Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T.P. De la loi binomiale à la loi normale centrée réduite.
L'objectif de ce T.P. est d'approcher n'importe quelle loi binomiale par une même loi à densité.
Une aide pour le tableur est donnée à la fin du document
On admet (vu en 1ère) l'effet d'une transformation affine sur l'espérance et l'écart-type d'une variable aléatoire Y = aX + b.
Pour tous réels a et b :
E(aX + b) = a E(X) + b
et
(aX + b) = a (X)
I) Préliminaires.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n ; p). Compléter par les résultats vus en classe :
l'espérance de X = E(X) = . . . . . et l'écart-type de X = (X) = . . . . . . . . . . . .
1) Graphique de la loi de probabilité de X.
Ouvrir le fichier Excel. Les valeurs de n et p peuvent être modifiées dans les cellules B2 et B3. On se limitera à des
valeurs de n comprises entre 0 et 200.
Ainsi, les valeurs prises par X, notée k, sont 0 ; 1 ; 2 ; 3 … ; n.
Compléter les cellules E2 et E3 par les formules permettant de calculer E(X) et (X).
Saisir en B6 une formule recopiable permettant de calculer p(X=k), avec en B6, k = 0. Copier la jusqu'en B206.
Sélectionner les cellules B5 à B206 et créer le graphique en barres de la loi de probabilité de X. Pour que les
abscisses commencent à 0, il faut cliquer sur le graphique, puis sur sélectionner les données, et modifier les
étiquettes des abscisses qui sont de A6 à A206.
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2) Passage à une loi continue.
Pour passer d'une loi discrète à une loi continue, on assimile
le diagramme en barres à un histogramme. Ainsi, chacune
des barres est remplacée par un rectangle. Les probabilités
sont alors données par les aires de ces rectangles.
Quelle est la largeur l de ces rectangles ? . . . . . . . .
Pour une valeur fixée de k, quelle est la hauteur de du
rectangle ? . . . . . .
l
l
Justifier que les probabilités sont alors inchangées, lorsqu'on
passe du diagramme en barre à l'histogramme.
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II) Centrage de la variable aléatoire.
On s'intéresse à la variable aléatoire Y, telle que Y = X - E(X).
Ainsi à chaque valeur k (variant de 0 à n) de X, on associe une valeur k' de Y.
Exprimer alors k' en fonction de k, n et p : . . . . . . . . . . . . . .
En déduire, en fonction de n et p, les valeurs successives de k' ? . . . . . ; . . . . . ; . . . . . ; jusqu'à
;......
Avec l'aide fournie au début de l'énoncé, calculer E(Y) et (Y) en fonction de E(X) et (X).
E(Y) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
et (Y) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Saisir en D6 une formule recopiable vers le bas permettant de calculer les valeurs notées k' de la variable aléatoire Y,
puis la copier jusqu'en D206.
De la même manière que pour X, le diagramme en barre de Y peut être remplacé par un histogramme dont l'aire de
chaque rectangle représente la probabilité p(Y = k').
Quel est alors la largeur des rectangles de l'histogramme de Y ? . . . . .
Expliquer alors pourquoi p(Y = k') = p(X = k). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Saisir en E6 une formule recopiable jusqu'en E206, telle que p(Y = k') = p(X = k).
Pour pouvoir comparer les représentations graphiques des deux lois de probabilité de X et de Y :
 Effectuer un clic droit sur le graphique et modifier le type de graphique en un nuage de points avec marqueurs
uniquement. Nous n'avons plus alors que les sommets des barres.
 Effectuer un clic droit sur le graphique, puis Sélectionner des données et Ajouter, puis compléter les champs.
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A chaque courbe de X, correspond donc une courbe de Y. Même lorsque n et p varient, que constate-t-on pour la courbe
de Y ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III) Réduction de la variable aléatoire.
Soit une troisième variable aléatoire Z telle que Z = Error! .
Exprimer Z en fonction de la variable aléatoire X :
Z=.................................
Ainsi à chaque valeur k de X on associe une valeur k' de Y, puis on associe une valeur k'' de Z.
Exprimer k'' en fonction de k', n et p. Puis, exprimer k'' en fonction de k, n et p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quelles sont, en fonction de n et p, les valeurs prises de k" ? . . . . . . . . ; . . . . . . . . ; . . . . . . . . ; jusqu'à
;........
Calculer E(Z) et (Z) en fonction de E(Y) et (Y).
E(Z) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
et (Z) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ces résultats dépendent-ils des valeurs des paramètres n et p de la loi binomiale B(n ; p) ? . . . . . . . . .
Saisir en G6 une formule recopiable vers le bas permettant de calculer les valeurs notées k'' de la variable aléatoire Z,
puis la copier jusqu'en G206.
De la même manière que pour X et Y, le diagramme en barre de Y peut être remplacé par un histogramme dont l'aire de
chaque rectangle représente la probabilité p(Z = k'').
A partir des deux premières valeurs de k", déduire la largeur des rectangles de l'histogramme de Z ? . . . . . . . . . . . .
Quel doit alors être la hauteur de ces rectangles pour conserver les mêmes probabilités ? Justifier.
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Saisir en H6 une formule recopiable jusqu'en H206, pour que la hauteur des rectangles soit correcte.
Créer sur le graphique existant le graphique de Z de la même manière que pour Y.
Par un clic droit sur l'axe des ordonnées, puis "Mise en forme de l'axe", fixer le mini à 0 et le maxi à 0,45.
Faire varier les valeurs de n et de p, et commenter l'effet sur la courbe de Z.
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IV) Loi de densité associée à Z.
-
Dans la colonne J créer les images des valeurs de k'' par la fonction x ⟼ Error! e
Ajouter alors la représentation graphique de cette fonction sur le même graphique.
x2
2
.
En conclusion, par quelle loi continue peut-on approcher une loi binomiale B(n ; p) ?
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Aide sur Excel :
 La fonction racine carrée s'écrit "RACINE(expression)".
 La fonction permettant de calculer p(X=k) est :
"=LOI.BINOMIALE(valeur de k;valeur de n;valeur de p;FAUX)"
 La fonction exponentielle s'écrit "EXP(expression)".
 Le nombre  s'écrit "PI()".