Méthode des différences finies

GCI 400 – Mécanique des fluides et thermodynamique
Résolution d’une équation différentielle
par la méthode des différences finies
Problème de la chute libre d’un corps
F  ma  m
dV
dt
Appliquons cette équation à la chute libre d’un corps de masse m, avec y positif vers le
bas. Les seules forces en présence selon l’axe des Y sont le poids et la résistance de l’air :
mg  Fd  ma  m
F
dV mg  Fd
dV
ou

g d
dt
dt
m
m
En négligeant la force de traînée Fd (drag force), on obtient :
dV
g
dt
V
V2
V1
t
t1
Bertrand Côté
t2
1
Université de Sherbrooke
GCI 400 – Mécanique des fluides et thermodynamique
Cette équation peut être ré-écrite comme suit :
dV  gdt
ou comme suit en différences finies :
V2  V1  g (t 2  t1 )
ou encore :
V2  V1  g (t 2  t1 )
Connaissant V1 à t1 , on peut calculer V2 à t2 et poursuivre en substituant 2 pour 1, et ce,
ad nauseam. Il suffit de connaître les conditions initiales pour amorcer les calculs à la
première ligne d’un tableur.
Note : cette façon d’intégrer est la plus simple possible (méthode d’Euler) et elle donne
de bons résultats par rapport à la solution exacte si le pas de temps choisi est assez petit.
En effet, elle repose sur l’hypothèse que la vitesse V1 se maintient pendant le t (= t2 - t1).
Exemple
Calculer la vitesse d’un corps en chute libre, avec un pas de temps de 1 seconde, en
négligeant la force de traînée et en supposant une vitesse initiale égale à zéro.
m
dt
g
1
1
9.81
t
(s)
0
1
2
3
4
5
kg
sec
m/s2
V
(m/s)
0.0
9.8
19.6
29.4
39.2
49.1
Fd
(N)
0
0
0
0
0
0
dV/dt
(m/s2)
9.81
9.81
9.81
9.81
9.81
9.81
S
(m)
0.0
4.9
19.6
44.1
78.5
122.6
Devoir (remise avant 16h00 le 15 septembre 2006)
Partie 1
A. Calculez d’abord, à l’aide de l’équation de Newton (F = ma), la vitesse terminale de
chute d’un corps humain de taille moyenne tombant :
a) en position horizontale
Bertrand Côté
2
Université de Sherbrooke
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b) en position verticale
B. Avec Excel, calculez (par la méthode des différences finies) la vitesse de chute d’un
corps humain de taille moyenne tombant :
a) en position horizontale
b) en position verticale
en supposant une vitesse initiale égale à zéro. Calculez également l’altitude Z à chaque
pas de temps.
o Vos calculs doivent tenir compte de la force de traînée et de la variation de la
masse volumique de l’air.
o Posez comme hypothèse de départ que la victime tombe d’une altitude initiale de
1500 m.
o Générez des graphiques montrant la variation de la vitesse en fonction de
l’altitude et en fonction du temps. Prenez un pas de temps de 1 seconde.
o Discutez des différences entre les 2 simulations.
Force de traînée : Fd  Cd
1
1
V 2 Aprojection  (Cd Aprojection) V 2
2
2
où Cd est le coefficient de traînée (adimensionnel),  est la masse volumique du fluide
(air), V la vitesse de déplacement de l’objet dans le fluide et Aprojection est la section
frontale (section en travers projetée de l’objet) offrant résistance au mouvement.
Note : équipes de TROIS.
Lecture essentielle :
Qu’est ce que la masse volumique  (kg/m3) : page 17
Comment, en réalité, la masse volumique de l’air diminue-t-elle avec l’altitude ? Voir
table A.6
Qu’est-ce que le « drag » que nous dénoterons « force de trainée Fd » (Newtons) dans le
cadre de ce cours : pp. 476-478
Comment évaluer CdA pour un corps humain moyen qui tombe en position verticale et en
position horizontale (attention!) : table 7.3. Attention, vous devez faire la conversion
d’unités.
Rapport
Dactylographié avec : page titre - équations utilisées - chiffrier imprimé - vos calculs de
vitesse terminale pour les 2 positions - des graphiques "qui parlent" - éléments demandés
plus haut.
Bertrand Côté
3
Université de Sherbrooke