Transformation de Laplace

Transformation de Laplace
I Définition
Soit f une fonction de la variable réelle t, définie sur R et supposée nulle pour t négatif ( fonction causale)
On appelle transformée de Laplace de f, la fonction F définie par:
Où p est une variable complexe.
On écrit :
F(p) = L [f(t)]
f(t) = L–1 [F(p)]
La transformée de Laplace d'une fonction n'existe que si l'intégrale est convergente, pour cela on est amené à imposer
à f deux conditions :


être continue par morceaux sur tout fermé [0 ; x0 ]
être "d'ordre exponentiel à l'infini", c'est à dire qu'il existe M>0 et a tels que |f(t)|<Mea .t pour t > X.
On démontre que si les hypothèses précédentes sont vérifiées, la transformée de Laplace est définie pour p>a , ou
si p est complexe, pour R(p) > a .
Le domaine de convergence de F(p) est ] a ;+ [ (a R) ou encore, le ½ plan complexe R (p) > a (p C).
Par la suite on considérera en général que R(p) > 0.
II Transformée de fonctions élémentaires
II-1 Fonction échelon unité (fonction d'Heaviside) U(t)
Si R (p)>0 alors
ce qui implique
L(U (t )) 
1
p
II-2 Fonction impulsion unité (Distribution de Dirac)
Remarque:  , on a
.
Si  tend vers 0, la distribution de Dirac qui n'est pas une fonction sert à
représenter en physique une action s'exerçant sur un instant très court (impulsion)
avec R (p)>0 ,
l'Hospital)
(on utilise les développements limités ou la règle de
II-3 Fonction puissance
( n  N ).
Calculons donc
Posons le changement de variables :
(le premier crochet est nul si R(p)>0 )
D'où
;
;
; ... ... ...
( n  N)
II-4 Fonction exponentielle
Si R (p + a) > 0 alors,
, d'où
( R(p) > –R (a) )
III Propriétés
III-1 Linéarité
 a et  b C et L[f(t)] = F(p) et L[g(t)] = G(p)
L[a .f(t) + b.g(t)] = a . F(p) + b. G(p)
Exemple : Transformée de Laplace de cos (w t.U(t)) et sin(wt.U(t))
d'où
De même pour sin(wt) :
III-2 Règle de similitude (Changement d'échelle)
Soit g(t) = f(at) ( a>0 )
On pose alors le changement de variables :
III-3 Règle de translation en p:
Exemple:
Exemple : Retrouver l’original de
1
p²  2 p  5
III-4 Règle de translation en t ou théorème du retard
On pose g(t)=f(t-t0)U(t-t0)
On pose u = t – t0 et du = dt
est appelé facteur retard
Exemple: Image d'un créneau entre 0 et t0 .
f(t) = f1(t) + f2(t) = U(t) – U(t – t 0)
, d'où
Exemple : retrouver l’original de F(p)= e 2 p
1
p²
Application: Transformée d'une fonction périodique.
Soit une fonction f(t) périodique de période T, on définit
afin de pouvoir écrire
Si G(p) est la transformée de Laplace de g(t), alors F(p) la transformée de f(t) s’écrit
Exemple : Train d’impulsion de hauteur A, de largeur
, de période T
Il suffit de connaître la transformée de F0(p) de la fonction f0 qui coïncide avec f sur [ 0 ; T ].
III-5 Transformée de la dérivée.
Si f(t) est continue, alors
évidente à partir de la définition.
Plus généralement, si f(t) est discontinue aux points
où
; la démonstration est
Les expressions ci-dessus se généralisent aux dérivées " d’ordre n " et, en particulier, si la fonction f(t) et ses dérivées
sont continues, on obtient :
Exemple :
soit
"Dériver c'est multiplier par p"
Cette propriété, qui fait la richesse de la transformée de Laplace sera largement utilisée dans les équations
différentielles : On cherche à résoudre :
avec les conditions initiales
et
On note :
Le tableau de transformées de Laplace donne : L( (t )) 
2
p²  4
L'équation devient : p ² F ( p )  pf (0)  f '(0)  4F ( p ) 
2
p²  4
On en déduit : F ( p) 
2
( p ²  4)²
Il s'agit maintenant de retrouver la fonction , c'est-à-dire d'appliquer la transformation de Laplace inverse. Dans ce
cas, la fonction
est une fonction rationnelle qu'il suffit de décomposer en éléments simples. La lecture
inverse du tableau de transformées de Laplace fournira alors la valeur de
1
1
1
1
2
1 1
1
1
1
8
8
 16i  16i 


 (

)
( p ²  4)² p  2i p  2i ( p  2i )² ( p  2i )² 4 p ²  4 8 ( p  2i )² ( p  2i )²
Toutes ces différentes fractions figurent dans la colonne de droite du tableau de transformées de Laplace et permettent
de retrouver
:
Remarque importante :
Théorème de la valeur initiale:
Théorème de la valeur finale:
III-6 Transformée de la primitive
t
Soit h(t ) 
 f (u)du , on a h '(t )  f (t ) ; on pose H ( p)  L(h(t )) et F ( p)  L( f (t ))
0
On obtient : L(h '(t ))  pH ( p )  h(0 )  pH ( p)  L( f (t ))  F ( p ) D’où le résultat H ( p ) 
En généralisant, on obtient :
"Intégrer c'est diviser par p"
Exemple :
Exemple : Retrouver l’original de F(p) 
1
p( p ²  16)
F ( p)
p
FORMULAIRE :