R.O.C.

Chapitre 3 : Géométrie plane : nombres complexes 1ère partie
Propriétés : Conjugué et opérations
z et z' sont deux nombres complexes et n un entier naturel non nul.
. z  z' = z  z'
1 1
 
. Si z  0 ,  z  z
n
. z z
. zz ' = z z '
n
 z'  z'
 
. Si z  0 ,  z  z
Démonstration :
Les formes algébriques de z et z' sont x + i y et x' + i y' (x, x', y, y' réels)
. z  z' = ( x  iy )  ( x 'iy ' )  ( x  x ' )  i( y  y' ) = ( x + x' ) – i ( y + y' ) = z  z'
. zz '  ( x  iy )( x 'iy ' )  xx ' yy 'i( xy ' x ' y)  xx ' yy 'i( xy ' x ' y) = z z '
. raisonnement par récurrence :
1
1- z = z
z1  z
donc
z 
1
z
2- On suppose la propriété vraie au rang k
k

1
et la propriété est vérifiée au rang 1

hypothèse de récurrence : z k  z


donc z1  z
k
k 1
(on utilise le conjugué d'un produit et l'hypothèse de récurrence)
z k 1  z k z  z k z  z z  z
la propriété est démontrée au rang k+1
3- Les axiomes de récurrence permettent de conclure que :
n
Pour tout entier naturel n, z  z
1
. Si z  0 , alors z   1
z
Or zz ' = z z '
n
1
11
z
1
et z     1
z
1 1
d'où :   
z z
z'
1
. Si z  0 , alors  z ' 
z
z
1 1
Or zz ' = z z ' et   
z z
donc z 
1
1 z'
 z'  
1
donc     z'    z'     z'  
z
z z
z 
z
Propriété des modules et arguments
a) Inégalité triangulaire
Propriété :
Pour tous nombres complexes z et z',
z'
z  z'  z
+
Démonstration :
Soit M et N les points d'affixes respectives z et - z', d'après l'inégalité triangulaire :
NM  NO + OM.
Or, NM = z  (z' )  z  z' , ON = z' et OM = z , d'où :
z  z'  z  z'
b) Produit
Propriétés :
Pour tous nombres complexes non nuls z et z' ,
z z'
zz '
.
=
et arg (zz') = arg z + arg z' + 2 kπ,
Démonstration :
Soit z = r (cos θ + i sin θ ) (r > 0) et z' = r' (cos θ '+ i sin θ ') (r' > 0),
alors zz' = rr' [(cos θ cos θ ' - sin θ sin θ ') + i (sin θ cos θ ' + cos θ sin θ ')], c'est-à-dire
zz' = rr' [cos (θ + θ ') + sin (θ + θ ')],or, rr' >0,donc :
zz '  z z'
Et
arg (zz') = θ + θ ' + 2 kπ ( k  ℤ ), soit arg (zz') = arg z + arg z' + 2 kπ .
. pour tout entier naturel non nul n,
zn
=
z
n
et arg (zn) = n arg (z) + 2 kπ.
Démonstration :
On effectue un raisonnement par récurrence
1- . Pour n = 1, l'égalité est vérifiée.
p
. On suppose qu'il existe p de ℕ tel que z p  z
z p 1  z p  z = z p  z d'après la propriété précédente
Or, z p  z , d'après l'hypothèse de récurrence, donc :
p
z p1  z  z  z
p
p 1
.
la propriété est démontrée au rang p+1
. Les axiomes de récurrence permettent de conclure que :
la propriété est donc vraie pour tout n de ℕ.
2- . Pour n = 1, arg(z1) = arg(z) (2π )
1 arg(z) = arg(z)
La propriété est vérifiée au rang 1
. On suppose qu'il existe p de ℕ tel que arg(zp) = p arg(z) + 2 kπ
arg(zp+1) = arg(zp  z) = arg(zp) + arg(z) + 2 kπ d'après la propriété précédente
Or, arg(zp) = p arg(z) + 2 kπ , d'après l'hypothèse de récurrence, donc :
arg(zp+1) = p arg(z) + arg(z) + 2 kπ = (p+1) arg(z) + 2 kπ
la propriété est démontrée au rang p+1
. Les axiomes de récurrence permettent de conclure que :
la propriété est donc vraie pour tout n de ℕ.
c) Quotient
Propriétés :
Pour tous nombres complexes non nuls z et z',
1
1
1

et arg    argz  + 2 kπ
z' z'
z
z
z
z
 
z ' = z ' et arg  z '  = arg z - arg z' + 2 kπ
Démonstration :
1
1

z' z'
zz' = 1 entraîne arg z + arg z' = 2 kπ, d'où : arg z' = - arg z + 2 kπ
zz' = 1 entraîne zz '  1, c'est-à-dire z z'  1 , d'où :
z
z
1
z
1
1
1
 z  entraîne
 z  z   z  
z'
z'
z'
z'
z'
z' z'
z
1
 z  entraîne arg
z'
z'
z
1
   arg( z)  arg   arg z  arg z' + 2 kπ
 z' 
 z' 
La fonction θ  cos θ  i sin θ
f est la fonction définie sur ℝ et à valeurs dans ℂ par f ( θ ) = cos θ + i sin θ .
a) Pour tous réels θ et θ ', f ( θ + θ ') = f ( θ ) f ( θ ').
Démonstration :
En effet, les complexes f ( θ + θ ') et f ( θ ) f ( θ ') ont pour module 1 et pour argument θ + θ '.
Soit f ( θ ) = (cos θ + i sin θ ) et f ( θ ') = (cos θ '+ i sin θ '),
alors f ( θ )f ( θ ') = [(cos θ cos θ ' - sin θ sin θ ') + i (sin θ cos θ ' + cos θ sin θ ')], c'est-à-dire
f ( θ )f ( θ ') = [cos (θ + θ ') + I sin (θ + θ ')]
b) Les fonctions cos et sin étant dérivables sur ℝ , on dit que f est dérivable sur ℝ.
La fonction dérivée de f est définie par f ' ( θ ) = cos' θ + i sin' θ = - sin θ + i cos θ = i ( cos θ + i
sin θ ) = i f (θ).
On obtient alors f ' (0) = i .
Par analogie avec la définition de la fonction exponentielle, on adopte l'écriture :
Notation :
iθ
Pour tout réel θ , on note e = cos θ + i sin θ .