TD 06 Champ Magnetostatique

TD 06
Champ magnétostatique
1. Calculer le champ magnétostatique créé par cette distribution en tout point
de l’espace.
⋆ Distributions de courants, Symétries, Topographie
2. Représenter la norme de ce champ.
1. Boule de Rowland
Une boule de polystyrène (matériau non conducteur), de centre O et de rayon R,
a été chargée uniformément en volume, et porte la densité volumique ρ. Elle est
→
mise en rotation autour d’un de ses diamètres, avec la vitesse angulaire −
ω = ω~ez
constante.
1. Étudier les symétries de cette distribution de courant.
2. Calculer le vecteur densité volumique de courant ~j associé à cette distribution.
3. Calculer l’intensité de cette distribution relative à un demi-disque dont le
diamètre s’appuie sur (Oz).
~ à travers le tore.
3. Calculer le flux de B
4. Cavité cylindrique
Considérons un cylindre conducteur d’axe (O1 z), et de rayon R1 , percé d’une
cavité cylindrique d’axe (O2 z) et de rayon R2 . Ce cylindre est parcouru par un
courant volumique de répartition uniforme et de vecteur densité volumique de
courant ~j = j~ez .
2. Cartes de champ magnétostatique
Tracer l’allure, dans le plan (xOy) des lignes du champ magnétostatique créé par
les distributions suivantes :
1. Deux fils infinis parallèles d’axe (Oz), distants de d, parcourus par des courants
de même intensité I et de même sens.
2. Deux fils infinis parallèles d’axe (Oz), distants de d, parcourus par des courants
de même intensité I mais de sens opposés.
3. Trois fils infinis parallèles d’axe (Oz), placés au sommet d’un triangle équilatéral, parcourus par des courants de même sens et intensité.
Déterminer le champ magnétostatique créé en tout point de la cavité.
5. Câble coaxial
~
⋆ Calculs de champ B
3. Conducteur torique
Un câble coaxial est constitué de deux cylindres C1 et C2 de même axe (Oz) :
On considère un tore à section carrée, obtenu en faisant tourner autour de l’axe
(Oz) un carré de côté a et de centre O1 , situé à la distance R de l’origine O.
Sur ce tore est bobiné un fil conducteur, formant N spires identiques jointives,
parcourues par un courant I.
– l’âme C1 est un cylindre conducteur de rayon a1 ;
– l’armature externe, ou gaine, est un cylindre de rayon intérieur a2 et d’épaisseur
e ≪ a2 .
– le volume entre l’âme et la gaine est rempli par un matériau isolant.
TD 06 Champ magnétostatique
Lycée Buffon - MP* 2016-2017
1
6. Compression magnétique d’un plasma
Un plasma neutre est localisé dans la partie centrale d’un tube cylindrique de rayon
R0 et d’axe (Oz), où il occupe l’intérieur d’un volume cylindrique coaxial de rayon
R1 ; la partie extérieure comprise entre ce volume et le tube (correspondant à
R1 < r < R0 avec r distance à l’axe) est vide, et la pression y est nulle.
Un courant électrique d’intensité totale I circule parallèlement à (Oz) dans la
zone correspondant à R2 < r < R1 , où la densité volumique de courant est
uniforme.
1. Déterminer le champ magnétique pour r < R0 .
2. On admet que la force de Laplace s’exerçant sur un volume élémentaire dτ
→
−
→
→
− −
est d F L = j ∧ B dτ .
Ce câble est utilisé dans un circuit électrique : l’âme est alors parcourue par
un courant I réparti uniformément dans son volume, tandis que la gaine est
parcourue par un courant −I réparti sur sa surface (l’épaisseur est négligée).
1. Donner le vecteur densité volumique de courant dans l’âme.
2. Calculer le champ magnétostatique créé en tout point de l’espace par cette
~
distribution de courant. Représenter la norme de B.
3. On considère la surface verticale de hauteur h, découpée dans l’isolant (a1 <
~ à travers
r < a2 ), représentée sur la figure précédente. Calculer le flux Φ de B
cette surface.
Φ
4. On appelle coefficient d’auto-induction la quantité L = . Exprimer L ainsi
I
que le coefficient d’auto-induction par unité de longueur Λ.
5. On peut montrer que la capacité par unité de longueur Γ de ce câble coaxial
2πε0
est donné par Γ =
a2 . En déduire une propriété des caractéristiques Γ et
ln
a1
Λ d’un tel câble.
TD 06 Champ magnétostatique
On néglige la gravitation et on appelle p la pression en un point du plasma. En
écrivant l’équilibre d’un élément de volume mésoscopique, établir l’expression
dp
pour r < R1 .
de
dr
3. Exprimer la pression pour r < R2 . On suppose désormais que R1 ≃ R2 .
Exprimer la pression dans le plasma en fonction de µ0 , I et R1 .
1 − u2
1
1
1 1
2
On donne, pour u ≃ 1 :
− u ln
≃ − (u − 1).
2
2
(1 − u )
2
u
4 6
4. Le plasma est constitué d’ions et d’électrons de concentrations égales ; soit
N cette concentration commune. On assimile le plasma à un gaz parfait et
on admet en particulier que la température T des électrons considérés comme
"particules" du gaz, est la même que celle des ions.
Exprimer cette température en fonciton de I, R1 , N , µ0 et kB . Calculer
numériquement T pour I = 1, 0.106 A, R1 = 10 cm et N = 1, 0.1021 m−3 .
⋆ Dipôle magnétostatique
7. Moment cinétique orbital et moment magnétique atomique
Un modèle classique simple d’atome d’hydrogène consiste à considérer l’électron
(masse me , charge −e) décrivant un mouvement circulaire uniforme autour du
noyau, supposé fixe. On note ω la vitesse angulaire de l’électron sur cette orbite
Lycée Buffon - MP* 2016-2017
2
et on propose de modéliser ce système comme une spire parcourue par un courant
d’intensité I constante.
1. Quelle équation de la mécanique est adaptée à cette étude ? En déduire une
équation différentielle vectorielle régissant l’évolution de m.
~
2. À l’instant initial, le moment dipolaire magnétique fait un angle α connu avec
le champ magnétique extérieur. Décrire le mouvement observé.
3. Que peut-on dire de l’énergie potentielle d’interaction entre le moment dipolaire et le champ magnétique au cours de ce mouvement ?
On rappelle la masse de l’électron me = 9, 1.10−31 kg.
4. Quel système mécanique macroscopique décrit un mouvement identique dans
le champ de pesanteur uniforme ?
1. Rappeler la signification de l’intensité d’un courant électrique, quelle définition
peut-on adopter pour l’intensité moyenne I ? Préciser son orientation.
5. Comment peut-on lever ce paradoxe : la boussole s’aligne sur le champ magnétique, alors que la particule maintient un angle constant ?
2. En déduire une expression du moment magnétique du système en fonction de
e, du rayon a et de ω. Préciser son sens.
3. Quel est par ailleurs le moment cinétique orbital, exprimé au centre du système
(noyau fixe en O) ?
4. Vérifier qu’il y a proportionnalité du moment magnétique et du moment cinétique, que dire de leurs sens ?
5. Que remarque-t-on sur le coefficient de proportionnalité (cette propriété est
très générale : toute particule présente un moment cinétique propre et un moment magnétique qui sont proportionnels) ? Quel ordre de grandeur proposer
pour le moment dipolaire de l’atome d’hydrogène, sachant que le moment
h
cinétique orbital est de l’ordre de ~ =
= 1, 05.10−34 Js−1 ?
2π
8. Précession de particules dans un champ magnétique
L’exercice précédent a permis d’entrevoir le lien de proportionnalité existant entre
le moment cinétique propre ~σ0 d’une particule et son moment magnétique propre :
m
~ = γ~σ0 . On désire décrire une propriété singulière d’une telle particule, lors~ (les
qu’elle est plongée dans un champ magnétique uniforme et stationnaire B
applications de ce phénomène sont multiples : imagerie médicale par RMN, définition de référence de temps . . .).
TD 06 Champ magnétostatique
Lycée Buffon - MP* 2016-2017
3
Éléments de réponse
2ρωR3
1. ~j = ρ~v (P ) = ρωr sin θ~eϕ et I =
.
3
2. Dans le cas de deux fils infinis parallèles, les champs magnétiques sont de sens
opposés entre les deux fils, ce qui conduit à l’apparition d’un point de champ
d
nul, à la distance des deux fils.
2
µ0 N I
a
a
a
a
~
3. B(M
)=
~eθ pour R − < r < R + et − < z < .
2πr 
2
2
2
2
a
µ0 N Ia  R + 2 
ln
Φ=
a .
2π
R−
2
µ
−
−
−
→
0
~
4. B(M
) = ~j ∧ O1 O2 .
2

µ0 I


eθ si r < a1

2 r~

2πa

1
~ = µ0 I
5. B
~eθ
si a1 < r < a2


2πr


~0
si r > a2
a2
µ0 Ih
ln
Φ=
2π
a1
1
ΓΛ = µ0 ε0 = 2 , constant.
c
−
→

0
pour r < R2



2
2

µ 0 I r − R2
→
−
~uθ pour R2 < r < R1
6. B (M ) =
2πr R12 − R22




 µ0 I ~u
pour R1 < r < R0
θ
2πr
p
µ0 I 2
B(R1 )2
;T =
= 58.106 K
p(r < R2 ) ≃ 2 2 =
2µ0
2N kB
8π R1
eω
, circulant en sens contraire des électrons.
7. I =
2π
e
m
~ =−
~σ .
2me
e~
≃ 9.10−24 Am2
Le moment magnétique est de l’ordre de
2m
TD 06 Champ magnétostatique
dm
~
~
= γm
~ ∧B
dt
~ on en déduit que
On décompose m
~ =m
~ k +m
~ ⊥ . En projection sur l’axe de B,
m
~ k est constant. D’autre part, m
~ ⊥ tourne à vitesse constante autour de l’axe
~
~ et de demi-angle au sommet α
de B. Finalement m
~ décrit un cône d’axe B
(comme une toupie).
8. D’après le théorème du moment cinétique :
Lycée Buffon - MP* 2016-2017
4