Correction : le saut de la grenouille

Correction : le saut de la grenouille
1. Exploitation du document
a.
G8G10 = 2,9 cm et G10G12 = 3,2 cm d'où :
G8G10 (2,9.102  2)

 1,5m.s 1
v9 =
3
2
(2  20.10 )
G10G12 (3,2.10 2  2)

 1,6m.s 1
v11 =
3
2
(2  20.10 )
voir le tracé des vecteurs sur le graphe en fin de corrigé.

b. voir le tracé de V sur le graphe en fin de corrigé.
Le graphe donne pour v une longueur de 0,8 cm ce qui correspond à 0,4 m.s-1 .
0,4
V
c. a10 =
=
= 10 m.s-2
40.10  3
2

d'après l'échelle, a10 doit être représenté par un vecteur de longueur 2 cm.
voir le tracé du vecteur accélération sur le graphe en fin de corrigé
2. Etude dynamique du mouvement
a. La grenouille n'est soumise qu'à son poids, force verticale descendante.
Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, l'application de la deuxième loi de
Newton à la grenouille donne :


P  ma
Le vecteur accélération


mg  ma
 
ag

a est vertical descendant, de valeur égale à g = 10m.s-2.
 
Projetons la relation précédente dans le repère ( O, i , j ) :
ax = g x = 0
ay = gy = - g
dv x
ax =
=0
dt
donc vx = constante = v0x = v0.cos 0
dv y
ay =
dt = - g donc vy = - g.t + constante = - g.t + v0y = - g.t + v0.sin 0
x0 = 0 m
y0 = 0 m
dx
vx =
= v0.cos 0
dt
d'où x = (v0.cos 0).t + constante = (v0.cos 0).t + x0 = (v0.cos 0).t
dy
vy =
= - g.t + v0.sin 0
dt
d'où y = -
1
1
g.t2 + (v0.sin 0).t + constante = - g.t2 + (v0.sin 0).t + y0
2
2
x = (v0.cos 0).t et
y=-
1
g.t2 + (v0.sin 0).t
2
b. éliminons le temps pour trouver l'équation de la trajectoire :
t=
x
v0 . cos  0
y=-
1
g.[
2
x
x
]2 + [ v0 .sin 0].
v0 . cos  0
v0 . cos  0
1
x2
y   .g .
 x. tan  0
2 (v0 . cos 0 )2
la trajectoire est donc une parabole d'axe parallèle à Oy. Ceci est conforme à la
trajectoire de l'enregistrement expérimental.
c. Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire. Or, au sommet S de la
trajectoire, la courbe présente une tangente horizontale. En ce point, la
composante verticale du vecteur vitesse, qui avait tendance à faire monter la
grenouille, s'annule. Le vecteur vitesse est donc horizontal.
vy S = - g.tS + v0.sin 0 = 0
d'où tS =
v0 .sin  0
g
Au sommet S, yS = HS.
1
2
HS = - g.(
HS = -
1
g.tS2 + (v0.sin 0).tS
2
v0 .sin  0 2
v0 .sin  0
) + v0.sin 0.(
)
g
g
v 0 . sin  0
1 v 0 . sin  0
=- (
) +
g
g
2
2
2
2
2
v 02 . sin  02 4.(sin 45) 2

 0,1m
HS =
2g
20
d.
Soit d la distance entre les deux nénuphars limitant le saut.
Au niveau du second nénuphar, x = d et y = 0.
D'après l'équation de la trajectoire :
1
x2
y   .g .
 x. tan  0
2 (v0 . cos 0 )2
1
d2
soit 0 = - g.
 d . tan  0
2
(v0 . cos 0 )2
ou encore : -
d
1
 tan  0  0
g.
(v0 . cos 0 ) 2
2
(2v02 .sin  0 . cos  0 )
d'où : d =
g
v0 =
dg
(2 sin  0 cos  0 ) =
(Voir graphe ci-dessous)
(0,60  10)
= 2,45 m.s-1
(2 sin 45 cos 45)