Nombres relatifs en écriture fractionnaire

Chapitre 3 : Nombres en écriture fractionnaire
1- Egalité de quotients
a) Propriété des quotients égaux
Propriété(admise) :On ne change pas le quotient de deux nombres relatifs en multipliant
ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre relatif non nul.
a, b et k désignent des nombres relatifs, b = 0 et k = 0.
On a :
a ak
a ak

et 
b bk
b bk
Exemples :
7


5
18


27
 24


 18
Propriété
a et b désignent des nombres relatifs avec b  0 .
a
a
a
a a

  et

On a :
b b
b
b
b
Exemples : 
8

3


7

5
b) Egalité des produits en croix
Propriétés : a, b, c et d désignent des nombres relatifs, avec b  0 et d  0
a c
 , alors a  d  b  c
 Si
b d
a c
 Si a  d  b  c alors 
b d
3,1 5,1
et
Exemple : On veut savoir si les quotients
sont égaux.
14 21
3,1  21 
14  5,1 
. On constate que
.
Donc
2- Addition et soustraction.
a) Les dénominateurs sont égaux
Propriétés(admises)
a, b, c désignent des nombres relatifs, avec b  0 .
Pour additionner deux nombres relatifs en écriture fractionnaire de même dénominateur :
 On garde le dénominateur commun
 On additionne les numérateurs
a c ac
 
b b
b
Pour soustraire deux nombres relatifs en écriture fractionnaire de même dénominateur :
 On garde le dénominateur commun
 On soustrait les numérateurs
a c ac
 
b b
b
Exemples :
2 8
 
5 5
1,3 2,5



7
7

b) Les dénominateurs sont différents
METHODE : Pour additionner ou soustraire deux nombres relatifs en écriture
fractionnaire de dénominateurs différents, on commence par les mettre au même
dénominateur.
Exemples :
A
A
A
A
A
A
4 7

3 15
 45 7

3  5 15
 20 7

15 15
 20  7
15
 13
15
4 7

3 15
B
5 9

4 7
C
5 9

6 2
3 – Multiplication
Propriété : Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire :



On détermine le signe du produit
On multiplie les numérateurs entre eux
On multiplie les dénominateurs entre eux
a, b, c et d désignent des nombres relatifs avec b  0 et d  0.
a c ac
 
b d bd
Produit des numérateurs
Produit des dénominateurs
Remarque : Pour déterminer le signe d’un produit de nombres relatifs en écriture
fractionnaire, on utilise la « règle des signes » étudiée au chapitre 2.
Exemples :
D
5 8

3 7
E
2,3 (2)

5 9
F  5 
8
9
Conseil : Pour multiplier des nombres relatifs en écriture fractionnaire, il est préférable de
déterminer le signe du produit en comptant les signes négatifs) et de simplifier avant de
multiplier.
Exemple :
 5  12
5 12
5 4 3
3
3





16  25
16  25
4 4 5 5
45
20
4 - Division
a) Inverse d’un nombre non nul
Définition : L’inverse d’un nombre relatif a non nul est le nombre qui multiplié par a donne 1
Exemples :
 -25 x (-0,04) = 1. Donc -25 est l’inverse de -0,04 et -0,04 est l’inverse de -25.
 5 x 0,2 = 1. Donc 5 et 0,2 sont deux nombres inverses.
! Attention le nombre 0 n’a pas d’inverse.
Propriété : a désigne un nombre relatif, avec a0.
1
L’inverse du nombre a est le nombre .
a
1
Ainsi a   1
a
Exemple : L’inverse du nombre -5 est le nombre
1
1
, c’est à dire  .
5
5
Propriété : a et b désignent deux nombres relatifs, avec a  0 et b  0.
a
b
L’inverse du nombre
est le nombre .
b
a
Exemple : L’inverse du nombre
2,5
3
est le nombre
.
3
2,5
b)Quotient de deux nombres relatifs
Propriétés : Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.
1
b
a et b désignent des nombres relatifs, avec b  0. On a
a b  a
a, b, c et d désignent des nombres relatifs non nuls . On a
a c a d
  
b d b c
Exemples :


1
2
 3   6
2
1
4 5 4 3 4  3 12
   

7 3 7 5 7  5 35
 3  0,5  3 
Conseils :
Ne pas confondre l’inverse d’un nombre et l’opposé d’un nombre
Exemple : Le nombre 3 a pour opposé -3 et pour inverse
a
b  a  c  ad
c b d b c
d
2
2 7 2 5
25
10
Exemple : 3 
 
 

7
3 5
3 7
3 7
21
5
1
.
3