trigonometrie - ecole d`echecs de bagneux

Pour ceux qui ont des difficultés je mets la solution ci-dessous,
mais cherchez un peu avant d’aller voir !!!!
L’ESSENTIEL
Au Collège la trigonométrie se définit dans le cadre des triangles rectangles.
Attention : merci de rajouter les « chapeaux » sur le nom des angles !
Attention à l’orthographe du mot « hypoténuse » !!!!!
Dans un triangle ABC rectangle en A on définit « cosinus, sinus, et tangente »
de l’angle aigu BAC par exemple, appelé ici angle C :
cos C = longueur du côté adjacent / longueur de l’hypoténuse =
CA
CB
sin C = longueur du côté opposé / longueur de l’hypoténuse
=
AB
CB
tan C = longueur du côté opposé / longueur de l’hypoténuse
=
AB
AC
Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont des nombres compris entre 0 et 1.
Lorsque deux angles sont complémentaires le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre :
sin ( 90 – C) = cos C
et
cos (90 – C) = sin C
cos² C + sin² C = 1
tan C =
cos 0 = 1
cos 90 = 0
sin C
cos C
sin 0 = 0
sin 90 = 1
tan 0 = 0
tan 90 non définie
Exercice 1 :
Calculer le cos, sin, tan des angles de 30 degrés, 60 degrés, et 45 degrés.
Exercice 2 :
(d’après Brevet Antilles 96)
Soit ABC un triangle isocèle de base BC = 8 cm
AH hauteur de 7 cm
Calculer l’angle ABC à un degré près.
Exercice 3:
Soit le triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 5 cm et angle ABC = 35°.
Calculer AC à 0,1 cm près.
Exercice 4 :
(Brevet Clermont Ferrand 99)
Soit LMN triangle rectangle en M, et MH une hauteur tel que en cm ML = 2,4 LN = 6,4
1) Calculer la valeur exacte de cos MLN (sous forme d’une fraction irréductible)
2) Calculer LH (sous forme décimale) sans calculer la valeur de l’angle.
Exercice 5 :
(d’après Brevet Grenoble 97)
Soit ABC triangle rectangle en A tel que AB = 3,6 cm BC = 6 cm
1) calculer l’angle ACB au degré près
2) calculer AC, en déduire l’aire du triangle ABC
3) soit H la projection orthogonale de A sur (BC), calculer AH
Exercice 6 :
(d’après Brevet Nancy-Metz 2000)
Soit un cercle de centre O et de rayon 3 cm.
On place sur le cercle trois points A, B, C tels que : BC = 4 cm angle BCA = 65°
Soit F le point diamétralement opposé à B
Calculer l’angle BFC à un degré près.
Exercice 1 :
Soit ABC un triangle équilatéral de côté a, AH sa hauteur-médiatrice-bissectrice.
Le demi triangle équilatéral AHC rectangle en H possède un angle de 30 degrés, et un
angle de 60 degrés.
AC = a
HC = a / 2
AH = a 3 / 2 (formule donnant la longueur de la
hauteur)
En appliquant les formules de définition on trouve alors :
sin 30 = ½
cos 30 = 3 / 2
tan 30 = 1 / 3
cos 60 = ½
sin 60 = 3 / 2
tan 60 = 3
De même en considèrant un triangle restangle en A isocèle AB = AC = a
on sait que BC = a 2 (diagonale du carré) on trouve :
sin 45 = cos 45 =
2 / 2 tan 45 = 1
Remarque: un excellent entraînement au calcul algébrique est de vérifier les formules
par exemple cos² 30 + sin² 30 = 1
Exercice 2 :
La hauteur d’un triangle isocèle est aussi médiane BH = 4 cm
tan ABC = 7 / 4
angle ABC ~ 60°
Exercice 3 :
tan B = AC / AB d’où AC = 5 x tan 3
~ 3,5 cm
Exercice 4 :
1) cos MLN = 2,4 / 6,4 = 24 / 64 = 3 / 8
2) cos MLN = cos MLH = LH / LM 3 / 8 = LH / 2,4
LH = 0,9 cm
Exercice 5 :
1) sin ACB = 3,6 / 6
angle ACB ~ 37 °
2) Pythagore donne AC² = 6² - 3,6² AC = 4,8 cm
aire ABC = 3,6 x 4,8 / 2 = 8,
64 cm²
3) aire ABC = 8 ,64 = ½ AH x BC AH = 8,64 x 2 / 6 = 2,88 cm
Exercice 6 :
l’angle BCF inscrit intercepte un diamètre du cercle , il est donc droit
sin BFC = BC / BF = 4 / 6
angle BFC ~ 42°