B. Propriétés: Soit un entier n 2

Chapitre 1 – Term S
Divisibilité dans Z
Ce chapitre est un chapitre d’arithmétique qui est l’étude des propriétés des nombres
entiers donc tous les nombres avec lesquels on travaille désormais sont des nombres
entiers.
Rappel :
L’ensemble des nombres entiers naturels est
L’ensemble des nombres entiers relatifs est
IN = { …………………………….. }
Z = { ………………………………}
IN  Z donc toutes les propriétés vraies dans Z sont vraies dans IN
Mais la réciproque est fausse :
Toutes les propriétés vraies dans IN ne sont vraies que pour une partie
de Z donc ne sont pas forcément vraies pour Z
I.
Diviseurs et multiples d’un entier :
A) Définition :
Soient a et b deux nombres entiers relatifs.
On dit que
« b divise a »
lorsqu’il existe un nombre k tel que ……………………………………..
Ceci se note b a
Vocabulaire :
- On dit aussi que a est un ………………………….. de b
- On dit aussi que b est un ………………………….. de a
Notation :
- On note
- On note
D(a)
aZ
l’ ensemble des diviseurs d’un entier relatif non nul a
l’ ensemble des multiples d’un entier relatif non nul.
Exemples :
1
Prouver que –45 est un diviseur de 765.
2
Trouver tous les multiples de 6 qui sont dans I= [-19,3 ; 16]
3
A l’aide de la machine, déterminer D+ (20).
B) Propriétés :
Soient a et b deux nombres entiers relatifs
a  b et b  a  a=b ou a = -b
Dem :

a | b donc b=ka ( avec kZ )
b | a donc a = k’b ( avec k  Z )
donc b= kk’b
donc 1 = kk’
donc k et k’ divisent 1
donc k=1 ou k= -1
donc b= a ou b= -a

a=b ou a=-b
a b
a b
 ou 
a a
a
a
b
b
donc 1 
ou 1 
a
a
donc
donc a divise b
et en faisant la même chose en divisant par b, on a :
a b
a b
 =1 ou 
donc
=1
b b
b
b
donc b divise a
1
Soient a,b et c trois nombres entiers relatifs
i.
ii.
iii.
iv.
Si
Si
Si
Si
ab
ab
ab
ab
alors a divise bc
alors ca divise cb
et a  c alors a  (b + c) ( quels que soient les entiers relatifs  et  )
et b  c alors …………….
Dem :
On dit que deux nombres sont premiers entre eux si ils n’ont aucun
diviseur commun hormis 1.
Exemple :
Montrer que 328 et 299 sont premiers entre eux.
II.
Division euclidienne :
A. La division euclidienne dans N :
57
4
0n dit qu’on a effectué la …………………………………………… de 57 par 4.
Dans cette division , 57 est ……………………… et 4 est ………………………
Le quotient est…………………… et le reste est ……………
En terme d’égalité, ceci revient à dire que : 57 = ………………………………
2
Soient a  IN et b  IN*
Il existe un unique couple (q ; r) d’entiers naturels tels que :
a = ………….……………..
avec ……………………
On dit que q et r sont respectivement le quotient et le reste de la division
euclidienne de a par b
Théorème d’Archimède : (a ;b)IN x IN*,  nIN tel que a < nb
( autrement dit : il existe toujours un multiple de b plus grand que a.
Démonstration :
 existence de q et r :
Soit E={nIN / a < nb}
Cet ensemble n’est pas vide d’après la propriété d’Archimède
donc il existe un plus petit élément k tel que a< kb (propriété vue en activité )
donc k-1  E
donc (k-1)b  a
donc (k-1)b  a < kb
On pose q = k-1
donc k = q+1
donc qb  a <(q+1)b
donc 0  a –qb < (q+1)b – qb
On pose r = a - qb donc 0  r < b
donc il existe bien un réel q et un réel r tels que
 a = qb + r
 0r<b
 unicité de q et r :
Je suppose que
a=q1b + r1 = q2 b +r2 avec
0  r1 < b
et
0  r2 < b
donc -b < -r1  0
et
0  r2 < b
donc -b < r2 – r1 < b
or
r2 – r1 = (a- q2 b) – (a- q1 b) = q1 b - q2 b = b(q1-q2)
donc r2 – r1 = b(q1-q2)
donc r2 – r1 est un multiple de b strictement compris entre –b et b
or le seul multiple de b entre –b et b est 0
donc r2 – r1 = 0
donc r2 = r1 et de même q2 = q1
d’ où l’unicité de q et r
Exemples :
1
Déterminons le quotient et le reste de la division euclidienne de 117 par 23.
2
Le quotient de 394 par un nombre b est 17 et le reste est r.
Trouver toutes les valeurs de b et de r possibles.
B. La division euclidienne dans Z :
Soient a  Z et b  Z *
Il existe un unique couple d’entiers relatifs (q ; r) tels que :
a= bq+r
avec 0  r <  b 
3
Exemples :
1
a) Déterminons le quotient et le reste de la division euclidienne de 37 par – 11
b) Déterminons le quotient et le reste de la division euclidienne de – 37 par 11
c) Déterminons le quotient et le reste de la division euclidienne de – 37 par -11
III.
Congruences :
A. Définition :
Soient a et b deux entiers relatifs et n  IN tel que n  2.
On dit que a et b sont congrus modulo n lorsque les divisions euclidiennes de
a par n et b par n ont le même reste.
« a et b sont congrus modulo n » se dit aussi « a est congru à b modulo n »
et ceci se note a  b (n)
Exemples :
1
2 est congru à 26 modulo 6 car, en partant de 2 en comptant de 6 en 6, on arrive à 26.
2
- 89  ……... (5) car
3
128  100
(……. ) ( éviter modulo 28 )
Remarque : pour tout a  Z, a  ….. (n)
B. Propriétés: Soit un entier n  2
a  b (n)

n  (b - a )
Démonstration :


n |(b-a) donc b-a = nk avec k  Z
donc b = a + nk
or si a=nq+r est la division euclidienne de a par n alors on a 0  r < n
donc b=(nq+r)+nk=n(q+k) + r avec 0  r < n
donc ceci est la division euclidienne de b par n
donc a  b (n) car les deux divisions ont le même reste
Si a  0 (n)  n  a
Démonstration :
Ceci se prouve facilement grâce à la propriété ci-dessus en prenant b=0
4
Soit n’  2 tel que n’  n
Si a  b (n) alors a  b (n’)
Démonstration :
Soit n’ un nombre qui divise n et a  b (n)
donc n | (b-a)
donc b-a = n x k or n = n’ x k’
donc b-a = n’ x k’ x k
donc n’ | (b-a)
donc a  b (n’)
Application :
Trouver plusieurs entiers naturels n
tels que a  b (n)
a b (24) donc …………………………
a  b (42) donc …………………………
Si a  b (n) et b  c (n) alors a  c (n)
Démonstration :
 b (n)
b  c (n)
a
Remarque :
Cette propriété va nous permettre d’enchaîner
de manière un peu abusive des congruences
modulo un même nombre
Exemple :
148  48 (5)  …… (5)
Contre exemple :
Cette propriété ne doit pas entraîner des
erreurs graves du genre :
148  48 (5) et 48  3(9)
donc 148  48 (5)  3(9) >>> FAUX
donc n | (b-a)
donc n | (c-b)
donc n | (c-b)+(b-a)
donc n | (c-a)
donc a
 c (n)
si
alors
alors
alors
alors
a  a’ (n)
et b  b’ (n)
a+b  a’+b’ (n) ( on peut ajouter deux congruences modulo un même nombre )
ab  a’b’ (n) ( on peut multiplier deux congruences modulo un même nombre )
ap  a’p
(n)
ka  ka’ (n) avec k  Z
Démonstration :
 a’ (n)
b  b’ (n)
a
donc
donc
donc
donc
donc a = a’ +kn
donc b = b’ +k’n
a+b =………………………………………
a b = ………………………………………
ap = …………………………………………
k a = …………………………………………
Exemples :
 ……… (7)
45  ……….(7)
donc 187  ………… (7)
1
142
2
44
11
donc 484
 ………. (7)
3
42  ….. (5)
73  ….. (5)
donc ………..=6 x 42 – 73  ……….(5)
donc ……….. …………….(5)
 ……….. (7)
 ………..(7)
5