Arithmétique Stanislas Exercices MPSI 1 Chapitre XIII 2015/2016 I - Division euclidienne Exercice 1. (-) Montrer que pour tout n ∈ N, 7|52n − 4n . Exercice 2. (-) Un nombre s'écrit 11001011 en base 2. Quelle est son écriture en base 8 ? En base 16 ? Exercice 3. ( !) Soient a, b, c, d ∈ Z? tels que a ∧ b = c ∧ d = 1. 1. Si a ∧ d = b ∧ c = 1, montrer que (ac) ∧ (bd) = 1. 2. Montrer que (ac) ∧ (bd) = (a ∧ d)(b ∧ c). Exercice 4. (-) Déterminer l'ensemble des couples d'entiers solutions des équations suivantes. 1. 37x + 25y = 1. 2. 51x + 39y = 2004. 3. 51x + 39y = 4. Exercice 5. (-) Déterminer les entiers relatifs x vériant le système x ≡ 3 [11] x ≡ 4 [15] Exercice 6. Soient a, b deux entiers naturels tels que 0 < a < b. 1. Montrer que (a + b) ∧ (a ∨ b) = a ∧ b. a + b = 144 2. Déterminer les solutions du système a ∨ b = 420. Exercice 7. (♥) Montrer que pour tout n > 0, (n + 1)| 2n n . Exercice 8. (♥) Soit n > 2 et a ∈ Z un entier premier avec n. Pour tout k ∈ N, on note rk le reste de la division euclidienne de ak par n. 1. Montrer que la suite (rk )k∈N est périodique. 2. Quel est le reste de la division euclidienne de 32016 par 5 ? 3. Montrer que 13 divise 3126 + 5126 . II - Nombres premiers Exercice 9. Soient a, b deux nombres premiers tels que 0 < a < b. 1. Identier les entiers naturels x, y tels que x2 − y 2 = a2 b2 . 2. Déterminer x et y lorsque a = 2 et b = 7 ? Exercice 10. ( !) Soit n > 2. Montrer que 14 (n3 + (n + 2)3 ) est un nombre entier qui n'est pas premier. Exercice 11. (♥) Soit n > 2. Déterminer une suite de n entiers consécutifs ne comportant aucun nombre premier. Exercice 12. ( !) Résoudre dans N? × N? l'équation xy = y x . Stanislas A. Camanes Exercices. Arithmétique MPSI 1 III - Nombres célèbres Exercice 13. (Les nombres de Fermat, ♥) Soit n ∈ N. Le nombre de Fermat d'ordre n, noté Fn , n est l'entier Fn = 22 + 1. 1 . a) Montrer qu'il existe (α, k) ∈ N2 tel que 2 ∧ k = 1 et n = 2α k . α b) Si k > 3, montrer que 2n + 1 est divisible par 22 + 1. c) En déduire que, si Fn est premier, alors il existe un entier α tel que n = 2α . 2. Montrer que, pour tout k > 0, Fn+k − 1 = (Fn − 1)2 . En déduire que Fn+k ≡ 2 [Fn ]. k 3. Montrer que dès que m 6= n, Fm et Fn sont premiers entre eux. 4. En considérant le plus petit diviseur premier de Fn , montrer que l'ensemble des nombres premiers est inni. Exercice 14. (Les nombres de Mersenne, ♥) Soit n ∈ N. Le nombre de Mersenne d'ordre n, noté Mn , est l'entier Mn = 2n − 1. 1. Montrer que si Mn est premier, alors n est premier. 2. Soit p un nombre entier tel que 2p − 1 soit premier. Montrer que le nombre n = 2p−1 (2p − 1) est un nombre parfait, c'est-à-dire qu'il s'écrit comme la somme de ses diviseurs stricts. 3. Montrer que tout nombre parfait pair est de la forme 2p−1 (2p − 1) où 2p − 1 est un nombre premier. Stanislas A. Camanes