Indiquer la nature (avance ou retard) et la valeur du déphasage F du fondamental du courant
par rapport à la tension du réseau.
2.2. Donner les expressions générales de la puissance active P et de la puissance réactive Q absorbées
par l'installation.
Faire l'application numérique pour IC = 50 A et  

3
En déduire la valeur numérique du facteur de puissance k 
3. D étant la « puissance déformante », on pose : S 
P
S
P2  Q2  D2
Calculer D avec les résultats des questions 1 et 2.2.
Comment faut-il agir sur les termes « Q » et « D » pour améliorer le facteur de puissance ?
On se propose maintenant de montrer qu'un circuit LC, branché aux bornes du réseau (fig. 1), agit à la fois sur
la puissance réactive et la puissance déformante dans le but d'améliorer le facteur de puissance.
On donne : C = 200 F et L = 5,63 mH et on néglige la résistance de la bobine d'inductance L.
4. Action du circuit LC sur la puissance réactive
Cette action se manifeste sur le fondamental du courant i, c'est-à-dire pour la fréquence 50 Hz.
L'ensemble du montage est schématisé sur la figue 5. Le fondamental du courant consommé par
l'installation est représenté par le générateur de courant iF.
4.1. Pour f = 50 Hz, calculer l'impédance complexe du circuit LC ; en déduire la valeur efficace du
courant qui le traverse.
4.2. Calculer la puissance réactive QLC mise en jeu dans le circuit LC. On note
Préciser si
QLC sa valeur absolue.
QLC est absorbée par le circuit LC ou fournie par lui au réseau.
4.3. Calculer la nouvelle puissance réactive Q t fournie par le réseau.
5. Action du circuit LC sur la puissance déformante
Cette action se manifeste sur le troisième harmonique du courant i, c'est à dire pour la fréquence 150
Hz. Pour expliquer le rôle du circuit LC on utilise le modèle représenté figure 6.
L'harmonique 3 du courant traversant l'installation est représenté par le générateur de courant i H3. On
tient compte maintenant de l'impédance du réseau qui alimente l'installation et qui est équivalente à
celle d'une inductance = 0,40 mH.
5.1. Pour f = 150 Hz, calculer l'impédance du circuit LC et la comparer à l'impédance présentée à cette
même fréquence par l’inductance .
5.2. Montrer, sans calcul, que le réseau n'est pratiquement pas affecté par l'harmonique 3 de i. Quel
est, dans l'expression de la puissance apparente S donnée à la question 4.3, le terme qui est modifié
par cette action du circuit LC ?
5.3. Les figures 8 et 9 représentent les oscillogrammes des courants réellement mis en jeu dans
l'installation lorsque le circuit LC est en place. Montrer en quelques lignes qu'ils confirment
qualitativement l'analyse précédente.
5.4. Quels sont les appareils qui permettraient de compléter utilement l'usage de l'oscilloscope pour
une confirmation quantitative ?
Schéma de l'installation valable à 50 Hz pour le calcul de la puissance réactive
Figure 5
Schéma de l'installation valable pour l'harmonique 3 du courant
Figure 6
DOCUMENT REPONSE
Quatrième partie
Exercice 9.
Etude d’un onduleur de secours (BTS 00 Métropole) (Solution.26)
Dans le cas, extrêmement improbable, où les différents alternateurs seraient tous hors service, il est encore possible
d'alimenter les organes essentiels de l'avion pendant une demi-heure par l'intermédiaire d'un onduleur autonome dit
"convertisseur de dernier secours". Celui ci permet de reconstituer un réseau alternatif 115 V / 400 Hz monophasé à partir
d'une batterie délivrant une tension continue
UB .
Ce convertisseur indirect est constitué de deux étages :
— un onduleur en pont complet qui fournit la tension vMN(t) (figure 5),
— un filtre de sortie qui fournit la tension vS(t) (figure 6a).
Le schéma de principe de l'onduleur est celui de la figure 5
K1
i
UB
K4
vMN(t)
M
N
K3
K2
Figure 5
Cahier des charges de l’onduleur de secours muni de son filtre de sortie passe-bas :
Valeur efficace du fondamental de la tension de sortie du filtre : VS1
115 V
Fréquence de sortie : f
400 Hz
Puissance apparente nominale de sortie :
1,0 kVA
PS
Facteur de puissance
0,70 < cos   1
Distorsion globale de la tension de sortie : dg
<5%
3° partie : Etude des tensions de sortie de l'onduleur
3.1 On envisage le cas d'une commande "pleine onde" selon la loi définie sur le document réponse 1 a.
3.1.1 Tracer le graphe de la tension
vMN (t ) sur le document réponse 1 a.
3.1.2 Exprimer la valeur efficace VMN de vMN (t ) en fonction de UB.
3.2 La décomposition en série de Fourier de
vMN (t )
est la suivante :
4U B 
1
1

sin t   sin  3 t   sin  5 t   ...

 
3
5

Donner l'expression de v1 (t ) , fondamental de vMN (t ) .
vMN (t ) 
3.2.1
En déduire l’expression de sa valeur efficace V1 en fonction de UB.
3.2.2 Quelle devrait être la valeur de UB pour obtenir V1 = 115 V ?
3.2.3 La distorsion globale de la tension de sortie
vMN (t ) dépend du taux d'harmoniques :
Si V1 est la valeur efficace du fondamental de vMN (t ) et V2 , V3 , V4 ,… Vn ,… les valeurs efficaces des autres
harmoniques de cette tension (certaines de ces valeurs pouvant être nulles), la distorsion globale d g est
définie comme suit :

2
 Vn
V22  V32  ...  Vn2  ...
n2
dg 

V1
V1
Comme
2
VMN
 V12  V2 2  V32 ...  Vn 2  .. 
(1)

V12
n 1
, on peut également écrire :
dg 
2
VMN
 V12
V1
(2).
Calculer dg dans le cas précédent.
3.3 Le montage effectivement réalisé est un onduleur à modulation de largeur d'impulsions (MLI). La commande des
interrupteurs est définie sur le document réponse 1 b.
3.3.1 Tracer la tension
correspondant à ce cas sur le document réponse 1 b.
vMN (t )
3.3.2 Exprimer la valeur efficace
de
VMN
vMN (t )
en fonction de UB et des angles 1, 2, 3, 4 et 5 (on pourra
pour cela effectuer un calcul d'aire).
3.3.3 La tension
vMN (t )
ne comporte pas d’harmonique de rang pair. Par ailleurs les angles 1, 2, 3, 4 et 5 sont
choisis de manière à annuler les harmoniques de rang 3, 5, 7, 9 et 11. Il en résulte la décomposition en série de Fourier
de
vMN (t )
suivante :
vMN  t  
4U B

Donner l'expression de
 0,802  sin t  -
4U B
4U B
 2, 01 sin 13 t   2, 64  sin 15 t   ....
13 
15 
v1  t  , fondamental de vMN  t  .
Donner l’expression de sa valeur efficace
V1 en fonction de UB.
La distorsion globale qui correspond à ce deuxième cas est dg = 49 %. Elle n’est donc pas meilleure que la précédente.
Elle rend donc nécessaire la présence d’un filtre.
4° partie : Filtre de sortie de l'onduleur
La charge est assimilable à un circuit purement résistif
R ( figure 6a ).
filtre
L
L
vMN
C
R
vS
vn
C
Figure 6a
vSn
Figure 6b
4.1 Etude de l’action du filtre sur le fondamental de vMN(t)
4.1.1 Calculer la valeur de R lorsque le filtre fournit 1,0 kW à la charge sous VS =115 V.
Pour la suite du problème on prend R = 13 , L = 0,47 mH et C = 22 µF.
Dans ces conditions, si l’on note V1 le fondamental de
impose la relation :
VS1
 1, 06
V1
vMN  t 
et VS1 le fondamental de vs(t), le filtre de la figure 6a
.
vMN  t  fournie par l’onduleur MLI, alimenté sous la tension UB :
4U B
4U B
4U B
vMN  t  
 0,802  sin t   2, 01 sin 13 t   2, 64  sin 15 t   ....

13 
15 
4.1.2 On rappelle l’expression de la tension
Déterminer la valeur de UB qui permet d’obtenir VS1 = 115 V.
Pour la suite du problème, on prendra UB = 150 V.
4.2 Etude de l’action du filtre sur les harmoniques de vMN(t)
4.2.1 Donner les expressions de ZL13 et ZC13, impédances complexes de la bobine et du condensateur vis à vis de
l'harmonique de rang 13. Calculer les modules Z L13 et ZC13.
4.2.2 Montrer que pour l’harmonique 13, et, plus généralement, pour tous les harmoniques non nuls de
filtre de la figure 6a se ramène au filtre simplifié de la figure 6b.
4.2.3 On note Vn le nombre complexe associé à l'harmonique de rang n de
vMN  t 
1
V Sn

2
Vn
1- n LC  2
.
le
et Vn sa valeur efficace ; de même
VSn est le nombre complexe associé à l'harmonique de rang n de vS et VSn sa valeur efficace.
Démontrer que
vMN  t  ,
4.2.4 En déduire l’égalité approchée
VS13 1
V
 , et, pour n > 13, les inégalités Sn  1 .
Vn 10
V13 10
4.2.5 On rappelle que la distorsion globale
de la tension vMN(t) fournie par l’onduleur MLI est égale à 49 %. À
d gv
MN
partir de la définition (1) de dg donnée à la question 3.2.3 pour vMN(t), donner l’expression de la distorsion globale
d gv
de la tension de sortie vS(t) du filtre.
S
En utilisant cette définition et les résultats des questions 4.1.1 et 4.2.4, montrer que
d gv
est inférieure à 5 %.
S
4.3 On revient à la solution “pleine onde” de la question 3.1 pour laquelle on utilise un filtre de même nature que celui de la
figure 6a.
Dans ce cas, pour obtenir une distorsion globale
d gv  5%
de la tension vS(t), on trouve qu’il faut une valeur du produit
S
LC environ 10 fois plus grande que celle qui est utilisée dans le filtre associé à l’onduleur MLI.
Quel est, de ce point de vue, l'intérêt de la commande MLI ?
DOCUMENT REPONSE N° 1 a
Les parties en trait épais correspondent à l'état fermé des interrupteurs
Les parties en trait fin correspondent à l'état ouvert des interrupteurs.
K1
K2
K3
K4
vMN(t)
UB
0
T/2
-UB
DOCUMENT REPONSE N° 1 b
T
t
K1
K2
K3
K4
1
2
vMN(t)°
3
4
5
1 = 18°
3 = 37°
5 = 57°
2 = 27°
4 = 53°
180°
360°
UB
0
T
T/2
-UB
Exercice 10.
Etude en configuration onduleur à modulation de largeur d’impulsion (BTS
00 Nouméa) (Solution.28)
On considère maintenant l'ensemble du convertisseur (figure.1). Les trois sorties 1,2,3 alimentent un moteur asynchrone.
La tension Uo est maintenue égale à 480 V, la commande à modulation de largeur d'impulsions des interrupteurs est
périodique de période To.
C.1. On donne le graphe de la tension entre phases u12 (t), les deux autres tensions u23 (t) et u31 (t) sont de forme
identique, déphasées chacune de To/3.
u12(t)
480 V
0V
t
-480 V
0 ms
5 ms
10 ms
20 ms
Figure 8
La pulsation du fondamental de u12 (t) étant notée  , on donne:
t1 =  = 0,245 rad (14,0°) ; t2 =  = 0,428 rad (24,5°) ; (t3 =  = 0,529 rad (30,3°).
Dans ces conditions, la décomposition en série de u12(), avec  = t, qui ne comporte pas d'harmoniques pairs (u12() est
une fonction alternative ), est, pour n impair :


4U 0
 cos n  cos n  cos n  sin  n 
n 1 n
u12 ( )   Bn sin n  
n 1
C.1.1 On obtient les expressions de u23() et de u31 () à partir de u12() en y remplaçant  respectivement
par ( - 2/3) et ( + 2/3). En déduire que les harmoniques de rang 3 de u23() et de u31 () sont en phase avec
l'harmonique 3 de u12()
Cette propriété, qui est vérifiée par tous les harmoniques dont les rangs sont des multiples de 3, permet
d'éliminer l'influence de ces harmoniques sur le moteur asynchrone.
C.1.2 Les valeurs de ,  et  données plus haut permettent d'éliminer trois harmoniques qui sont a prioriles plus
gênants. Quels sont ces harmoniques ?
Vérifier que l'harmonique 5 fait bien partie des harmoniques éliminés par le choix de ces angles
.
C.1.3 Déterminer la valeur efficace U12 de u12() pour ces mêmes valeurs de ,  et  (on pourra utiliser un calcul
d'aires ).
C.1.4 Déterminer la valeur efficace UF du fondamental de u12()
C.1.5 Le taux de distorsion harmonique de u12() est défini par:
U122  U F2
D
UF
. Calculer D
Exercice 11. BTS 2009 Etk Metropole (Solution.29)
D.2. qualité de l'énergie électrique distribuée au puits L4
La figure 5 récapitule les départs de puissance sur le jeu de barres de l'armoire électrique du puits L4.
L'équipement demandant la plus grande puissance et produisant le plus d'harmoniques de courant est de loin le variateur.
Des mesures de tension, de courant et de puissance ont été réalisées sur les trois phases (et le neutre en ce qui concerne
le courant) en amont du jeu de barres.
Les résultats de ces mesures sont présentés figure 6.
On précise que les tensions sont parfaitement sinusoïdales (ou considérées comme telles).
D.2.1. A l'aide du schéma du variateur figurant sur le document-réponse B.2, comment peut-on expliquer la présence des
harmoniques de courant ? Pourquoi les harmoniques de rang multiple de 3 sont-ils d'amplitude très faible ?
D.2.2. Pourquoi le conducteur de neutre est-il nécessaire dans cette installation ? Quelle est l'origine du courant dans ce
conducteur ?
D.2.3. Pour chacune des trois phases, calculer :
D.2.3.1. la puissance réactive,
D.2.3.2. la puissance déformante,
D.2.3.3. le facteur de puissance.
D.2.4. Proposer une solution pour réduire la valeur efficace du courant de ligne en amont du jeu de barres AVAL JB2.
Exercice 12.
BTS 2005 Métropole : Couplage d’un transformateur (Solution.30)
Rôle du transformateur triphasé placé entre le réseau HTA et la distribution BTA.
Le réseau HTA délivre des tensions sinusoïdales formant un système triphasé équilibré direct (UAB = UBC = UCA = U1 = 20 kV).
Il alimente le primaire d'un transformateur abaisseur de tension, de couplages triangle au primaire et étoile avec neutre au
secondaire. Le secondaire délivre un système triphasé équilibré direct de tensions de valeur efficace U2 = 400 V.
Chaque colonne porte un enroulement primaire de N1 spires et un enroulement secondaire de N2 spires.
Le transformateur est supposé parfait. La figure B1 précise la désignation des différents courants et les conventions
adoptées.
B1. Caractéristiques du transformateur.
B1.1. Déterminer le rapport mC, de transformation par colonne du transformateur.
B1.2. Déterminer, en le justifiant, l'indice horaire Ih du transformateur.
B2.
Premier cas de fonctionnement : l'ensemble des récepteurs constitue une charge linéaire triphasée
équilibrée. Les courants ia(t), ib(t) et ic(t) sont alors sinusoïdaux. On a
ia (t )  I a 2 sin t 
avec Ia = 900 A et
f=50 Hz. Exprimer in(t) en fonction de ia(t), ib(t) et ic(t). En déduire la valeur de in(t).
B3.
Deuxième cas de fonctionnement : les récepteurs constituent une charge non-linéaire triphasée équilibrée.
Chaque courant en ligne au secondaire résulte de la superposition d'un courant fondamental de fréquence 50 Hz et de
courants harmoniques de fréquences multiples.
On ne prend en compte que les harmoniques de rang 3, les autres rangs sont négligés. Le courant ia(t) (figure B2) a
alors pour expression
ia (t )  I a1 2 sin t   I a 3 2 sin  3t  ,
avec I a 1 = 900 A et Ia3= 130 A.
Les courants ia(t), ib(t) et ic (t) formant toujours un système triphasé équilibré, ib(t) et ic(t) s'obtiennent en
remplaçant respectivement .t par
B31.
B3.2.
B3.3.
B3.4.
B3.5.
Exercice 13.
2 

 t 

3 

et par
4 

 t 
.
3 

Vérifier, en exprimant ib(t) et ic(t), que les trois composantes de rang 3 sont en phase, comme le montre la
figure B2.
Ecrire la loi des nœuds au point n. En déduire l'expression de in(t). Tracer son allure sur la figure B3 du
document réponse n°2. Donner sa valeur efficace.
Etablir que les courants dans les enroulements primaires ont pour expression jA(t) = 0,0115 .ia(t), jB(t) =
0,0115 .ib(t) et jC(t) = 0,0115 .ic(t).
Ecrire la loi des nœuds au point A. En déduire l'expression du courant i1(t).
En déduire l'intérêt de ce couplage pour le réseau HTA.
BTS 2001 (Nouméa) Transfo relevement fp () (Solution.31)
Les caractéristiques du transformateur triphasé servant à l'alimentation de l'usine sont
- puissance apparente secondaire nominale
S2n =250 kVA
- tension composée primaire nominale
U1n = 20 kV à la fréquence f = 50 Hz
- tension composée secondaire nominale
U2n = 400 V
- couplage:
Dyn
Des essais ont été réalisés :
- essai à vide, sous la tension U10=U1n
Puissance absorbée au primaire
P10 = 0,65 kW
Tension composée secondaire :
U20 = 410 V
- essai en court-circuit, sous la tension U 1cc =4% de U1n
Puissance absorbée au primaire:
P1cc = 3,25 kW
Intensité du courant de ligne secondaire :
I2cc = I2n
1°). Déterminer la valeur efficace nominale I2n de l'intensité du courant de ligne secondaire.
m
2°). Déterminer le rapport de transformation à vide
U 20
U10
3°). On souhaite déterminer le schéma équivalent par phase ramené au secondaire, conformément à la figure ci dessous.
jXS
RS
I2
N1 spires
r1 résistances
f1
fuites
E2
V2
3.1. A l'aide de l'essai en court-circuit réalisé sous tension primaire réduite, déterminer Z s
3.2. Que représente la puissance P1cc absorbée dans l'essai en court-circuit ?
3.3. En déduire Rs puis Xs
Dans la suite, on prendra Rs = 8,3 m et Xs = 25 m
4°) On imagine pour l'instant un fonctionnement du transformateur, alimenté sous sa tension primaire nominale, qui débite
une intensité I2 = I2n en alimentant directement une charge triphasée équilibrée de nature inductive, caractérisée par
un facteur de puissance de 0,80.
4.1. Quelle est la tension disponible entre phases aux bornes de la charge ?
4.2. Quel est alors le rendement du transformateur ?
5°) En vu d'un éventuel accroissement de la puissance installée, il est envisagé de rajouter un deuxième transformateur
triphasé fonctionnant en parallèle avec le premier, ce qui rend indispensable la connaissance de l'indice horaire, noté h,
du transformateur déjà installé. Déterminer h.
n
A
B
a
b
C
c
2. Etude de la charge
On suppose que la charge constituée par l'usine est alimentée sous une tension de valeur efficace constante U = 400 V, de
fréquence f =50 Hz, et qu'elle absorbe une puissance active constante P =150 kW , une puissance réactive Q positive, avec
un facteur de puissance très variable, évoluant entre 0,4 et 1.
On note Ps et Qs les puissances fournies par la source triphasée.
1°) Entre quelles valeurs Imin et Imax évolue le courant de ligne ?
2°) Pour quelle valeur du facteur de puissance de la charge atteint-on I = 360 A ? A quelle puissance apparente de la
source cela correspond-il ?
Un transformateur de 250 kVA convient-il pour tous les facteurs de puissance possibles, compris entre 0, 4 et 1 ?
Lorsque le facteur de puissance de la charge est faible, on branche en parallèle une batterie de 3 condensateurs
identiques, de capacité C, montés en triangle
On note Ps et Qs les puissances fournies par la source triphasée, P ct et Qct les puissances absorbées par la batterie de
condensateurs et P et Q les puissances absorbées par la charge.
3°) Pour un facteur de puissance de la charge de 0,40 on veut que I source = 240 A. Etablir un bilan de puissances. En déduire
la valeur de C
Exercice 14.
BTS 2007 Etk Metro - Etude de l’onduleur commande en MLI (Solution.32)
On étudie un onduleur dont la structure est représentée Figure 6.
Sur la Figure 7 figurent la tension vAN ainsi que l'intensité ia du courant absorbé dans la phase « a » pour le point de
fonctionnement étudié (sur une période entière).
D.1- Etude harmonique
On a représenté sur la Figure 8 le spectre d'amplitude de VAN.
D.1.1- Quelle est la fréquence du signal VAN ? Quelle est la fréquence de son fondamental VAN1 ? Justifier chacune des
réponses.
D.1.2- Déterminer la valeur efficace du fondamental de la tension, notée VAN1.
D.1.3- Quels sont la fréquence et le rang du premier harmonique non nul de rang strictement supérieur à 1 ?
D.1.4- Expliquer qualitativement pourquoi on peut considérer que le courant absorbé par le moteur est sinusoïdal bien que
la tension ne le soit pas.
D.2- Considérations énergétiques
Le courant absorbé dans la phase « a » est supposé sinusoïdal, de valeur maximale 219 A et est en retard de 28° par
rapport à l'origine des phases choisie sur la Figure 7.
D.2.1- Représenter sur le Document réponse 2 l'allure du fondamental VAN1 de la tension VAN, en le positionnant
correctement en phase et en amplitude.
D.2.2- Déterminer la valeur efficace du courant notée Ia.
D.2.3- Déterminer le déphasage 1 entre le courant ia et le fondamental de la tension VAN (c'est-à-dire VAN1).
D.2.4a) Rappeler les formules de la puissance active Pa et de la puissance réactive Qa absorbées par la machine en
fonction des notations déjà définies dans la partie D).
b) Déterminer les valeurs numériques de Pa et Qa pour ce point de fonctionnement.
c) Peut-on calculer la puissance apparente Sa absorbée par la machine uniquement à partir de ces deux grandeurs ?
Justifier la réponse.
Exercice 15.
BTS 2003 Etk Metro Alimentation des moteurs électriques de propulsion du
paquebot Queen Mary 2 PD3 (Solution.33)
Dans toute cette partie l'intensité du courant I0, parfaitement lissé, est maintenu à 830 A.
a
b
c
ia
I0
T
a
T
b
T
c
T
'
a
T
'
b
T
' I0
c
u0
2-1) Pont PD3 (figure 5) :
Les thyristors sont considérés comme parfaits.
L'angle de retard à l'amorçage  est défini par rapport à l'instant de commutation naturelle.
2-1-1) Pour  = 30°, représenter sur le document réponse n° 1 :
2-1-1-1) les intervalles de conduction des thyristors Ta et
2-1-1-2) l'allure de la tension u0 ;
2-1-1-3) l'allure du courant de ligne ia ;
Ta' ;
2-1-1-4) l'allure du fondamental iaf du courant ia.
2-1-1-5) En déduire la valeur du déphasage  de iaf par rapport à va.
2-1-2) Montrer que la valeur efficace Ia du courant ia vaut 678 A pour I0 = 830 A.
2-1-3) La décomposition en série de Fourier de ia ( t) est la suivante :
ia ( t) =

4 . I0  3
3
3
sin ( t - ) sin (5  t - 5 ) sin (7  t - 7 )  . . .

  2
10
14

2-1-3-1) Donner l'expression de iaf = ( t).
2-1-3-2) Montrer que la valeur efficace de iaf s'écrit Iaf = 0,78 I0.
2-1-4) La puissance active fournie à ce pont par le réseau s'écrit Pa =
3 Uab Iaf cos . En déduire l'expression du facteur
de puissance k en fonction de cos .
2-1-5) Le taux global de distorsion d'un courant i périodique et alternatif est défini comme suit :
- In représente la valeur efficace de l'harmonique de rang n de i.

2
- If représente la valeur efficace du fondamental de i.
In
I 2 - I f2
n2
- I représente la valeur efficace de i.
Di =
=

If
If
calculer Dia, le taux global de distorsion du courant ia.
2-2) Convertisseur alternatif-continu (figure 6) :
i1
v
1
v
2
v
3
iA
'
D d
P
' I0
I
0
iA
D y
P I0
Le convertisseur est constitué de deux ponts PD3 montés en série.
Les ponts P et P' sont commandés avec le même angle de retard à l'amorçage  par rapport aux instants respectifs
de commutation naturelle. Dans ces conditions, en conduction ininterrompue, chaque pont fonctionne comme s'il était seul.
Les transformateurs Dd et Dy sont supposés parfaits. Ils ont le même rapport de transformation m = 0,27.
La valeur efficace de la tension entre phases du réseau vaut 11 kV.
2-2-1) Les allures des courants iA et iA' pour I0 = 830 A sont représentées sur le document réponse n° 2.
Représenter le courant de ligne i1 ainsi que son fondamental iaf sur ce même document.
2-2-2) Montrer que la valeur efficace I1 de i1 s'exprime en fonction de m et I0 par : (I1 = 1,57 m I0).
Calculer sa valeur.
2-2-3) La valeur efficace I1f est donnée par : I1f = 1,56 m I0.
2-2-3-1) Calculer I1f pour I0 = 830 A et m = 0,27.
2-2-3-2) Comparer les valeur de I1 et I1f. Commenter.
2-2-4) Calculer la puissance active "P" et la puissance réactive "Q" fournies par le réseau pour  = 30° sachant que le
déphasage 1 de i1f par rapport à v1 vaut .
2-2-5) Les spectres et les tableaux théoriques des courants harmoniques générés par un pont PD3 et par le convertisseur
étudié sont représentés sur les figures 7a et 7b.
En déduire Di1, taux de distorsion du courant i1.
2-2-6) Comparer avec Dia calculé en 2-1-5) et interpréter.
DOCUMENT REPONSE n°2
0
i 1 i1f
0
0,57mI0
1,15mI 0
iA
0
mI 0
iA'






t
t
t
DOCUMENT REPONSE n°1
0
400 A
T'a
Ta
0
i a , iaf
ucb
u0
uab
va
uac


ubc
vb
uba
uca
vc


ucb
uab
uac
t
t
ubc
In
If
In
If
en %
Spectre d'amplitude
du courant de ligne :
Pont PD3
100
en %
80
80
60
60
40
40
20
20
0
5
7
rang de l'harmonique
5
7
11
13
17
19
13
17
Spectre d'amplitude
du courant de ligne :
cas du convertisseur
étudié
100
0
19
% du fondamental
20
14
9
8
6
5
5
7
13
rang de l'harmonique
11
13
Figure 7a
17
19
% du fondamental
9
8
Figure 7b
Exercice 16. BTS 2002 Etk Metro PMCF (Solution.34)
Étude du Pont Monophasé à Commutation Forcée (PMCF), alimentation 25 kV 50Hz :
Les éléments notés G sont des thyristors à G.T.O. (Gate–Turn-Off), ce sont des interrupteurs
unidirectionnels commandés à l'ouverture et à la fermeture. Ils sont considérés, ainsi que les diodes, comme
parfaits. Le PMCF est un redresseur à MLI (modulation de largeur d'impulsion), il a pour fonctions de
délivrer une tension continue E, de maintenir le facteur de puissance proche de l'unité et de diminuer les
courants harmoniques renvoyés en ligne.
PMCF 1
M
i21
u20
LS
D1
G1
Filtre
D3
G3
E
A
uLs
u21
B
N
G2
D2
G4
D4
Figure 3
Les commandes de G1 et G2 sont complémentaires, de même que celles de G3 et G4.
Les instants de commande des interrupteurs résultent de la comparaison de la tension triangulaire p,
porteuse, (figure 8) avec respectivement les tensions sinusoïdales de référence vref1 et vref2.
Le retard angulaire  de vrefl par rapport à u20 est appelé angle de calage (figures 7 et 8).
De sorte que le principe de la commande se résume comme suit :
Si vrefl > p alors Gl est fermé et G2 est ouvert.
Si vrefl < p alors G1 est ouvert et G2 est fermé.
Si vref2 > p alors G3 est fermé et G4 est ouvert.
Si vref2 < p alors G3 est ouvert et G4 est fermé.
E sera considérée comme constante (E =2,75 kV).
Le courant i21, sera considéré comme sinusoïdal et en phase avec u20 (figure 7).
U20 = 1,60 kV
LS = 2,1 mH
Les cathodes de G2 et G4 sont prises comme origine des potentiels
2-1)
2-2)
2-3)
2-1-1) Quelles sont les valeurs de vA, potentiel au point A (figure 3) lorsque :
*G1 est fermé ?
et
* G2 est fermé ?
2-1-2) Représenter vA sur la figure 9 du document réponse 1.
2-2-1) Quelles sont les valeurs de vB, potentiel au point B (figure 3) lorsque
* G3 est fermé ?
et
* G4 est fermé ?
2-2-2) Représenter vB sur la figure 10 du document réponse 1.
2-3-1) En déduire le tracé de u21 sur la figure 11 du document réponse 1.
2-3-2) Tracer l'allure du fondamental de u21 sur la figure 11 du document réponse 1.
En déduire son déphasage par rapport à u20 (figure 7 du document réponse 1).
La commande MLI est caractérisée par son indice de modulation md (rapport de la
fréquence de la porteuse par la fréquence de vref : md =
fp
f ref
(rapport des amplitudes de vref et de p : r =
) et par son taux de modulation r
V̂ref
, 0 < r < 1).
p̂
2-4) Déduire de la figure 8 du document réponse 1, l'indice de modulation m d et le taux de modulation r de la
commande.
2-5) On ne considère maintenant que les grandeurs fondamentales de

U20

If2
ULs
pulsation , on les notera
- if2 pour le fondamental de i21 (figure 3)
- uf2 pour le fondamental de u2l (figure 3)
Uf2
Soit, figure 4, le diagramme de Fresnel des vecteurs associés à
u20, uf2, uLS et if2. On notera  et  les retards angulaires respectifs de
Figure 4
if2 et de uf2 par rapport à u2O.
Uf2 . sin  = LS  . If2 . cos 
Uf2 . cos  = U20 - LS  . If2 . sin 
2-5-1) Écrire les expressions des puissances active P et réactive Q fournies par la source de bornes MN
(figure3).
2-5-2) Déduire des deux questions précédentes la relation :
P
U 20 .U f 2 .sin 
LS .
.
2-5-3) Sachant que dans les conditions du problème on peut admettre la relation :
r.E
(avec Uf2 : valeur efficace du fondamental de u21), mettre la relation de la question
2
U 20 .E
précédente sous la forme : P = r P0 sin , avec P0 
.
Calculer P0.
2 LS .
Uf2 =
On se propose d'étudier un dispositif de réglage de la puissance réactive fournie à un réseau triphasé
dont le facteur de puissance est trop faible et dont la charge est inductive (machine asynchrone).
Ce dispositif appelé 'compensateur statique' est représenté sur la figure 1.
figure 7
u20
i21
u20
i21
t
0
2
figure 8
p
v ref 1
v ref 2
p
v ref 1
v ref 1

t
0
v ref 2
v ref 2
vA
E
figure 9
t
0
vB
E
figure 10
t
0
u21
E
figure 11
t
0
-E
Exercice 17.
BTS 2002 Etk Nouméa PD3 et ses harmoniques (Solution.35)
Le variateur de vitesse est constitué d'un redresseur qui permet d'obtenir une tension continue à partir du réseau EDF. La
figure 2 représente le pont redresseur à diodes du variateur de vitesse.
v1, v2 et v3 sont les 3 tensions simples du réseau de valeur efficace V = 230V. Les 6 diodes du pont sont supposées idéales.
Les chronogrammes des 3 tensions simples sont donnés sur le document réponse n°1, figure 3.
On suppose que le courant i dans la charge est tel que i = I = Constante.
2.1 Hachurer les cases correspondant aux diodes conductrices sur le document réponse n°1, figure 3 pour tous les
intervalles de temps.
2.2 Pour les intervalles [t1; t2] et [t2 ; t3] (figure 3), donner l'expression de uc(t) en fonction de v1(t), v2(t) et v3(t) et
représenter uc(t) sur le document réponse n°1.
2.3 Sur le document réponse n°1, représenter pour un intervalle de temps égal à une période :
•
la tension vd1(t), tension aux bornes de la diode D1,
•
le courant id1(t) dans la diode D1,
•
le courant id4(t) dans la diode D4
•
le courant de ligne iL1(t).
2.4 Sachant que la valeur moyenne de la tension uc a pour expression :
U cmoy 
3 3 2V

calculer la valeur numérique de Umm .
2.5 Une mesure à l'oscilloscope a permis d'enregistrer le courant de ligne i L1 , représenté figure 4, ainsi que son spectre
d'amplitude, représenté figure 5.
2.5.a Expliquer rapidement les différences entre la courbe théorique obtenue à la question 2.3 et celle représentée
figure 4.
2.5.b Donner la fréquence puis la valeur efficace du fondamental du courant iL1 puis celles des 2 harmoniques suivants.
2.5.c Citer au moins un inconvénient de la présence de ces harmoniques sur le réseau.
Exercice 18.
BTS 1999 Etk Nouméa Q absorbée par PD3 commandé Compensateur statique
(Solution.36)
Le redresseur utilisé est un pont tout thyristors type PD3 (voir figure 2).
-vR, vS, vT représentent les tensions simples d'un réseau triphasé de pulsation  = 100 rad.s-1 et de valeur efficace V =
220 V.
-la charge est constituée d’une résistance R = 10 et d’une inductance L rendant le courant Io parfaitement lissé.
-les semi-conducteurs sont supposés parfaits et , exprimé en degrés, est le retard à l'amorçage des thyristors.
I. Représentation des signaux fondamentaux
Pour  = 60°
I.1. Représenter sur le document-réponse n° 1 , les tensions à la sortie du pont vAN(t) et vBN(t), considérées par
rapport au neutre N
I.2. Préciser les éléments conducteurs sur le document-réponse n° 1.
I.3. En déduire la forme d'onde de la tension u(t).
I.4. Représenter les intensités i1(t), i2(t) et iR(t).
II. Variation de la puissance active
II.1. On rappelle que Umoy (valeur moyenne de u(t)) est de la forme
Umoy = U0.cos
Exprimer U0 en fonction de V, sachant que pour un pont de diodes PD3, la valeur moyenne de la tension redressée est
3 6
V

Application numérique : calculer UO
II.2. Exprimer l'intensité I0 dans la charge R, L en fonction de U0 , R et .
II.3. Montrer que la puissance P absorbée par la charge a pour expression
P = P0. (cos) 2
Exprimer P0 . Application numérique : R = 10 , calculer P0
III. Soit iRf(t) le fondamental de iR(t) et IRf sa valeur efficace
III.1. Donner l'allure de iRf(t) sur le document-réponse n°1. (On donne la valeur efficace IRf = 0,78 I0).
III.2. Quel est le déphasage  de iRf(t) par rapport à vR(t) ?
IV. Variation de la puissance réactive.
IV.1. Exprimer les puissances active P et réactive Q absorbées par le pont en fonction de V, I Rf et .
IV.2. En utilisant le résultat de la question II.1. et II.2., déterminer l'expression de IRf en fonction de U0, V, R et .
IV.3. En déduire que Q peut s'exprimer sous la forme suivante : Q = Qo.sin(2 ).
Exprimer et calculer QO .
On rappelle que sin(2) = 2 sin cos.
V. COMPENSATEUR STATIQUE : choix des condensateurs
Il est constitué du redresseur étudié précédemment associé à une batterie de 3 condensateurs montés en triangle
(voir figure 1)
Les puissances active et réactive absorbées par le redresseur sont réglables par l'intermédiaire du retard à
l'amorçage  des thyristors sous la forme
P = P0.(cos )2
Q = Q0 sin(2)
avec P0 = 26 kW, Q0 = 13 kVAr.
V.1. Quelle est la valeur Q1 de la puissance réactive Q pour  = 70° ?
V.2. On désire que la puissance réactive fournie par les 3 condensateurs soit égale à Q 1. Calculer C.
Cette valeur de C sera conservée pour la suite.
V.3. Exprimer la puissance réactive totale QT absorbée par l'ensemble du compensateur constitué des condensateurs
et du redresseur commandé, pour une valeur de  quelconque.
V.4. Pour quel intervalle de  le compensateur fournit-il de la puissance réactive ?
A
R
S
T
iR
T1
i1
T2
I0
R
T3
i2
L
T4
T5
T6
Figure 2
B
uRT
uRS
uSR
uST
vR
vS
0
vT
 = t
T1 T2 T3
 = t
T4 T5 T6
 = t
i1, i2
I0
 = t
-I0
iRF
I0
 = t
-I0
Exercice 19.
BTS 2010 Etk Metro Conséquences de l'utilisation d’un variateur de vitesse
(Solution.37)
L'utilisation du convertisseur alimentant le moteur asynchrone peut avoir des conséquences néfastes sur le réseau
d'alimentation électrique, notamment en termes de pollution harmonique.
On s'intéresse donc maintenant aux grandeurs d'entrée du variateur afin d'évaluer le degré de pollution occasionné.
Mise en garde : : Le variateur de vitesse est alimenté par le réseau triphasé 230V/400V, 50 Hz. Par contre, l'étude se
base sur des relevés effectués à l'aide d'un analyseur de réseau monophasé, recevant la tension simple va(t) du réseau et
le courant de ligne ia(t) absorbé par le convertisseur (voir les écrans en annexe 2).
Sur cet analyseur, l'indication de puissance en kVAR contient les deux puissances Q et D (écran 2).
On rappelle l'expression du taux de distorsion harmonique d'un courant i :
THDi 
I 22  I 32  I 42  ...
I1
Analyse des courants absorbés par le variateur
1. À l'aide des indications fournies par l'analyseur (écran 1), donner la valeur efficace I du courant de ligne i a(t) et
évaluer sa valeur maximale Imax.
2. Relever également la valeur efficace I1 de son fondamental (écran 3).
3. Donner les fréquences des quatre harmoniques de courant les plus polluants puis estimer leur valeur efficace grâce au
spectre de ia(t) (écran 3).
4. Calculer le taux de distorsion harmonique TDHi que représentent ces quatre rangs. Comparer ce résultat à celui
annoncé par l'appareil (écran 3).
5.
Citer une solution permettant de réduire les harmoniques de courant prélevés au réseau.
6.
On place un dipôle LC en série, en parallèle sur le réseau
C  730 µF et L  0,55 mH
a. Quelle est son impédance à la fréquence du fondamental
b. Quel est son rôle est la valeur de l’énergie produite à cette fréquence
c. Quelle est sa fréquence de résonance (fréquence pour laquelle l’impédance est minimale)
d. Conclure sur les rôles de ce filtre
Conséquences sur les puissances
7. Relever la valeur du facteur de déplacement cos1, puis esquisser l'onde du fondamental de ia(t) sur le document
réponse 3.
Comme le montre l'écran 1 de l'analyseur, les tensions d'alimentation du variateur sont purement sinusoïdales.
8. Vérifier par calcul les valeurs de P, Q et S annoncées par l'analyseur (écran 2).
9. En déduire la puissance déformante D.
10. Vérifier le facteur de puissance fp affiché par l'appareil et commenter sa valeur.
ANNEXE2
DOCUMENT REPONSE 3
Exercice 20.
BTS 2010 Etk Nouméa ALIMENTATION ELECTRIQUE DE LA MACHINE
(Solution.38)
C.1 ETUDE DE LA PROTECTION CONTRE LES SURINTENSITES
L'installation électrique de l'aléseuse est raccordée au réseau triphasé 400 V - 50 Hz. La protection de l'ensemble était
assurée initialement par des fusibles de 32 A. Les éléments raccordés sont (figure 10) :
 La machine asynchrone entraînant les deux pompes hydrauliques et consommant
Rang k
IVk ( A)
un courant d'intensité im(t).
10,6
1
 L'alimentation des circuits auxiliaires, consommant un courant d'intensité ia(t).
5
9,5
 Les deux variateurs d'entrainement des broches consomment des courants nonsinusoïdaux supposés d'intensités identiques iV(t) . Le tableau ci-contre fournit la
7
8,9
valeur efficace des harmoniques significatifs de cette intensité iV(t). Ainsi, son
7
11
fondamental iV1(t) s'exprime comme suit :
6,2
13
iV 1 (t )  IˆV 1  sin t avec IˆV 1  15 A
4,2
17
 
19
3
Figure 9 :
Valeur efficace des
harmoniques du courant iv(t)
Figure 10
Dans la suite du problème, on néglige les courants ia(t) et im(t)
C.1.1 Exprimer l'intensité iR(t) en fonction des intensités des courants consommés par les différents éléments.
C.1.2 Calculer la valeur efficace IV de l'intensité iv(t). On utilisera la relation de Parseval où l'on se limitera au rang 19 :
IV 

I
k 1
2
Vk
C.1.3 Calculer le taux de distorsion harmonique  du courant iV(t). On rappelle l'expression :
IV2  IV21

IV 1
Comparer ce résultat à la valeur de  obtenue pour un signal purement sinusoïdal. D'où provient dans le montage la
production d'harmoniques ?
C.1.4 Calculer la valeur efficace IR de l'intensité iR(t). Les fusibles initialement installés restent-ils correctement
dimensionnés ?
C.2 INFLUENCE DE LA STRUCTURE DU VARIATEUR SUR LES COURANTS DE LIGNE
Pour chaque variateur, on ajoute en sortie du pont redresseur (PD3), une bobine d'inductance L, dont la valeur est
suffisante pour que le courant IS puisse être considéré comme continu et son intensité égale à 12,6A (voir figure 11). Dans
l'étude suivante, on considère les diodes comme parfaites.
Figure 11: Structure d'entrée d'un variateur
C.2.1 Sur le document réponse 3, indiquer les diodes passantes.
C.2.2 Sur le document réponse 3, tracer us(t) la tension en sortie du pont redresseur. On rappelle que la tension moyenne
<US> en sortie d'un pont PD3 s'exprime :
US 
3  6 V

où V est la valeur efficace de la tension simple du réseau
C.2.3 Calculer <US>.
C.2.4 Sur le document réponse 3, tracer l'allure du courant iv(t).
C.2.5 Calculer la puissance active PS en sortie du pont redresseur. En déduire la puissance active PV fournie par le réseau
au variateur.
C.2.6 Sur le document réponse 3, tracer l'allure du fondamental iV1(t) du courant iV(t). En déduire le déphasage V1, entre
vA(t) et iV1(t) .
C.2.7 Déduire des questions précédentes la valeur efficace IV1, du fondamental iV1(t).
Document réponse 3
Exercice 21.
BTS 2006 Etk Métro Etude d’un onduleur (Solution.39)
Chaque moteur de traction est alimenté par l’intermédiaire d’un onduleur de tension à partir du réseau 750 V continu.
La tension continue UC est délivrée par la caténaire : UC = 750 V.
Deux condensateurs identiques forment un diviseur capacitif permettant de créer un point milieu O. Chaque moteur de traction se
comporte comme un récepteur équilibré.
Les interrupteurs K1, K2, K3, K4, K5 et K6 , réversibles en courant, sont commandables à l'ouverture et à la fermeture et sont
supposés idéaux.
C.1- Onduleur à commande pleine onde
Les commandes des interrupteurs ( K1, K4 ), (K2, K5 ), et ( K3, K6 ) sont deux à deux complémentaires. Chaque interrupteur est
commandé à la fermeture durant une demi-période et à l'ouverture sur l'autre demi-période. La commande d'un bras d'onduleur est
décalée d'un tiers de période sur celle du bras précédent (voir document réponse n°3).
C.1.1- Préciser la valeur de la tension VAO lorsque Kl est fermé puis lorsque K4 est fermé. Compléter alors le document réponse n°3
en y traçant le chronogramme de la tension VAO.
C.1.2 - Tracer également sur le document réponse n°3 les chronogrammes des tensions VB0 et VC0.
C.1.3 - En admettant la relation
v AN 
1
 2vA0  vB 0  vC 0  , construire, sur le document réponse n°3, le chronogramme de VAN
3
en indiquant les différentes valeurs prises.
C.1.4 - Calculer la valeur efficace VAN de la tension vAN en fonction de UC.
C.1.5 - La décomposition en série de Fourier de la tension v», est la suivante :
vAN (t ) 
2U C 
1
1
1

sin t   sin  5t   sin  7t   sin 11t   ...

 
5
7
11

Donner l'expression du fondamental v1(t) de la tension vAN(t). Calculer sa valeur efficace V1 et tracer l'allure de v1(t) sur le
document réponse n°3.
C.2 - Association onduleur - moteur de traction
Dans cette partie, on étudie l’influence de la forme des tensions délivrées par l'onduleur sur le couple électromagnétique
instantané d'un moteur de traction.
On admet que la phase A du moteur de traction peut être décrite par le schéma simplifié de la figure 6 dans lequel la force
électromotrice eA(t) traduit la conversion électromécanique.
On donne : L = 2,31 mH et
eA (t )  E 2 sin t  
La tension vAN (t) délivrée par l'onduleur de tension étudié en C.1. comporte de nombreux harmoniques. Pour simplifier l'étude, on
limite le développement en série de Fourier de la tension simple vAN(t) et du courant de ligne associé à leurs fondamentaux et à
leurs harmoniques de rang 5 et 7 :
vAN (t )  V1 2 sin t   V5 2 sin  5t   V7 2 sin  7t 
avec
V5 
V1
5
et
V7 
V1
7
Dans la suite de la partie C, on se place au point de fonctionnement nominal pour lequel on adoptera les valeurs
numériques suivantes :
V1=338V;
I1=35,4 A;
1=43°; E=309 V;
=6,2°; f=88Hz et
=553 rad.s-1.
Pour les harmoniques de rangs 5 et 7, le modèle équivalent de la figure 6 se réduit à :
vk (t )  Vk 2 sin  kt 
ik (t )  I k 2 sin  kt  k 
Avec k =5 ou 7
C.2.1 - Calculer les impédances Z5 et Z7 présentées par l'inductance L respectivement aux fréquences f5 = 5f et f7 = 7f.
C.2.2 - En déduire les valeurs efficaces I5 et I7 des harmoniques de rang 5 et 7 du courant iA(t).
Dans la suite, on prendra : I 5 = 10,6 A et I7 = 5,4 A.
La puissance électromagnétique instantanée mise en jeu dans la phase A est : pemA(t) = eA(t).iA(t).
En tenant compte des deux autres phases, on montre que, pour de faibles valeurs de l'angle , la puissance électromagnétique
instantanée totale transmise au rotor s'écrit :
pem (t )  3EI1 cos 1    3E  I5  I 7  sin  6t 
On rappelle que le couple électromagnétique instantané c(t) vérifie la relation : pem(t) = c(t).S.
C.2.3 - Montrer que le couple électromagnétique instantané est la somme :
d'un terme constant C que l'on calculera et dont on précisera le sens physique,
d'un terme c'(t) variable dans le temps, appelé couple pulsatoire, dont on précisera la fréquence et l'amplitude
C'MAX.
C.2.4 - Calculer le rapport

CMAX
C
. Conclure.
En pratique, la structure et la commande retenues pour l'onduleur sont différentes de celle envisagées jusqu'à présent. Pour un
fonctionnement à grande vitesse, on adopte une commande de type MLI précalculée. Le spectre en amplitude de la tension simple
v AN(t) est alors donné figure 8.
C.2.5 - Préciser le rang de l'harmonique de vAN(t) le plus proche du fondamental. Quel intérêt présente cette commande vis-à-vis
du couple pulsatoire ?
Exercice 22.
BTS Etk 1995 Nouméa Etude de la génératrice tachymétrique (Solution.40)
La génératrice délivre une f.é.m. EG(t) ondulée ( figure 3). Lorsque le moteur tourne à 3000 tr/mn, le
fondamental de l’ondulation a une fréquence de 200 Hz et une valeur crête à crête de 1 V. La valeur moyenne
de la tension de la génératrice est alors de 9 V.
EG(t)
t
Figure 3
1.1.
1.2.
Donner l’expression de EG(t) en définissant les valeurs numériques de tous les paramètres, en admettant que E G(t) se
compose uniquement de sa valeur moyenne et de son fondamental.
Pour filtrer la tension délivrée par la génératrice, on place à ses bornes un condensateur de capacité C (figure 4).
G.T
C
UGT
Figure 4
1.2.1.Soit E1 l’expression complexe du fondamental de l’ondulation.
la génératrice a une résistance interne R’ de 50  ; donner un modèle électrique équivalent à
l’ensemble génératrice condensateur pour le fondamental de l’ondulation.
1.2.2.Calculer la transmittance du filtre UGT/ E1
1.2.3.Représenter la courbe de gain en coordonnées de Bode
1.2.4.On veut atténuer de 20 dB le fondamental de l’ondulation. Quelle valeur doit prendre le produit R’C ? En
déduire la valeur de C nécessaire.
Exercice 23.
BTS Etk 2012 Nouméa Chalet PV(Solution.41)
En fin d'été il arrive parfois, mais rarement, que le débit d'eau ne soit pas suffisant pour faire tourner correctement la
turbine Pelton. Il n'y a alors plus de production d'énergie hydroélectrique. Dans ce cas, pour produire de l'eau chaude, le
gardien utilise, en dernier recours, un chauffe-eau à gaz.
Celui-ci est équipé d'un groupe de sécurité qui n'autorise l'allumage du gaz que si un extracteur de fumée est en service.
Ces dispositifs, de type standard, sont prévus pour être alimentés sous une tension alternative standard de valeur efficace
230 V et de fréquence f = 50 Hz.
On utilise pour cela un onduleur de tension pour convertir de l'énergie prélevée aux batteries en énergie électrique
alternative.
Cet onduleur doit en outre permettre le maintien de la charge des batteries par le groupe turbine-alternateur
lorsque celui-ci fonctionne.
C.1. Choix du type d'onduleur assurant la réversibilité.
Parmi les deux structures de pont d'onduleur représentées figure 4, quelle est celle qui répond au cahier des
charges précité ? Justifier votre choix.
C.2. Onduleur sinusoïdal
Des mesures ont été effectuées à la sortie de l'onduleur. Sont ainsi donnés dans l'annexe 1 :
•
le relevé de la tension de sortie de l'onduleur Usond ;
•
le spectre d'harmonique de cette tension résultant d'une analyse de Fourier;
•
un tableau donnant la valeur des amplitudes de ces harmoniques.
C.2.1. Donner le numéro de rang des harmoniques représentés par la première et la deuxième raie mesurables.
C.2.2. Donner les valeurs efficaces de ces harmoniques. On notera VI la valeur efficace du fondamental.
C.2.3. Calculer, alors, la valeur efficace Usond de la tension de sortie de l'onduleur Usond.
C.2.4. On définit le taux de distorsion harmonique de la façon suivante :
THD%  100
V22  V32  V42  ...
V1
Calculer le taux de distorsion harmonique THD% de cette tension.
En fin d'été il arrive parfois, mais rarement, que le débit d'eau ne soit pas suffisant pour faire tourner correctement la
turbine Pelton. Il n'y a alors plus de production d'énergie hydroélectrique. Dans ce cas, pour produire de l'eau chaude, le
gardien utilise, en dernier recours, un chauffe-eau à gaz.
Celui-ci est équipé d'un groupe de sécurité qui n'autorise l'allumage du gaz que si un extracteur de fumée est en service.
Ces dispositifs, de type standard, sont prévus pour être alimentés sous une tension alternative standard de valeur efficace
230 V et de fréquence f = 50 Hz.
On utilise pour cela un onduleur de tension pour convertir de l'énergie prélevée aux batteries en énergie électrique
alternative.
Cet onduleur doit en outre permettre le maintien de la charge des batteries par le groupe turbine-alternateur
lorsque celui-ci fonctionne.
C.1. Choix du type d'onduleur assurant la réversibilité.
Parmi les deux structures de pont d'onduleur représentées figure 4, quelle est celle qui répond au cahier des
charges précité ? Justifier votre choix.
C.2. Onduleur sinusoïdal
Des mesures ont été effectuées à la sortie de l'onduleur. Sont ainsi donnés dans l'annexe 1 :
•
le relevé de la tension de sortie de l'onduleur Usond ;
•
le spectre d'harmonique de cette tension résultant d'une analyse de Fourier;
•
un tableau donnant la valeur des amplitudes de ces harmoniques.
C.2.1. Donner le numéro de rang des harmoniques représentés par la première et la deuxième raie mesurables.
C.2.2. Donner les valeurs efficaces de ces harmoniques. On notera VI la valeur efficace du fondamental.
C.2.3. Calculer, alors, la valeur efficace Usond de la tension de sortie de l'onduleur Usond.
C.2.4. On définit le taux de distorsion harmonique de la façon suivante :
V22  V32  V42  ...
THD%  100
V1
Calculer le taux de distorsion harmonique THD% de cette tension.
Exercice 24.
BTS Etk 2013 Métro Eclairage Pablo Picasso (Solution.42)
Les projecteurs sont alimentés par l'intermédiaire de gradateurs afin de créer des jeux de lumière. Nous allons montrer
dans cette partie que l'utilisation de gradateurs triphasés est susceptible de générer un courant dans le conducteur neutre
nécessitant une attention particulière lors de son dimensionnement.
Dans toute cette partie, les gradateurs sont constitués de thyristors supposés idéaux (circuit ouvert à l'état bloqué et
court-circuit à l'état passant). Ils sont montés tête-bêche.
B.1. Principe de fonctionnement d'un gradateur monophasé, étude des puissances
Cette première étude simplifiée en monophasé vise à nous familiariser
avec les outils d'analyse utilisés dans la partie triphasée.
Un gradateur monophasé à commande par modulation de l'angle de
phase est alimenté par un réseau monophasé 50 Hz, 230 V. ll est
connecté à deux projecteurs de lumière considérés comme étant
équivalents à une charge purement résistive de puissance 2000 W sous
230 V (figure 3).
On admet que le réseau n'a pas d'impédance. On dit aussi qu'il a une
puissance de court-circuit infinie.
L'expression de la valeur efficace de i(t) est :
I
V
 sin  2 
1 
R

2
(avec  en radian).
Étude des puissances du côté du réseau
B.1.4. Lorsque



2
, après décomposition en série de Fourier de i(t), on obtient pour son fondamental i h1(t)
2
ih1 (t )  7, 28  sin t  0,567  .
l'expression:
Pour

, calculer Ih1 ,valeur efficace de ih1(t) .
Indiquer la valeur du déphasage 1 entre la tension du réseau et le fondamental ih1(t).
Vérifier graphiquement les résultats à l'aide de la figure de l'annexe 1.
B.1.5. Comment s'appelle la grandeur correspondant à cos 1?
B.1.6. Déduire de la connaissance de ih1(t) et de 1, les expressions des puissances active P et réactive Q fournies par le
réseau à la charge (gradateur + résistance).
B.1.7. Calculer pour
-


2
P la puissance active fournie par le réseau
Q la puissance réactive fournie par le réseau
S la puissance apparente S de la source
D la puissance déformante
fp le facteur de puissance de l'installation.
ANNEXE 1
v (V)
ih1 (A)
v(t)
ih1(t)
t (s)
Exercice 25.
BTS Etk 2013 Métro Eclairage Pablo Picasso (Solution.43)
B.2. Gradateur triphasé en fonctionnement équilibré, étude du courant dans le conducteur neutre
B.2.1. Dimensionnement du conducteur de phase. Étude dans le cas où a = 0
Le cas où  = 0 correspond à une charge triphasée linéaire équilibrée montée en
étoile directement alimentée par le réseau (figure 4).
Sachant que la valeur efficace de la tension simple d'alimentation vaut 237,5 V et
que la résistance équivalente par phase vaut 26,5 , déterminer I1 la valeur
efficace du courant circulant dans la ligne 1 et la valeur efficace IN du courant
circulant dans la ligne neutre lorsque l'angle de commande du gradateur est réglé
à 0°.
Figure 4
Cette valeur I1 nous servira par la suite de référence pour estimer la quantité
B.2.2. Dimensionnement du conducteur de neutre. Etude dans le cas où
IN
I1


2
Un groupe de 6 projecteurs (1 kW, 230 V chacun) est alimenté par
l'intermédiaire d'un gradateur triphasé (figure 5).
Notre étude est menée pour un angle de retard à la conduction réglé à


2
,
C'est le cas le plus défavorable pour le courant dans le conducteur neutre
sur charge triphasée équilibrée.
Figure 5
Des mesures et des relevés sont effectués à l'aide d'un énergie-mètre. Ils sont consultables sur les annexes 2 et
3.
L'amplitude des raies des spectres de fréquence en annexe 3 correspond à des valeurs efficaces.
On considérera comme égaux des courants ou des tensions dont les valeurs efficaces ne diffèrent pas de plus de
5%.
Les grandeurs électriques notées en lettres minuscules correspondent à des valeurs instantanées.
Les grandeurs électriques notées en lettres majuscules correspondent à des valeurs efficaces.
v1, la tension simple de la phase 1 est la référence pour la mesure de tous les angles.
B.2.2.1. En se référant à l'annexe 2, déterminer la valeur efficace et la fréquence de iN. Calculer le rapport
IN
I1
B.2.2.2. D'après les relevés fournis en annexe 3, justifier que les courants fondamentaux forment un système équilibré.
B.2.2.3. On se propose d'analyser l'influence des harmoniques de rang 3 dans la création d'un courant dans le neutre.
D'après les relevés fournis en annexe 3, tracer sur le diagramme de Fresnel du document-réponse 2, les vecteurs
représentant les courants harmoniques de rang 3 parcourant les lignes 1, 2 et 3, respectivement
I h31 , I h 32 , I h 33 •
B.2.2.4. Donner la relation liant les valeurs instantanées de rang 3, ih31, ih32, ih33 et ih3n (courant de rang 3 parcourant le
conducteur neutre). En déduire la valeur efficace Ih3n.
ANNEXE 2
Courant dans le conducteur neutre en fonctionnement équilibré
ANNEXE 3
Fondamentaux et harmoniques en fonctionnement équilibré
Courants fondamentaux
Spectre de fréquences des courants parcourant les lignes 1, 2 et 3
Le curseur est placé successivement sur les raies de rang 3 (H3) de chaque phase.
ANNEXE 4
Fonctionnement déséquilibré
Qualité de l’énergie Exercices à finaliser
Exercice 1. Courants d’un tube fluorescent
22W / 230 V
Etude du régime permanent
Le courant est assez peu déformé et il y a peu
d'harmoniques, il vaut 0,21A eff.
La tension aux bornes du tube, après le réamorçage
après chaque passage à 0 du courant, se stabilise à la
tension de décharge, soit environ 100V puis s'annule
au passage à 0 du courant suivant.
Le déphasage courant / tension est d'environ 50°, ce
qui est assez mauvais (cos = 0,64) et confirme le fait
que le tube fluorescent est un gros consommateur
d'énergie réactive.
Les puissances valent : S = UI = 230*0,21 = 49 VA
P = S cos  32W soit environ la puissance du tube.
Etude de la mise sous tension
Valeurs à diviser par 10 (10 spires pour courant)
Exercice 2. Courants d’une lampe fluocompacte
Lampe fluocompacte
Exercice 3. Courants dans une alim ordi (PD2 +C)
Sur charge type : tube fluorescent, lampe fluocompacte, micro-ordinateur (alim à découpage)
1. Relever particulièrement les valeurs du fondamental et de l'harmonique 3, ainsi que leur déphasage /
tension.
2. Discuter de la validité des résultats. La tension est-elle perturbée?
3. Ce récepteur perturbe-t-il le réseau?
4. Bien relever les valeurs efficaces du courant (fondamental, harmoniques). Qu'en est-il pour le courant ?
5. A partir des relevés effectués précédemment, prédéterminer la valeur efficace du courant dans le
neutre (les 3 récepteurs identiques sont en service).
Courant dans le neutre
Exercice 4. Courants d’un oscilloscope
On relève (courant d’une alim redresseur + condensateur de lissage)
 I =0,77 A
 S = 177 VA
 P = 97 W
 Q= -40 Var
 Cos  =DPF = 0,92
 fp = PF = 0,55
Pour compenser la puissance réactive il faut des bobines (4,2 H : QB






I =0,74 A
S = 170 VA
P = 98 W
Q= 0 Var
Cos  =DPF = 1
fp = PF = 0,57
Le relevé du courant est le suivant
On élimine l’harmonique de rang 3 par

U2
2302

 40 Var )
L 4, 2  2  50
Il faut que
L3s C3s 
1
(3 )
2
 1,13.106
L3s C3s 2  1
Et comme Z S 
il faut prendre C élevé pour assurer que Z soit élevée à 50 Hz : L=1H et C =1µF
C3s
On relève alors
 I =0,80 A
 S = 180 VA
 P = 110 W
 Q= 0 Var
 Cos  =DPF = 1
 fp = PF = 0,61
Pas d’amélioration notable car impédance du réseau très faible à 150 Hz.
Donc on va augmenter l’impédance du réseau à 150 Hz
Z 3 p  jL3 p  3 //
3  L3 p
1

jC3 p  3 9  L3 p C3 p 2  1
Donc Z3p infinie pour
9  L3 pC3 p 2  1 soit L3 p C3 p 
1
9
2
 1,13.106
Il faut veiller à limiter la chute de tension à 50 Hz donc Z p 
L3 p
L3 p C3 p 2  1
(suppotent 750 V ^^ donc 2 de 10 µF (250 V) en série) et L =226mH.
On relève alors
 I =0,56 A
 S = 123 VA
 P = 110 W
 Q= 0 Var
 Cos  =DPF = 1
 fp = PF = 0,94
donc prendre L3p faible : C=5µF
Exercice 5. Etude de cas : Le match le Mans Guimgamp
Les faits : match de football Le Mans-Guingamp, pour le compte du championnat de France de 2ème
division.
- 21 h 44 : Le Mans - 2, Guingamp - 1
- 21 h 45 : panne d’éclairage, impossibilité de réenclencher le disjoncteur de tête
- 22 h 00 : match définitivement arrêté
- décision : match perdu pour Le Mans sur “tapis vert”
L’étude
Explication du problème
Résonance de l’installation sur le rang 5, excitée par les tensions harmoniques présentes sur le réseau EDF, du
fait, qu’à cette heure, tout le monde est devant son téléviseur pour suivre le match.
L’ouverture du disjoncteur a été entraînée par surcharge thermique.
Les mesures effectuées par les experts de Schneider Electric ont mis en évidence un taux d’harmonique 5
identique au fondamental.
Le disjoncteur Merlin Gerin a donc rempli sa mission en mettant l’installation hors tension
Solution déplacer la fréquence de résonance
Solutions Qualité de l’énergie
Solution.1. Exercice 1 :Contrôle de connaissances

1.
Le courant efficace est défini comme suit
I h21   I hn2
n2
f p  cos 1
2.
Sur une charge non linéaire
3.
Allure de courant d’une charge non linéaire
U
U
I
I

I
n2
2
hn
4.
Le THDI est défini comme suit
5.
La solution(s) de réduction des courants haute fréquence :

Un filtre anti-harmoniques (filtre plutôt une gamme de fréquence)

Un filtre haut fréquences
La solution(s) de réduction du rayonnement d’un câble :

Un câble blindé raccordé

Un filtre hautes fréquences
Moyen de mesure d’un courant haute fréquence :

Pince haute fréquence
Incidence du couplage inductif dans une surface de boucle de masse de câblage :

Génération d’une tension perturbatrice
Le fil central d'un câble coaxial n'est pas soumis aux perturbations électromagnétiques, si la partie extérieure est
mise à la masse
6.
7.
8.
9.
I1
Solution.2. Exercice 1 :Perturbation d’un capteur
1.
i  i  0
 I R1  I
Montage linéaire =V+-V-=0 ;
I R2  I R1 i 
donc
I R2
0
vcapt  v     v   R1  I

vcapt
vS


I 
R1  R2
R1
vS  R1  I  R2  I   R1  R2   I 
R  R2
 vS  1
vcapt
R1
0
 R 
 vS  1  2   vcapt
R1 

La dynamo génère à 2000 tr/min une tension de 2V, or on souhaite avoir pour cette vitesse de rotation une
tension VS de 10 V donc
vS  k  vcapt
10 V
Donc
2.
3.
donc le gain amplificateur doit être de 5.
2V
R2
4
R1
Le moteur étant au régime nominal, il consomme 8 A et tourne à 800 tr/min
La tension délivrée par le capteur sera donc de 0,8 V (1V/(1000 tr/min))
4.
Et la tension du capteur est égale à v+ et la tension de sortie sera de
 R 
vS  1  2   vcapt
 R1 
soit VS=0,8x5=4xV
5
Si on prend en compte la résistance du fil
5. la tension de sortie du capteur est toujours de 0,8 V
Une tension dans le fil s’ajoute à la tension délivrée par le capteur pour donner la tension v+ qui est amplifiée par
le montage suiveur.
v   vcapt  u fil
v   vcapt  rfil  I mot
v   0,8  0,018  8  0,656
vS  5  v   3, 28 V
6.
La tension de sortie du capteur est
7.
La tension de sortie est interprétée toujours de la même manière soit 2000 tr /min correspond 10 V
Donc la vitesse « mesurée » est de 656 tr/min, ce qui est loin de la vitesse réelle qui est de 800 tr/min
Solution.3. Exercice 2 :Couplage par impédance commune
Solution.4. Exercice 3 :Couplage par conducteur plan de masse
Solution.5. Exercice 4 :Diaphonie inductive
Solution.6. Exercice 5 :Diaphonie capacitive
Solution.7. Exercice 6 : Perturbations électromagnétiques (Précis d’etk 2e année 2e ed p237)
Solution.8. Exercice 1 : Etude de cas : Foudre au sein d’un réseau informatique
d d  SB 
dH µ0 S di

 µ0 S

dt
dt
dt 2 d dt
4 107  50
25 109  1, 25 kV
2. e 
2  200
1.
e
Elle est dangereuse pour les circuits émetteurs récepteurs numériques et si la boucle est fermée, c’est
le courant résultant qui va entraîner des détériorations.
3. Minimiser la surface des boucles, câbles de puissance, câbles courants faibles ; en effet si la boucle
est ouverte une tension dangereuse pour l’électronique est développée et si elle est fermée, le courant
induit va (impédance de transfert) perturber le signal, voire détruire les circuits émetteursrécepteurs. La figure A montre que la boucle peut être de grande dimension. Un conducteur
d’accompagnement, ou un chemin de câble ou un tube métallique (figure B) permet de minimiser la
surface de la boucle.
Mais attention, on a ainsi créé une boucle entre masses. La liaison conductrice entre les deux équipements
communicants doit donc être de faible impédance pour ne pas développer de tension induite entre les masses
des équipements communicants (éviter les queues de cochons)…
Il faut noter que si cette impédance de liaison est faible, elle va voir passer en cas de défaut d’isolement une
part importante du courant de défaut. La solution est encore une fois le maillage des masses le plus intense
possible pour diviser les courants,
(figure C).
Solution.9. Exercice 2 :Couplage champ électrique à conducteur
Solution.10. Exercice 3 :Couplage champ magnétique à boucle
Solution.11. Exercice 1 : Ligne monophasée
1-a)
pJ = RI2 = 810002 = pJ = 8MW
1-b)
Les puissances au départ de la ligne englobent celles de l’usine (Pusine et Qusine) et celle de la ligne pJ.
Un bilan global en appliquent Boucherot donne
P= Pusine + pJ= 4500010000,8 + 8.106=(36+8).106 = P = 44 MW ;
Q= Qusine= 450001000sin (arcos(0,8)) = Q = 27 Mvar ;
S=
P 2  Q 2 = S = 51.6 MVA
1-c)
On utilise la puissance apparent de l’ensemble de l’installation.
S =U0I donc U0=S/I= U0 = 51.6 kV ;
k0=P/S =44/51.6= k=0.85
2-a)
Le condensateur est soumis à la tension U connue
QC= -CU2=-3.10-6314(45.103)2 = QC =-1.9 Mvar
2-b)
Là encore, un bilan des puissances englobant l’usine et le condensateur est nécessaire.
Pus+cond = Pusine =4500010000,8 = Pus+cond = 36 MW ;
Qus+cond = Qusine + QC =450001000sin (arcos(0,8)) -1,9.106 = Qus+cond = 25.1 MVar ;
Sus+cond =
Pus2cond  Qus2 cond = Sus+cond = 43.9 MVA ;
I’= Sus+cond /U = 43,9.106 /45.103= I’= 975 A
PR = RI2 = 89752 = PR = 7,61MW ;
2-c)
QL = LI2=3,29752 = QL =3,04 MVar
P’ =PR+Pusine =(36+7,61).106 =P’= 43,6 MW ;
2-d)
Q’=Qusine+ QL+QC =(27+3,04-1,9).106 = Q’= 28.5 Mvar ;
S’=52.1 MVA ;
U’0= S’ /I= 53.4 kV ;
k’0= 0.84
Solution.12. Exercice 2 :Relèvement du facteur de puissance
1.
cos  
P
P
500
S 

 666 kVA
S
cos  0, 75
P
500 103
I 
 33,3 A
V cos 
20 103  0, 75
P  RI 2  10  33,32  11kW
I
2.
P
500 103
I 
 27, 7 A
V cos  
20 103  0,9
Donc les pertes joules ne sont plus que de P  RI 2  10  27,72  7,7 kW soit presque 30% de pertes en moins
3.
Le condensateur utilisé a amené une puissance réactive
QC  P  tan   tan    500 103  tan  arcos 0,75  tan  arcos 0,9    200 kVAR
I 
200 103
Or Q  CV 2  C  QC 
 1, 6 µF
C
V 2 314   20 103 2
Solution.13. Exercice 1 :Courant harmonique dans le neutre, surdimensionnement de celui-ci
1.
Comme le (courant efficace)² est la somme quadratique des harmoniques qui le constituent
I 2  I12  I 22  I 32  I 42  ....
Le THD est défini par le rapport de la valeur efficace des harmoniques sur la valeur efficace du
fondamental (donc si le signal est sinusoïdal pur THD=0)

I
n2
THD 
2
n
I 2  I12
0,1802  0,1022

 1, 45
I1
0,102

I1
Ce qui signifie que les harmoniques sont 1,45 fois le fondamental.
2. La puissance déformante est définie par D  S 2  P 2  Q 2 peu utile dans ce cas
S  3  V 2  I 2  3  V12  V22  V32  ...   I12  I 22  I 32  ...
V12  V22  V32  ...  V12
car on a une alimentation sinusoïdale en tension


n 1
n2
I 2   I n2  I12  I 22  I 32  ...  I12   I n2  I12  THD 2  I12

Et comme
S  3  V  I  3  V   I n2  3  V 2   I12  THD 2  I12 
2
2
2
2
n 1
Donc S
Donc
2
 3  V I  3  V I  THD 2  P 2  Q 2  D 2
2 2
1
2 2
1
S 2  3  V 2 I12  3  V 2 I12  THD 2  P 2  Q 2  D 2
P2 Q2
D2
Soit D  3 V1  I1  THD
D  3  220  0,102 1, 45  97, 6 VAd
3. L’intensité du courant dans le neutre est donnée par la somme des 3 harmoniques de rang 3 de chaque
phase. Ils s’ajoutent dans le neutre car ils sont en phase.
I n  I1h3  I 2 h3  I3h3  3  0,09  0, 27 A
4. Vérifions la valeur des harmoniques supérieurs à 3

 I n2
n3

I   I  I  I  I  I  I 52 ...
2
n 0

2
n

I
n 3
2
n
2
1
2
2
2
3
2
4
 I 2  I12  I 32  0,1802  0,1022  0, 092  0,117
5. Ces harmoniques ne sont pas négligeables et on peut être sûr que des harmoniques multiples de 3 (h6,
h9…) se retrouveront dans le neutre ce qui augmentera la valeur de celui-ci
Solution.14. Exercice 2 :Claquage de condensateurs du aux harmoniques de courant (Solution.14)
1-2. C=0.4 mF ; L=20 mF ; R=8 
3- 7.73 ;
4-29.8 A ;
5-8.93 A à 250 Hz.
8- 1.01 mH
11- 71.4 V à 250 Hz
13- environ 220 V
14- 220 sin(t) + 75 sin(5t)
15- Umax = 417 V
Solution.15. Exercice 3 :Claquage de condensateurs du aux harmoniques de courant
1.
2.
Le réseau est modélisé par son inductance S CC amont ,le transformateur est modélisé par ses inductances
SCC transfo ainsi que les puissances réactives des moteurs par SCC bt: S, Il
Le condensateur reste tel quel, il fournit Q, et consomme IC
Toutes les puissances actives consommées sont modélisées par des résistances et consomment P, I r
L’électronique de puissance est l’organe générateur d’harmoniques I h
On peut ramener l’ensemble du circuit à
Réseau amont
Transformateur
Eclairage, résistances, moteurs
Condensateur
Electronique
de puissance
Harmonique : nfo
E à fo
Si on considère les harmoniques la source de tension est ramenée à 1 court circuit
Les impédances du réseau et du primaire du transformateur sont ramenées au secondaire (x m²)
On groupe les éléments de même nature
Scc amont
Ic
U
Scc transfo
Scc bt
Q
Q
Il
S
Ir
Ih
P
Ih
P
L’impédance S correspond à (SCC amont + Scc transfo) // SCC bt
L’impédance P correspond aux puissances consommées par l’éclairage résistance moteur et
l’électronique de puissance
3.
Les trois dipôles sont en parallèles donc
1
1
1
1



Z Z R ZC Z L
1 1
1
  jC 
Z R
jL
1 1
 
Z R
1 

j  C 

L 

2
1
1 
1 
     C 

Z
L 
R 
Z
4.
1
2
1 
1 
    C 

L 
R 


2 
1
LC
f 
donc
Z
Et dans ce cas
1
2 LC
1
2
2
1
    0
R
Ic
Q
Donc
Il
.
R
Ih
Ir
P
S
U 0  R  I h0
La tension aux bornes du condensateur est la somme des tensions générées par chaque fréquence
présente sur le réseau :
UC2  UC2 h0  UC2 h1  UC2 h 2  ...
Donc
U C2  U C2 h 0  U C2 h1  U C2 h 2  U C2 h 3 . U C2 hn  ..
50 Hz
U U
2
C
2
C h0
50 Hz
fréquence résonance
U
2
C h1
U
2
C h2
U
2
C h3
...   RI h 0   ..
tensions non comptabilisées
U C2  U C2 h 0   RI h 0 
2
50 Hz
7.
Les courants sont


U0

 U 0C0
 IC 
U0
L0

IC 
 U 0C0

ZC
RI
 I L  I C  0  RI 0C0
L0
IL 
8.
1 
0
L 
A la résonance Z=R
U
6.
2
A la fréquence de résonance est la fréquence qui maximise l’impédance donc lorsque  C 
donc
5.
2
U0 U0

Z L L0
Les courants sont
I L  IC  k  I0
avec k 
R
 RC0
L0
2
9. D'une manière générale, en connaissant la puissance de court-circuit SCC aux bornes d'une batterie de
condensateurs de puissance Q, Montrer que le rang de résonance n0 sera : n0 
f0 
SCC
Q
1
2 LC
U2
U2 
SCC  U  I L 
1
S
L  CC  2L 
Q U  C LC   2
2

Q  U  I C  U  C 
 2
SCC
1

Q
LC
02

SCC 02
 2  n02
Q

Solution.16. Exercice 4 : Etude d’un filtre anti- harmoniques Relèvement du facteur de puissance
(Solution.16) (Ellipses p43)
1.
En mettant le signal au carré , puis en recherchant sa valeur moyenne dont on prend la racine :
2
2
I P1 
100 

3  81, 6 A
S  3UI  3  400  81, 6  56,5 kVA
P 38, 2
fP  
 0, 67
S 56,5
2. La présence d’harmoniques peut être éliminée par des filtres et la puissance réactive par des
condensateurs.
3. Le signal présente une symétrie de glissement donc pas d’harmoniques de rang pair, et le signal est pair
donc bn = 0
4. si n=0
iP1 (t ) 
1
200 3
110
 
sin   cos t  
cos t  donc I P1 
 77, 78 A
1


2
3
4I
110  IˆP11
1  3 
 sin   cos  3t   0
 3  3 
si n=1 iP1 (t ) 
4I
iP1 (t ) 
4I
3
si n=2
5
1  5 
40 3
 sin   cos  5t   
cos  5t 
 5  3 

22
2
 110 
81, 62  

 2
THD 
 31%
110
2
1 
1

Z LC  j  L 
donc le filtre enlèvera l’harmonique de rang 5 si
 donc Z LC  0 si  
C 
LC

1
avec  f la pulsation du fondamental.
LC 
5 f
1
6. Si    f et comme L et C sont choisis tels que  f 
alors
5 LC






 L 5 L
 L  25 L 
1
1
1
Z LC  j  L f 
 jL


 j 
  j 






C f 
5 C
C 
5 C
 5 LC C 1 






5 LC 

5.
 24 L 
Z LC  j  
 et Z LC est un imaginaire pure négatif il est donc équivalent à un dipôle capacitif à
 5 C 

 24 L 
1 
24 L
1

j

cette fréquence et Z LC  j  
donc
donc




 5 C 
 C  
C

5
C
éq
f
éq
f




25
5 C
5 C
25
Céq 

 5 LC  C donc Céq  C
24
24
24 L  f
24 L
1
5 LC
7. Pour compenser l’énergie réactive qui « pulse » à
  f
les trois cellules LC se comportent à cette
fréquence comme Céq donc génèrent une énergie réactive
QC  3Céq f V 2 (V car ici le couplage est
étoile donc chaque Céq est soumis à V) qui doit compenser les 38,2 kVAR absorbés par la charge.
Donc
3Céq f V 2  38, 2.103 donc Céq 
38, 2.103
 400 
3  50  2  

 3
2
 760 µF donc C 
24
Céq  730 µF
25
2
 1 
1
1
8. Comme  f 
alors L  
 0,55 mH
 
2
6


5 LC
 5 f C   5  50  2   730.10
Solution.17. Exercice 7 : Etude d’un filtre anti- harmoniques
1 ère partie : Comportement du filtre à la fréquence du fondamental
Les deux éléments sont en série donc l'impédance complexe Z1 vaut :
Z1  jL 
donc
1
1 

 j  L 

jC
C 

1


Z1  j  0, 00016  2  60 
  8,58 j
6
307 10  2  60 

Z1 = -8,58j
L'impédance complexe est un imaginaire pur dont la partie imaginaire est négative, l'ensemble condensateur — inductance
se comporte donc comme un condensateur vu du fondamental.
On obtient le courant ILC par la relation :
ILC 
V
6300

 734 A
Z1 8,58
ILC = 734 A
Pour une impédance complexe jX (X pouvant être positive ou négative), la puissance réactive s'écrit XI2 ouU2/X où I et U
sont les valeurs efficaces respectivement du courant traversant l'impédance et la tension à ses bornes. Appliquée à notre
cas, on a alors :
QLC = XILC2 = -8,58 x 7342 = -4622 kVAR
QLC = -4,6 MVAR
Il s'agit de puissance réactive fournie par le circuit LC.
2ème partie : Comportement du filtre au rang 11
1.
Z e11 
Si l'on appelle 11 = 2f11 la pulsation associée à l'harmonique de rang 11, alors l'impédance Z e11 vaut :
jL11  R
jL11  R
Pour la mettre sous la forme algébrique, il faut multiplier numérateur et dénominateur par le complexe conjugué du
dénominateur :
2
R  L11 
jL11  R jL11  R R  jL11 R  L11   jR L11
R 2 L11
Z e11 



 2
j 2
2
2
2
jL11  R jL11  R R  jL11
R 2   L11 
R   L11 
R   L11 
2
2
r
R  L11 
r
R   L11 
2
avec
x
2.
2

2
R 2 L11
R 2   L11 

2
5   0, 00016  2  660 
52   0, 00016  2  660 
2
 0, 086   r  0, 086 
52   0, 00016  2  660 
52   0, 00016  2  660 
L'expression de l'impédance complexe Z11 est :
x
2
2
 0, 65   x  0, 65 
Z11  r  jx 
1
r
jC11

1 
jx

C11 

2
Le module de l'impédance Z11 vaut :
1


Z11  0, 0862  j  0, 65 
  0,160 
6
307 10  2  60 

Z11 = 160 m
3.
L'impédance réseau pour l'harmonique 11 est :
Z 11  11  0,0005  2  660  2,07 
Z 11  2,07 
On constate que Z11 « Z
11
, le filtre court-circuite l'harmonique 11 de courant, ce qui aura pour effet de réduire le taux de
distorsion harmonique.
Solution.18. Exercice 11 :BTS 2009 Etk Metropole
Solution.19. Exercice 1 :Courants d’un tube fluorescent
Solution.20. Exercice 2 :Courants d’une lampe fluocompacte
Solution.21. Exercice 3 :Courants dans une alim ordi (PD2 +C)
Solution.22. Exercice 4 :Courants d’un oscilloscope
Solution.23. Exercice 5 :Etude de cas : Le match le Mans Guimgamp
Solution.24. Exercice 5 : BTS 2005 Etk Métropole
1°)
YR 
1
1
; YL 
; YC  jC
R
jL
Ytotal  YR  YL  YC 
2
2°)
1

R
A
1 
1 
Y      C 

L 
 R 
Alors Y=1/R donc Z=R
1 

j  C 

L 

B
2
qui est minimum si
1 

 C 
0
L 

soit si
0 
1
LC
0 
1
 2 175
LC
3°)
Z passe par un maximum Zmax= R = 1000  pour
4°)
R = 1000  ; L = 4 mH et
5°)
Augmentation importante de l’impédance réseau à 175 Hz donc rejette complètement le 175 Hz
6°)
Z50= 1,86.10-3+1,36j = R + j X
1
 2 175
LC
donc C=207 µF
Avec R = 1,86.10-3 et X =1,36 (inductif)
P  RI 2  1,86 103  212  0,820W
Q  XI 2  1,36  212  600 VAr
Solution.25. Exercice 6 : BTS 2003 Etk Métropole : Etude d’un filtre anti-harmoniques
1°) Comportement du filtre au fondamental
1.1)
L’impédance de L en série avec C
Z éq  Z L  Z C  jL 
Z éq  jL  j
1
j
1
 jL  
jC
j jC
1
1 

 j  L 
   j8,58
C
C 

1 

Z1  j  L 
   j8,58
C 

1.2)
2
QLC   Z1 I LC
 4, 63 MVar
donc
I LC 
6300
 734 A
8,58
(signe – car Z1 est un dipôle capacitif donc fournit de l’énergie réactive)
Ou comme Z1=-8,58 j est un imaginaire pur donc l’angle  = -/2
 
QLC  V  I LC sin   6,3 103  734  sin     4, 63 106 VAr
 2
Cette énergie réactive est négative car Z1 se comporte comme un condensateur et fournit donc de l’énergie
réactive.
2°) Comportement du filtre au rang 11
2.1)
1
1
1
 
Z e11 R jL
Z e11 
donc
1
R   L11 
2
2
Z e11 
 R  L
11
jRL11
R  jL11
 jRL11 2
2
R  jL11
R   L11 

2
 jR 2 L11

Donc
2

R  L11 
r

 0, 0865 

2
R 2   L11 

Z e11  r  jx avec 
jR 2 L11

x

 0, 652 
2

2
R

L



11

2.2)

1 
Z11  r  j  x 
  0,086 
C


11 
2.3)
Z 11  11  2  660  2,07   Ze11
1


j  0,65 
  0,086  j 0,136
6
307 10  2  660 

donc
Z11  0,161 
donc l’harmonique circule principalement dans le filtre
Solution.26. Exercice 9 : Etude d’un onduleur de secours (BTS 00 Métropole) (Solution.26)
Partie C : Etude des tensions de sortie de l'onduleur
I.1.
 Quand K1 et K3 sont fermés, c'est-à-dire entre 0 et T/2 : vMN(t) = UB .
 Quand K2 et K4 sont fermés, entre T/2 et T : : vMN(t) = -UB.
On obtient alors une tension alternative en créneau (cf. document réponse 1.a).
I.2. Le carré de la valeur efficace est la valeur moyenne de vMN2(t).
Or vMN2(t)= UB2 = constante sur toute la période.
Donc :
2
vMN
(t )  U B2 . On a alors :
VMN 
2
vMN
(t )  U B
II.1. Le fondamental correspond à la sinusoïde de même fréquence que le signal soit :
v1 (t ) 
4U B

sin t 
Sa valeur efficace vaut :
V1 
4U B
2
II.2. Il suffit d'injecter V1 = 115 V dans la formule précédente. On obtient :
2   115
 128 V
4
UB 
II.3. On va appliquer la formule donnée dans le texte, avec V1 = 115 V et VMN = 128 V. Ce qui donne :
1282  1152
 0, 48
115
dg 
III.1. Cf. document réponse 1b.
III.2. Comme on l'a vu question I-2 de la 3e partie, le carré de la valeur efficace est la valeur moyenne de
document 1b, on a représenté
2
vMN (t ) . On constate que vMN
(t )
alors :

4  Aire entre 0et T
2
vMN
(t ) . Sur le
est paire et de plus symétrique par rapport à T/4 . On a

T
4  4 U 2 90          
B 
5  4
3  2
1 
T
T
360
T
Rappel : l'intervalle de temps correspondant à un angle  est degrés
(s). (Car les angles sont en degrés)
360
2
MN
v
(t ) 
On a donc
VMN 
2
vMN
(t )  2U B
 90   2   4  1   3   5 
360
III.3. Le fondamental est la sinusoïde de même fréquence que le signal soit
v1 (t ) 
4U B

 0,802sin t 
On obtient la valeur efficace V1 en divisant la valeur max par
2
. d'où
4U B
 0,802
2
V1 
Partie D : Filtre de sortie de l'onduleur 1.
I. Etude de l'action du filtre sur le fondamental
I.1. L.a tension aux homes de la résistance R vaut 115V. la puissance dissipée est :
P  1 kW 
On en déduit :
R
1152
R
1152
 13, 2 
1000
I.2.VS1 est la valeur efficace du fondamental de VS. Le filtre LC impose pour le fondamental la relation VS1 = 1,06 V1. De
plus, on a établi dans la 3ème partie, question III.3.
V1 
4U B
 0,802
2
Il résulte de ces deux égalités que :
VS1  1, 06
4U B
 0,802
2
donc
UB 
2    VS1
2   115

 150 V
1, 06  0,802  4 1, 06  0,802  4
II. Etude de l'action du filtre sur VMN
II.1. La pulsation du fondamental vaut :
  2  400  2513 rad  s-1 . Celle du 13e harmonique vaut :
13  32673 rad  s-1 . Les expressions des impédances sont :
1
ZC13 
 1, 4  et Z L13  j13  L  15,3 
j13  C
II.2. On constate que ZC13 « R donc la capacité "court-circuite" la résistance pour lafréquence du 13e harmonique et à
fortiori toutes les fréquences supérieures. On peut donc considérer que le schéma de la figure 6a est effectivement
équivalent à celui de la figure 6b pour tous les harmoniques de rang supérieur ou égal à 13.
II.3. Appliquons le principe du diviseur de tension aux impédances du schéma de la figure 6b :
Vsn
Z Cn


Vn Z Cn  Z Lnn
1
jCn
1
 jLn
jCn

1
1

2
2
2
1  j n LC
1  n LC 2
2
Le rapport est un réel. Le rapport des valeurs efficaces est donc la valeur absolue de ce nombre.
II.4. Il suffit de prendre la valeur absolue de la formule établie précédemment (question II.3) pour n = 13. On obtient :
Pour n> 13:
VS13
1
1


2
2
3
6
V13 1  13  0, 47 10  22 10   2  400 
10
Vsn
1
1
1
1

 2
 2

2
2
2
2
Vn 1  n LC
n LC 13 LC 10
II.5. On a par définition :
d gVs
V 2  Vs21
 s

Vs1
Sachant que
Vsn 1

Vn 10
V
n 1
2
sn
Vs1
pour n>13, on peut considérer que
Vsn2 
Vn2
100
donc que :
V
n 1
2
sn

V
 100 
n 1
2
n
10
n 1
Comme Vs1
d gVs 
V
2
n
 V1 Vs1  1,06 V1  , on a
V
n 1
2
sn

V
n 1
Vs1
V1
On a bien : d g  5%
Vs
2
sn

V
n 1
2
n
10  V1

dg
10

0, 49
 0, 049
10
III. Si le produit LC est dix fois plus grand, cela va nécessiter une inductance et une capacité plus grandes et donc un plus
gros encombrement du dispositif, d'où l'avantage de la MLI.
Solution.27. Exercice 8 : Amélioration du facteur de puissance avec un circuit LC (BTS 01
Métropole) (Solution.27)
1.
Le courant est carré, lorsque l’on cherche la valeur efficace I=IC=50 A.
S  U  I  400  50  20 kVA
La puissance apparente est de 20 kVA.
2.
2.1. I F

4 I C 4  50

 45 A
2
2
4IC/
Le déphasage
2.2.
-F.
3.
 F  i / u  

3
, le courant est en retard sur la tension
Attention : c’est le fondamental du courant qu’il faut prendre en compte ainsi que le déphasage de u/i donc
 
P  U  I F  cos   F   400  45  cos    9000W
3
 
Q  U  I F  sin   F   400  45  sin    15, 6 kVAr
3
D  S 2  P 2  Q2 
 400  50
2
 90002  155882  8719 VAd
Pour améliorer le facteur de puissance f P 
P

S
P
P2  Q2  D2
, il faut diminuer Q et D
4. Action du circuit LC
1
1 

 j  L 

jC
C 

1 
1



3
 j  L 
  j  5, 63 10  2  50 
  14 j
6
C 
200 10  2  50 


4.1. L et C sont en série donc
Pour 50 Hz  Z LC 50 Hz
Z LC  jL 
Donc pour cette fréquence le dipôle est capacitif (complexe négatif pur donc =-/2), il fournira donc
de la puissance réactive
Donc le courant le traversant est I LC 
4.2. La puissance réactive fournie est donc
U
400

 28,5 A
Z LC
14
QLC
U2
 U  I LC  sin   
  Z LC  I 2  11, 4 kVAr
Z LC


2
1
4.3. D’après le théorème de Boucherot on détermine
Qt  Q  QLC  15600  11400  4200VAr
La puissance réactive est donc de 4200 VAr
5. Action du circuit LC sur la puissance déformante
Le modèle suivant est utilisé :

 : l’inductance du réseau

Sur la branche du réseau la source de tension à 50 Hz est
absente car elle a été annulée (une source de tension est
annulée en la mettant en court-circuit) car on fait une
étude à 150 Hz

Le filtre LC reste en place mais il faudra faire attention à
effectuer les calculs pour 150 Hz

La source de courant ih3 correspond aux harmoniques
générés à 150 Hz
1
j
j
1 

 jL 
 jL 
 j  L 

jC
j  jC
C
C 

1 
1



3
 j  L 
  j  5, 63 10  2 150 
  j  0,98 m
6
C 
200 10  2 150 


5.1.L’impédance
 Z LC 150 Hz
Z LC  jL 
L’impédance LC représente à 150 Hz une impédance à caractère inductif de valeur 0,98 m.
L’impédance du réseau
 Z 150Hz  j  j  0, 4 103  2 150  j  0,37
L’impédance à 150 Hz du réseau est nettement plus importante que celle du filtre LC
5.2. L’harmonique de rang 3 choisira la branche d’impédance la plus faible ( donc le filtre LC) et ne se
propagera pas dans le réseau.
La puissance S sera abaissée par la baisse de la puissance déformante D.
Difficile de dire que l’harmonique de rang 3 a disparu
Ou que la courbe de la figure 9 se rapproche d’une
sinusoïde.
Une analyse spectrale est nécessaire pour confirmer cette
intuition.

Solution.28. Exercice 10 : Etude en configuration onduleur à modulation de largeur d’impulsion
(BTS 00 Nouméa)
B1 = 564
B3 = 90
B5 = 0.0611
B7 = 0.237
B9 = 14.92
B11 = 0.183
B13 = 43
B15 = 78.8
B17 = 71.5
C. Etude en configuration onduleur à modulation de largeur d’impulsion

C.1.1.

4U 0
 cos n  cos n  cos n  sin  n 
n 1 n
u12 ( )   Bn sin n  
n 1
Pour l’harmonique de rang 3

4U 0
u12 ( ) 
 cos 3  cos 3  cos 3  sin  3 
3


4U 0

2
 cos 3  cos 3  cos 3  sin  3   
u23 ( ) 
3
3
 


4U 0

2
u31 ( ) 
 cos 3  cos 3  cos 3  sin  3   
3
3
 







Donc


u12 ( )  B3 sin  3 


3  2 

u23 ( )  B3 sin  3 

3 



u23 ( )  B3 sin  3  3  2 

3 

les fonctions sinus étant périodique de période 2
u12 ( )  B3 sin  3 

u23 ( )  B3 sin  3  donc les trois harmoniques de rang 3 (et multiples de 3) sont en phase

u23 ( )  B3 sin  3 
C.1.2. Les harmoniques les plus gênants sont les harmoniques 5, 7, 11 (l’harmonique de rang 3 n’étant pas gênant car ils
sont en phase
Harmoniques :
24,5
30,3
14

 4U
4U 0 
0
 B3 
 cos 3   cos 3   cos 3   
 0, 4433


3
3




 B  4U 0 cos 5  cos 5  cos 5  4U 0 1,3 103


 5
5
5


4U 0
4U
 cos 7  cos 7   cos 7   0  2,8 103
 B7 
7
7

4U 0
4U 0

3
 B11  11  cos11  cos11  cos11    11  3,3 10
Les harmoniques multiples de 3 ne sont pas gênants car ils sont en phase.
Les harmoniques 5, 7 et 11 ont bien des amplitudes très faibles et ne sont donc pas gênants.
C.1.3. Valeur efficace de U12
u12(t)
480 V
0V
 

/2
-480 V


4802       4802   
2
U12 
 480

2
 0, 428  0, 245   2  0,529 

C.1.4. La valeur du fondamental est UF
 424 V
2
4U 0
 cos n  cos n  cos n 
n
4U 0
B
Donc le fondamental a pour amplitude B1 
 cos n  cos n  cos n  et U F  1

2
4U 0
1
Donc U F 
 cos   cos   cos     399 V

2
Sachant que les amplitudes des harmoniques sont
Bn 
0,924
C.1.5. Taux de distorsion
D
U122  U F2
4242  3992

 0,359  35,9%
UF
399
Solution.29. Exercice 11 : BTS 2009 Etk Metropole
D.2.1. Redresseur 6 bras
donc les harmoniques sont donnés par la règle : rang présent= 2nxp1
Avec n  et p le nombre de bras
donc harmoniques
n  1: 1 6   1  5 ou 7

 n  p   1n  2 :  2  6   1  11 ou 13  1

n  3:  3  6   1  17 ou 19
donc 5,7,11,13….
D.2.2. Neutre nécessaire pour Automate Vanne Capteur qui génèrent du courant dans ce neutre
D.2.3.
cos=1 donc
cos=0,99 donc
cos=1 donc
tan= tan arcos1=0
tan= tan arcos0,99=
tan= tan arcos1=0
S
S1  V1 I1
S 2  V2 I 2
S3  V3 I 3
S1  237,3  5,8
S 2  235,9  6, 0
S3  238,3  6, 0
S1  1376 VA
Q  P tan 
S 2  1415 VA
S3  1429,8 VA
!!! Q  VI1 sin 
Q
et
cos  
P
P Q
2
2
 fP 
P

S
P
P  Q2  D2
2
On ne connaît pas I 1
Q2 = P2 tan 2
Q2 = 840 tan (arcos 0,99)
Q2 = 113 VAr
Q1 = P1 tan 1
Q1 = 800 tan (arcos 0)
Q1 = 0
Q3 = P3 tan 3
Q3 = 0
D  S 2  P2  Q2
avec S  VI
D
D  13762  8002  02
D1 = 1120 VAd
fP 
fP
P 800

S 1376
D2 = 1132 VAd
D3 = 1164 VAd
fp = 0,59
fp = 0,58
fp = 0,58
D.2.4. Filtre
Solution.30. Exercice 12 : BTS 2005 Métropole : Couplage d’un transformateur
B1. Caractéristiques du transformateur.
B1.1 Le rapport de transformation par colonne est
400
N 2 Van
3  11,5 103
mC 


N1 U AB 20000
B1.2 L’indice horaire est déterminé en trouvant le déphasage de UAB /Uab.
Les tensions en phase sont Van et UAB.
Uab
UAB
Van
Indice horaire :11
Uab
Vbn
Vcn
Angle 11x/6
Sens horaire
Solution.31. Exercice 13 : BTS 2001 (Nouméa) Transfo relevement fp ()
1.
La puissance apparente secondaire nominale S n est reliée à I2n par la relation :
pour le courant nominal secondaire :
Sn
I 2n 

250000
 360
3  400
3U 2 n
410
m
 0, 02
20000
Sn  3U 2n I 2n . On obtient alors
donc I2n= 360 A
2.
Grâce à l'essai à vide, on détermine m :
3.
Lors de l'essai en court circuit, la tension primaire étant réduite, on peut négliger les
pertes fer et le courant magnétisant. Toute la puissance absorbée sera donc dissipée dans
les trois résistances R S. Le schéma équivalent monophasé (étoile donc il faudra prendre la
tension simple) devient :
b.
On peut alors écrire
efficaces :
ZS 
donc m = 0,02
mV1CC  E2CC   RS  jX S  I2CC  Z S I2CC
mV1CC  Z S I 2CC . L'impédance Zs vaut donc : Z S 
0, 02  0, 04  20000
 0, 0256
3  360
P1CC est la puissance absorbée dans les trois résistances RS donc :
d.
On en déduit RS :
RS 
P1CC
3I 22CC
3250
 0, 0083 
3  3602
et
X S  ZS2  RS2
soit
P1CC  3RS I 22CC
.
soit RS = 8,3 m
X S  0,02562  0,00832  0,024 
4.
mV1CC
I 2CC
donc ZS = 25,6 m
c.
RS 
soit en valeurs
soit XS = 24 m
a) On va utiliser l'expression approchée de la chute de tension en charge :
U 2  U 20  U 2  3  RS I 2n cos 2  X S I 2n sin 2 
de la charge et le courant i2,
où
2
est le déphasage entre la tension simple aux bornes
cos 2 vaut ici 0,8.
La tension disponible entre phases est alors :
U 2  U 20  3  RS I 2 n cos 2  X S I 2 n sin 2 


U 2  410  3 8,3 103  360  0,8  25 10 3  360  1  0,82  396 V
b.
Donc U2 = 396 V
Faisons le bilan des pertes. On est sous courant nominal secondaire donc les pertes Joule dans les enroulements
sont les mêmes que celles de l'essai en court circuit (c'est l'intérêt de faire cet essai sous courant nominal
secondaire) soit P1CC. On est de plus sous tension nominale primaire donc les pertes fer sont les mêmes que lors de
l'essai à vide soit P10.
La puissance dissipée dans la charge vaut
3U2n I 2n cos 2 .
L'expression du rendement est donc ici :

5.
3U 2 n I 2 n cos 2
3  396  360  0,8

 98%
3U 2 n I 2 n cos 2  P1CC  P10
3  396  360  0,8  3250  650
Pour déterminer H, il s'agit de déterminer le déphasage entre la tension
simple vA et la tension simple va en tournant dans le sens horaire. Ce
déphasage est un multiple de

6
. Le coefficient de proportionnalité est H.
D'après la figure et la disposition des bornes homologues, uAB et va sont en
phase. Représentons cela sur un diagramme vectoriel :
Il apparaît immédiatement que H = 11
Solution.32. Exercice 14 : BTS 2007 Etk Metro - Etude de l’onduleur commande en MLI
(Solution.32)
D.1- Etude harmonique
D.1.1. Sur la figure 7 T=0,01 s
Sur la figure 8 : le fondamental est à 100 Hz
Donc f= 100 Hz
D.1.2.
VAN 1 
VˆAN 1
2

59
 41, 7 V
2
D.1.3. Premier harmonique f= 700 Hz donc rang 7
D.1.4. Les harmoniques de tension ne se répercutent que peu sur le courant car au fur et à mesure que les harmoniques
augmentent, l’impédance (L) de la machine synchrone augmente réduisant ainsi le courant harmonique
D.2- Considérations énergétiques
D.2.1.
219
D.2.2. I a 
 154,8
2
D.2.3. a  28
Amplitude 59 V
I
VL V  E

L
L
Pa  3Va I a cos a et Qa  3Va I a sin a
Pa  3  59 154,8  cos 28  24,19 kW
D.2.4. a)
D.2.4. b)
Qa  3  59 154,8  sin 28  12,86 kVAr
D.2.4. c) Non car VA  VAN
1
Solution.33. Exercice 15 : BTS 2003 Etk Metro Alimentation des moteurs électriques de
propulsion du paquebot Queen Mary 2 PD3 (Solution.33)
Le déphasage entre va et iaf : on voit que iaf est en retard sur va de 30°
Donc
 Ia Va  30
T
B12. La valeur efficace de Ia est
B13 L’expression de iaf(t) est
Sa valeur efficace est
I af 
Donc
k
3

iaf 
2T
3  2 830  678 A
T
3
8302 
 2 3I 0
4I0  3
sin t   
 sin t     
  2


2 3 I0
 0, 78  I 0

2
k
B14. Facteur de puissance
1 2
Ia 
ia dt 
T 0
3  U ab  I af  cos 
P

S
3  U ab  I a
3
2 3 I0

2

Ia 
2
I0
3
2 3 I0
 cos 

2
2
3
I0
3
 cos   0,955cos 
B15. Le taux global de distorsion :
I I
2
Di 
Di 
If
2
f

2 4 3

3 2 2 
6

2 2 4 3 2
I0  2 I0
3
 2 
2 3 I0

2
2 6

3  2  0,31
6

2 4 3
I 02   2  I 0
3  2

2 3 I0

2
2 4 3
  2 
3  2
2 3 I0

2
donc
Solution.34. Exercice 16 : BTS 2002 Etk Metro PMCF (Solution.34)
Solution.35. Exercice 17 : BTS 2002 Etk Nouméa PD3 et ses harmoniques (Solution.35)
2.1 D1 conduit si v1 > v2 et v3.
D2 conduit si v2 > v1 et v3.
D3 conduit si v3 > v2 et v1.
2.2 [t1,t2] D1 conduit et D5 conduit. uc(t)= v1-v2= u12
[t2,t3] D1 conduit et D6 conduit. uc(t)= v1-v3= u13
2.3 iD1= I quand D1conduit. iD1= 0 quand D1est bloquée.
iD4= I quand D4 conduit. iD4= 0 quand D4 est bloquée.
2.4.
Ucmoy=538 V
2.5.a Le courant i et donc iL1 présente une ondulation. Le lissage n’est pas parfait.
La conduction et le
blocage des diodes n’est pas immédiat. (inductance des fils de lignes 0)
2.5.b f1=50 Hz IL1max= 12A IL1eff= 8.48 A.
f5=250 Hz IL5max= 2A IL5eff= 1.41 A.
f7=350 Hz IL7max= 1.2A IL7eff= 0.85 A.
2.5.c Ieff augmente à cause des harmoniques. Echauffements supplémentaires.
D augmente et le facteur de puissance est moins bon.
Solution.36. Exercice 18 : BTS 1999 Etk Nouméa Q absorbée par PD3 commandé Compensateur
statique (Solution.36)
uRS
A
uSR
uST
uRT
R
S
T
UAB°
vR
vS
VAN°
iR
vT
T1
i1
T2
L
T4
T5
T6
B
Figure 2
0
 = t
VBN°
T3°
T4 T5 T6
T4°
T1°
T2°
T5°
T6°
T3°
 = t
T5°
T4°
 = t
i1, i2
I0
 = t
-I0
iRF
I0
28,3A
25,7A
 = t
-I0
II.1)
U moy  U 0 cos 
pour un pont tout thyristor
Pour un pont de diode PD3 :
Donc
U moy  3 6
V

U moy  3 6
 U 0 cos 
V

donc
0
ce qui doit être la même valeur que pour le pont tout thyristor si =0
U0  3 6
V

3 6
220

 514, 6 V
II.2) Dans la charge R,L
U AB  Ri  L
di
dt
U AB  Ri  L
di
dt
0
U AB  U 0 cos   R I
I0
I0 
U 0 cos 
R
II.3) La puissance absorbée par la charge :
P  U AB  I 0  I 0  U AB
U 0 cos 
R
Donc
R
T3
i2
=60°
T1 T2 T3
P  P0 cos 
2
I0
U 0 cos 
U 02 cos 2  U 02


cos 2 
R
R
P0
Donc
514, 62
P
cos 2 
10
26,48103
III.1) IRf= 0,78xI0 avec
U 0 cos  514  cos 60

 25, 7
R
10
I /V  60 (déphasage de V vers I)
I0 
III.2) Le déphasage est de
donc
I Rf  25,7  0,78  2  28,3 A
IV.1) La puissance est définie grâce au fondamental du courant
P  3  VI Rf cos V / I
P  3  VI Rf cos 
Q  3  VI Rf sin 
IV.2) détermination de IRf
I0 
U 0 cos  3 6 V
I

 cos   R
R

R
0, 78
 I Rf  0, 78 
3 6 V
 cos 

R
IV.3) Mise en forme de Q
Q  3  VI Rf sin 
3 6 V
 cos  sin 

R
comme 2 cos  sin   sin 2
Q  3  V  0, 78 
Q9
V 2 0, 78
1
6  sin 2
R 
2
Q0
Q  Q0 sin 2
Q0  9
2202 0, 78
1
6
10 
2
13,2 kVAr
V) Compensateur statique
V.1)
Q1  Q0 sin 2  13 103 sin(2  70)  8,35 kVAr
V.2)
QC  3CU 2  Q1
Donc
V.3)
C
Q1
8,35 103

3U 2 3  314  220  3


2
 61µF
QT  Q1  QC  Q0 sin 2  QC
13,2
8,35
V.4) Le compensateur fournit de la puissance réactive lorsque
13, 2sin 2  8,35
8,35
13, 2
1
 8,35 
donc   arcsin 
  20
2
 13, 2 
donc lorsque
sin 2 
donc lorsque <20° la puissance réactive est négative.
Mais de plus comme
Donc
sin x  sin   x 
sin  2   sin   2  
8,35
13, 2
donc


1
 8,35 
 arcsin 
  70
2 2
 13, 2 
Solution.37. Exercice 19 : BTS 2010 Etk Metro Conséquences de l'utilisation d’un variateur de
vitesse (Solution.37)
Analyse des courants absorbés par le variateur
C.1. La lecture de l’oscillogramme donne I = 196,1 A.
Imax peut être lu sur le graphique Imax 600 A
Ou on le détermine avec la valeur du facteur de crête : 3,0 CF défini par
I max  CF  I  3 196,1  588,3 A
CF  fC 
I max
I
donc
donc par cette méthode plus précise Imax=588 A
C.2. La lecture du spectre nous renseigne sur la valeur efficace (pas évident : sans confirmation avec la valeur du THD cela
pourrait être la valeur crête donc l’amplitude) du fondamental : I1 = 139,9 A
C.3. La lecture du spectre nous renseigne sur le pourcentage du fondamental de chaque harmonique.
On détermine le pourcentage en mesurant la hauteur du fondamental, l’on mesure ensuite chaque harmonique et l’on fait
le rapport de la longueur de l’harmonique sur celle du fondamental
Harmonique
rang
fréquence
% de I1
Valeur
efficace
I5
I7
I11
I13
5
7
11
13
250
350
550
650
64
54
32
24
90 A
76 A
45 A
34 A
C.4. La définition du THD est strictement
THD 
I 22  I 32  I 42  I 52 ...

I1
I 2  I12
I1
.
En ne comptabilisant que les 4 harmoniques principaux, on fait une légère erreur qui mène au résultat
THD 
I 52  I 72  I112  I132
902  762  452  342

 93,3%
I1
139,9
Si l’on effectue un calcul plus rigoureux
195,62  139,92
THD 
 97,7%
139,9
Dans les deux cas, le résultat est proche des 98 % annoncés par l’appareil.
.
C.5. Pour réduire les harmoniques de courants un filtrage est nécessaire (circuit bouchon (L et C en série accordé sur
l’harmonique le plus gênant) en parallèle sur le réseau)
C.6.a
1 

Z 50 Hz  j  L 

C 

1


j  0,55 103  2  50 
  4,18 j
6
730 10  2  50 

A 50 Hz le filtre se comporte comme un condensateur (Z 50Hz < 0) , il fournit de l’énergie réactive.
Q
V2
2302

 12,6 kVAr
Z
4,18
C.6.b
f 
1
2 LC

1
2 0,55 103  730 106
 250 Hz
C.6.c Le filtre va donc fournir de l’énergie réactive à la fréquence du fondamental et filtrer l’harmonique de rang 5
Conséquence sur les puissances
C.7. Le facteur de déplacement cos= 0,99 (soit un déphasage très faible de 8°) ou 1 si on regarde 1= 0
L’allure du fondamental est donc
C.8. La puissance
P  VI1 cos 1  231,6 139,9  0,99  32100
La puissance mesurée par l’appareil est P= 31,7 kW proche de ce que l’on peut vérifier par le calcul P=32,1 kW.
(Remarque : pas coefficient 3 car la mesure est faite en monophasé)
La puissance réactive réelle est
Q  VI1 sin  arc cos 1   231,6 139,9  sin  arc cos0,99  4570VAr
Mais l’appareil donne une puissance réactive qui contient Q et D donc
Q2  D2
donc il faut d’abord trouver S pour
trouver ce que mesure l’appareil.
Donc
S  VI  231, 6 196,1  45400 VA
La puissance apparente que mesure l’appareil est S= 45,4 kVA.
En présence de puissance déformante
la mesure est
S 2  P 2  Q2  D2 , donc comme l’appareil mesure Q et D , le résultat de
Q 2  D 2  S 2  P 2  45, 42  32,12  32,1 kVAr .
Ce qu’indique l’appareil et notre calcul concordent bien.
C.9. On en déduit la puissance déformante. On sait que
Donc
Q 2  D 2  32,1 kVAr
or Q= 4,57 kVAR
D  32,12  4,572  31, 7 kVAd
La puissance déformante est donc D= 31,7 kVAd
C.10.
fP 
P 32,1

 0, 7
S 45, 4
On retrouve bien le rés ultat de la mesure
La valeur du fp est plus faible que la cos  car il témoigne de la présence de puissance déformante
Solution.38. Exercice 20 : BTS 2010 Etk Nouméa ALIMENTATION ELECTRIQUE DE LA
MACHINE (Solution.38)
C.1.1.
La loi des nœuds donne
iR (t )  iV (t )  iV (t )  2  iV (t )
C.1.2. Le théorème de Parseval donne :
IV  10, 62  9,52  8,92  72  6, 22  4, 22  32
IV  19,9 A
C.1.3.

19,92  10, 62
 1,59
10, 6
donc  = 1,59 ou 159%
C.1.4. Pour un signal purement sinusoïdal on obtient IV=I1 =>  = O
Les harmoniques proviennent du redresseur + condensateur
C.1.5. IR = 2xIV = 40 A
Les fusibles sont donc sous dimensionnés.
C.2.1. Voir Doc
C.2.2. Voir Doc
C.2.3.
US 
3 6

V
3 6  400 
 540 V
  3 
donc ¨<US> =540 V
C.2.4. IV = IS si D1 conduit
IV = IS si D1 conduit
C.2.5.
PS  uS iS  uS I S  540 12,6  6800
Donc PS = 6,8 kW et comme il n’y a pas de pertes dans les diodes PV=PS= 6,8 kW
C.2.6.
C.2.7.
Voir doc et  = 0°
PV  3U S I1 cos   I1 
Donc I1 = 9,8 A
PV
3U S cos 

6800
 9,8
3  400 1
Solution.39. Exercice 21 : BTS 2006 Etk Métro Etude d’un onduleur (Solution.39)
C.1. Onduleur à commande pleine onde
C.1.1. Lorsque K1 est fermé
VA 0 
UC
2
, K4 fermé
VA 0  
UC
2
d’où la courbe VAO
C.1.2. tracé de VBO et VCO
C.1.3. Tracé de VAN
2
2
 U C  T  2U C  T

 2 

3  6  3  6 UC 2


C.1.4. VAN 
T
3
2
2U C
sin t
C.1.5. Le fondamentale de van est v1 (t ) 

V1 
2U C
2U C
2  750


 338 V


 2
C.2. Association onduleur –moteur
C.2.1.
 Z 5  L  5  2,31103  5  553  6,39

3
 Z 7  L  7  2,3110  7  553  8,94
C.2.2.
V1

V
 I  5  5  10, 6 A
 5 Z5
Z5


V7
 I 7  Z  5, 4 A
7

et sa valeur efficace est
3EI1
3E
cos 1   
 I5  I 7  sin  6t 
S
S
3EI1
3  309  35, 4
C
cos 1   
cos  43  6, 2   95 Nm
553
S
2
C.2.3. On en déduit
Donc

C (t ) 
et
C (t ) 
3E
 I 5  I 7  sin  6t 
S
p
La fréquence de C’(t) est 6x88=528 Hz
Et l’amplitude de C’(t) est
CMAX 
3E
 I 5  I 7   17, 4 Nm
S
C(t )  95 17, 4sin  6  2  88  t 

CMAX
17, 4

 0,18
C.2.4. le rapport
C
95
Donc
Le couple pulsatoire représente environ 20% du couple nominal, d’où une nuisance sonore, usure prématurée,
vibrations.
C.2.5. L’harmonique le plus proche est du rang 17, il sera plus facile de l’éliminer par des filtres ( bobines)
2UC /3
UC/3
Solution.40. Exercice 22 : BTS Etk 1995 Nouméa Etude de la génératrice tachymétrique
(Solution.40)
Solution.41. Exercice 23 : BTS Etk 2012 Nouméa Chalet PV(Solution.41)
C.1. Choix du type d'onduleur assurant la réversibilité.
Structure B . (A est réversible en tension mais non en courant.)
C.2. Onduleur sinusoïdal
C.2.1.Rang 1 : fondamental et rang 3 :harmonique 3.
C.2.2. V1

322
2
 227 V
V3 
3,2
2
 2,26 V
U Sond  V12  V32  227 V
C.2.3.
C.2.4. THD=1%
Solution.42. Exercice 24 : BTS Etk 2013 Métro Eclairage Pablo Picasso (Solution.42)
Étude des puissances du côté du réseau
B.1.4. Lorsque


2
,


ih1 (t )  7, 28  sin  t  0,567 



Iˆ1


7, 28
 5,14 A et le déphasage est =0,567 rad soit 32,4°
2
2
donc
1
Le déphasage à mesurer mais si l’on considère un décalage de 1,5 à 2 carrreaux pour une période de 20 carreauxcela
donne un déphasage compris entre 27° et 36°.
1
1
I h1 
B.1.5. cos 1 est le facteur de déplacement
B.1.6.
P  V  I1  cos 1
Q  V  I1  sin 1
B.1.7. La puissance active et réactive sont portés par le fondamental du courant : I1
P  V  I1  cos 1  230  5,14  cos 32, 4  998W
Q  V  I1  sin 1  230  5,14  sin 32, 4  633 VAr
P  998 W
Q  633 VAr
La puissance apparente comptabilise le courant dans sa globalité soit I = 6.16 A calculé en B.1.3.
5
S  V  I  230  6,16  1417 VA
S  1417 VA
D  S 2  P 2  Q 2  1417 2  9982  6332  781 VAd
D  781 VAd
fp 
P 998

 0, 7
S 1417
f p  0, 7
Solution.43. Exercice 25 : BTS Etk 2013 Métro Eclairage Pablo Picasso (Solution.43)
B.2.1. Dimensionnement du conducteur de phase. Étude dans le cas où  = 0 (2kW sur chaque phase)
1
I1 
VLN 237,5

 8,96 A
R
26,5
donc
I1  8,96 A
Comme =0 le courant I1 ne présente pas d’harmoniques, la somme vectorielle des
courants de ligne est
I1  I 2  I3  I N .
Comme ces 3 courants équilibrés sont déphasés de 120° leur somme est donc nulle
1
IN  0 A
B.2.2. Dimensionnement du conducteur de neutre. Etude dans le cas où
1
1


2
(1 kW sur chaque phase)
B.2.2.1. Le graphe 3 de l’annexe 2 nous renseigne sur la valeur efficace de IN : IN=8,8 A
Comme il est défini , on calcule le rapport
I N 8,8

 1, 42
I1 6, 2
ou
IN
8,8

 0,98
I1 8,96
1
1
La forme du graphe 2 renseigne sur la forme du courant IN qui permet
de mieux comprendre ou passe ce courant IN sur le graphe 1 et ainsi d’en
mesurer sa période (3 fois plus petite que celle du 50 Hz) donc
f N  3  f  150 Hz
B.2.2.2. Les courants fondamentaux valent à peu près la même valeur et sont tous déphasés de 120°
B.2.2.3.
2
I h31   2,883 ,
.
I h32   2, 7  277 ,
I h33   2, 7  278 •
Rq : dire que v1 sert de référence est erroné car il ne tourne pas à la même vitesse.
ih31  ih32  ih33  ih3n . Et comme les 3 harmoniques sont en phase alors
I h 31  I h 32  I h 33  I h 3 N
B.2.2.4.
2
2,8  2, 7  2, 7  8, 2 A  I h 3 N
4,17/10