I) Forme algébrique d`un nombre complexe

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NOMBRES COMPLEXES
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Introduction à un nouvel ensemble de nombres, nombres « inventés » pour pouvoir
résoudre des équations insolubles alors. La représentation graphique de ces nombres est
également très utile pour résoudre des problèmes en physique (électricité).
I) Forme algébrique d’un nombre complexe
1) définition
Un nombre complexe, noté z, est de la forme z = a + ib où :
- a est un réel appelé partie réelle , notée Re(z)
- b est un réel appelé partie imaginaire, notée Im(z)
- i le nombre tel que i² = -1
L’ensemble des complexes est noté C
Si b = 0, z = a : z est un réel
Si a = 0, z = ib : z est un imaginaire pur.
Remarques :
- l’ensemble |R des réels fait partie de l’ensemble des nombres complexes
- C est le plus grand ensemble que l’on connaisse maintenant
- il n’y a pas d’ordre dans C.
2) égalité de 2 complexes
soit z = a + i b et z’ = a’ + i b’
z = z’ équivaut à : ………………………………………………………
En particulier :
z = 0 équivaut à ………………………………………………………
3) conjugué
soit z = a + i b alors on appelle conjugué de z noté z, le nombre complexe tel que
z = …………………………………
Le conjugué est notamment utile dans la simplification de quotients.
4) somme de 2 complexes
soit z = a + i b et z’ = a’ + i b’
alors z + z’ = ………………………………………………………………………………………………………………
en particulier :
z + z = ………………………………………………………
z – z = ………………………………………………………
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5) produit de 2 complexes
soit z = a + i b et z’ = a’ + i b’
alors z.z’ =
(attention : i² = -1)
En particulier : z . z = ………………………………………………………
6) inverse d’un complexe
on multiplie le dénominateur par son conjugué.
7) quotient de 2 complexes
soit z = a + i b et z’ = a’ + i b’
On multiplie z’ par son conjugué pour faire disparaître les imaginaires du
dénominateurs.
On développe ensuite le numérateur que l’on réduit pour mettre sous la forme
A + iB.
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II) Représentation graphique dans le plan complexe
1) plan complexe
On considère le plan complexe, muni d’un repère orthonormé (O,u,v) , (pour ne
pas confondre le vecteur i avec le nombre imaginaire i).
2) affixe et image
A tout nombre complexe z = a + ib , on associe un point M du plan complexe tel
que M(a,b), et OM (a,b).
- z est appelé affixe du point M ou du vecteur OM
- M est le point image du complexe z, OM le vecteur image du complexe z
3) image du conjugué
Le conjugué de z a pour image le point M’(a ; -b), symétrique de M par rapport à
(Ox).
4) somme vectorielle
Soit M(x ;y) et M’(x’ ;y’) d’affixes respectives z = x + iy et z’ = x’ + iy’
Les coordonnées de OM + OM’ sont : ………………………………………………………………….
Donc OM + OM’ a pour affixe ………………………………………………………………….
Les coordonnées de MM’ sont :
D’où MM’ a pour affixe ………………………………………………………………….
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III) Forme trigonométrique d’un nombre complexe
1) autre repérage d’un point M du plan complexe
Soit z = a + ib un nombre complexe non nul et M son image dans le plan complexe
repéré par ses coordonnées cartésiennes d’abscisse a et d’ordonnée b.
On peut également repérer le point M par
2) module
On appelle module de z, noté |z|, ou Þ la distance OM
  z  a ²  b²
Le module est bien entendu positif ou nul.
3) argument
On appelle argument de z, noté Arg z, une mesure θ de l’angle (u, OM)
L’argument de z qui appartient à [-π ; π] est l’argument principal ;
tous les autres sont de la forme θ + 2k π où k appartient à Z.
Arg z = θ = (u, OM)
On a :
cos  
sin  
a

b

Ces 2 relations permettent à l’aide du cercle trigonométrique, de déterminer la
mesure principale de (u,OM). Attention : il faut calculer les 2 ; à une valeur du
cosinus correspondent 2 mesures opposées : le signe du sinus permet de
conclure.
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4) forme trigonométrique
On en déduit que :
a   . cos 
b   . sin 
d ' où
z  a  ib   (cos   i sin  )
appelée forme trigonométrique de z,
avec le module réel positif ou nul et l’argument réel exprimé en radians.
Propriété sur le conjugué
|z| =
arg z =
5) égalités de complexes
z = z’ équivaut, sous forme trigonométrique à :
6) calculs sous forme trigonométrique
démonstrations en exercices
soit :
z   .[cos   i sin  ]
z '   '.[cos 'i sin  ' ]
alors :
z.z '   . '[cos(   ' )  i sin(    ' )]
1 1
 .[cos(  )  i sin(  )]
z 
z 
 .[cos(   ' )  i sin(    ' )]
z'  '
z n   n .[cos( n )  i sin( n )]
7) formule de Moivre
pour n entier naturel, dans le cas où le module vaut 1, alors :
zn =
Applications :
Calculs de produits, quotients, puissances entières après passage sous forme
trigo de chaque facteur.
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IV) calculs de distances et d’angles dans le plan complexe
1) distance à l’origine
 distance à l’origine
OM = |z|
 distance entre 2 points A et B
AB = | zB – zA |
2) angles
 angle entre un vecteur d’origine O et le vecteur unitaire u
( u , OM ) =
 angle entre un vecteur AB et le vecteur unitaire u
( u , AB ) =
 angle entre 2 vecteurs de même origine O
( OA, OB ) =
 angle entre 2 vecteurs de même origine A
( AB , AC ) =
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