TRANSFORMEE EN Z
I.
Définition :
Soit une suite
la relation :
la transformation en Z,
de la suite
est définie par
Si la suite
provient de l’échantillonnage à la période Te d’un signal continu, la
transformée en Z est obtenue à partir de la transformée de Laplace
du signal
échantillonné
en posant :
II.
Propriétés de la transformée en Z
Linéarité
Translation temporelle
Changement d’échelle
Multiplication par k
Convolution
Théorème de la valeur initiale
Théorème de la valeur finale
( sous réserve d’existence).
III.
Transformée en Z inverse
1- Consultation de la table
En général, sur la table des transformées en Z, figure
présenter le résultat sous la forme
et non pas
.Il faut toujours
Exemple : la transformée en Z inverse de
est la suite des valeurs {
.
et non pas la fonction
2- Division suivant les puissances croissantes de Z
, ……………………………………..
3- Méthode de l’équation aux différences (équation récurrente)
La méthode s’appuie sur la formule :
TZ-1 (z-n .X(z)) = x [(k-n) Te] = x (k-n) n : entier positif
La résolution d’une équation aux différences exige la connaissance des conditions initiales.
Exemple :
Soit la fonction
=
(x
)
On peut écrire :
Y(z) – 0.5 z-1 Y(z) = z-1 X(z).
Donc y(t) – 0.5 y(t-Te) = x(t-Te)
Et pour t = kTe
Y (kTe) = 0.5 y [(k-1) Te] + x (k-1) Te.
Si le système est causal et x(t) est l’échelon unitaire alors :
Y(0)=0 ; y(1) = 1 ; y(2)= 1.5 ; y(3)= 1.75
Rq : Ce calcul peut se programmer très facilement.
4- Méthode des Résidus
x (kTe) =
avec
: sont les pôles de X(z).
n : nombre de pôles.
Rq : Dans le cas ou G(z) =
= X(z).zk-1,ne possède que des pôles simples, soit zi, cette
formule s’écrit :
X (kTe) =
Pour passer de la transformée de Laplace à la transformée en Z :
: Ordre du pôle
Pour calculer de la Transformée en Z inverse:
: Ordre du pôle
5- Décomposition en fractions rationnelles
Cette méthode consiste à décomposer X(z) en éléments simples, dont on trouve la
transformée en Z inverse dans les tables.
