NOMBRES COMPLEXES SOMMAIRE 1 2 3 4 5 6 - PRESENTATION DES NOMBRES COMPLEXES REPRESENTATION GEOMETRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES MODULE D'UN NOMBRE COMPLEXE ARGUMENT D'UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL FORME ALGEBRIQUE ET FORME TRIGONOMETRIQUE NOTATION EXPONENTIELLE DES NOMBRES COMPLEXES 1 - PRESENTATION DES NOMBRES COMPLEXES 1.1- INTRODUCTION Nous admettons que l'on peut construire un sur-ensemble de IR, noté C, dont les éléments sont appelés nombres complexes, et qui vérifie : (1) C est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de IR et qui suivent les mêmes règles de calcul. (2) C contient un élément noté i tel que i 2 = -1. (3) Tout nombre complexe s'écrit de façon unique z = a + i b où a et b sont des réels. Définition Un nombre complexe est un nombre de la forme a + i b, où a et b sont des nombres réels quelconques et i est un nombre vérifiant i 2 = -1. Pour le nombre complexe z = a + i b, a est appelé la partie réelle de z et b la partie imaginaire de z. Notation : a = Re(z) et b = Im(z). Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé imaginaire pur. Exemples z = 1 - 2i z = -3i z = 4. 1.2 - Opérations dans C Egalité de deux complexes Comme tout complexe z s'écrit de façon unique z = a + ib, a et b IR, on en déduit : Deux complexes sont égaux si et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. Conséquence : a + ib = 0 a = 0 et b = 0. L'addition et la multiplication suivent dans C les mêmes règles que dans IR. Addition (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d). Multiplication (a + ib) . (c + id) = (ac - bd) + i (ad + bc) En particulier ( a + ib) 2 = a2 - b2 + 2ab i. Conjugué A tout nombre complexe z = a + ib, on associe le nombre complexe z a ib (on lit "z barre") appelé conjugué de z = a + ib. On vérifie que : z z 2 Re ( z ) et z z 2 i Im ( z) Inverse d'un complexe non nul On a z z ( a ib ) ( a ib ) = a 2 + b 2 Si z 0, on a a 2 + b 2 0 Soit ( a ib ) ( a ib ) ( a ib ) ( a i b ) et 1, ou encore z . a2 b2 1. z 1. zz D'où, tout nombre complexe admet un inverse : 1 z a b i z z z a2 b2 a2 b2 a2 b2 1 sous la forme a + ib ( a et b IR). z 1 3 4i 3 4 Exemple : i 3 4 i ( 3 4 i ) (3 4 i ) 25 25 Cette propriété permet de mettre Opérations sur les complexes conjugués Pour tout complexe z : ( z ) z ( z et z sont conjugués l'un de l'autre) z est réel si et seulement si z z . z est imaginaire pur si et seulement si z z . Si z = a + ib, alors z . z a2 b2 . On démontre que : Pour tous z1 et z2 de C, z1 z2 z1 z2 1 Pour tout z non nul , 1 z z Conséquences : Pour tout z, z1, z2, (z) z z1 z2 z1 z2 z z Si z2 0, 1 1 z2 z2 Pour IR , z z ; z1 . z2 z1 . z2 Pour n IN, z n ( z ) n 2 - REPRESENTATION GEOMETRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES 2.1 - IMAGE D'UN NOMBRE COMPLEXE A tout nombre complexe z = a + ib on peut associer le point M de coordonnées ( a , b ) dans le plan muni d'un repère orthonormé ( O ; e1 , e2 ) . On dit que : M est l'image du nombre complexe z et z est l'affixe du point M. On note M(z). M (z) b e2 O a e1 L'image d'un nombre réel est un point de l'axe réel. L'image d'un nombre imaginaire pur est un point de l'axe imaginaire. Exemples : M (-2) ; N (3i) ; P (1 + 2i). Propriétés : Les images du complexe z et de son opposé -z sont symétriques par rapport à l'origine O. Les images du complexe z et de son conjugué z sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. 2.2 - AFFIXE D'UN VECTEUR Soit le vecteur u a e1 b e2 . Par définition, l'affixe de u est le nombre complexe z=a+ib. Et, u est le vecteur image de z. L'affixe du vecteur AB est zB - zA où zB et zA sont les affixes respectives de B et de A. 2.3 - Représentation graphique de la somme de deux complexes Pour deux complexes z1 = a + i b avons : et z2 = c + i d d'images respectives M et N nous (a+ib)+(c+id)= (a+c)+i(b+d) OM ON OS 3 - MODULE D'UN NOMBRE COMPLEXE Définition Le module d’un nombre complexe z, dont l’image est M, est la distance OM. On note | z | = OM. Calcul du module de z : Posons z = a + ib, alors OMa e1 b e2 I z I OM a2 b2 z z M (z) b |z| e2 O a e1 D’où : En posant z = a + ib, on a I z I OM a2 b2 z z En particulier, si z est réel ( z = a ) alors Iz I a2 IaI Dans ce cas le module de z est la valeur absolue de z. Propriétés : Module et distance de deux points Soit A et B deux points d’affixes respectives zA et zB. On note M le point tel que OM AB . Le complexe zB - zA a pour image OM ( ou AB ) . Par conséquent AB = | zB - zA |. Inégalité triangulaire : On démontre que pour tous z1 et z2 de C, |z1+z2 | |z1|+|z2 |. Module d’un produit : z, z1 et z2 étant des complexes quelconques, on démontre que : | z1 . z2 |= | z1 |.| z2 |. 1 1 pour z 0 z I zI z1 I z1I pour z2 0. z 2 I z 2I Pour n Z, et pour z 0, |zn |= |z|n. 4 - ARGUMENT D'UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; e1 , e2 ) . 4.1- DEFINITION Nombres complexes de module 1 L’image d’un complexe z de module 1 est un point du cercle trigonométrique. Soit (e1 OM) , alors z = cos + i sin. Réciproquement, un complexe de la forme cos + i sin a pour module cos2 sin2 1 D’où : Un nombre complexe z est de module 1 si et seulement si il existe un réel tel que z= cos + i sin. Le réel est appelé argument de z. Définition Soit z un complexe non nul. Alors z a pour module 1. Par conséquent, il existe un réel IzI tel que z cos i sin . I zI Soit M l’image de z et N l’image de z . IzI N appartient au cercle trigonométrique et ( e1 ,ON) . Comme OMI zION et I z I > 0, on a ( e1 ;OM ) ( e1 ;ON ) . Donc le réel est aussi un argument de z. D’où la définition : Soit z un complexe non nul d’image M dans le plan rapporté au repère ( O ; e1 , e2 ) . Une mesure de ( e1 ; OM ) est appelé argument de z et noté arg (z). M (z) b |z| e2 O e1 a Remarques - Le complexe 0 a un module nul mais son argument n’est pas défini. - arg z est défini à 2 près. Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme : z = | z |( cos + i sin ). Cette forme est la forme trigonométrique de z. En posant I z I = , z = ( cos + i sin ). est le module de z et un argument de z. Il est parfois commode d’écrire aussi z = [ ; ]. Exemple : module et argument de z = 1 – i. 4.2- PROPRIETES Soit z et z’ deux complexes non nuls : z = | z | ( cos + i sin ), z’ = | z’ | ( cos ’ + i sin ’ ). Egalité de deux nombres complexes Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument. z = z’ équivaut à ( | z | = | z’ | et = ’ ) Conjugués et opposés Deux complexes non nuls sont conjugués si et seulement si ils ont le même module et des arguments opposés. I z I I z I et arg ( z ) arg ( z ) Deux complexes non nuls sont opposés si et seulement si ils ont le même module et des arguments de différence + 2k ( k Z). |– z| =| z| et arg (-z) = arg (z) + . Argument d’une différence Soit A et B deux points d’affixes respectives zA et zB. On note M le point tel que OM AB . L’affixe du vecteur OM est l’affixe du vecteur AB , c’est-à-dire zB -zA . On a : arg( zB z A ) ( e1; AB ) . B A e2 O e1 Argument d’un produit Soit z et z’ deux complexes non nuls. arg ( z . z’) = arg (z) + arg (z’) arg z arg( z ) arg ( z') z' arg 1 arg (z) z arg (zn ) = n . arg ( z), pour tout n Z. Ce dernier résultat peut aussi s’écrire sous la forme dite formule de Moivre : ( cos + i sin )n = cos n + i sin n , pour nZ. Conseil pratique : Pour les opérations dans C, on utilise - la forme algébrique pour les additions et soustractions. - la forme trigonométrique pour les multiplications, divisions et puissances. 5 - FORME ALGEBRIQUE ET FORME TRIGONOMETRIQUE Soit z un nombre complexe non nul. La forme algébrique de z est z = a + ib avec Re ( z ) = a et Im ( z) = b. La forme trigonométrique de z est z = ( cos + i sin ) avec = I z I et arg (z ) = + 2k. On a : Re ( z ) = . cos et Im ( z ) = . sin On a : I z I a2 b2 .D’où z I zI a i b I z I I z I Donc Le module z a2 b2 , L'argument est tel que : cos sin b z a z a 2 a b 2 et a a2 b2 L’argument est déterminé à 2k près. Exemple : z 1 i 3 6- NOTATION EXPONENTIELLE DES NOMBRES COMPLEXES Définition Pour tout réel , on pose ei = cos + i sin . Exemple : Placer dans le plan complexe les images de ei 2 , ei /4, ei /2, ei , ei 3/2. Remarque : Pour tout réel et ’, ei . ei ’ = ( cos + i sin ) . ( cos ’ + i sin ’ ) = cos ( + ’) + i sin ( + ’ ) = ei ( + ’ ) d’où ei . ei ’ = ei + i ’ On retrouve ce résultat en utilisant la règle de calcul sur les exposants ( an . am = a n + m ). Propriétés Soit z et z’ deux complexes non nuls. z =| z | ( cos +i sin ), z’ = |z’ |( cos ’+i sin ’ ). La notation exponentielle donne : z = |z | ei et z’ = |z’ |ei ’. D’où z . z’ = |z | . |z’| ei ( + ’ ) 1 z z z' 1 z e i z e i z' e i ' 1 z z z' e i e i i ' zn = ( | z| . ei )n = | z | n . ei n , pour n Z. Dans la notation exponentielle, la formule de Moivre s’écrit : ( ei )n=ei n Formules d’Euler Pour tout réel , on a ei = cos + i sin et e - i = cos - i sin . Par addition et soustraction membre à membre, on a : cos ei ei 2 et sin ei e i 2i