Triangle rectangle : relations trigonométriques

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3ème
Triangle rectangle : relations trigonométriques
- cours -
1. Vocabulaire
C
hypoténuse du
triangle rectangle
côté opposé à
l’angle ABC
B
A
côté adjacent à l’angle ABC
Dans le triangle ABC rectangle en A :

le côté adjacent à l’angle ABC est  AB  ;

le côté opposé à l’angle ABC est  AC  ;

l’ hypoténuse du triangle rectangle est BC .
2. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle :
Définitions :
ABC est un triangle rectangle en A . On a :
cos ABC 
longueur du coté adjacent à l'angle ABC BA

longueur de l'hypoténuse
BC
sin ABC 
longueur du coté opposé à l'angle ABC AC

longueur de l'hypoténuse
BC
tan ABC 
longueur du coté opposé à l'angle ABC
longueur du coté adjacent à l'angle ABC
Exercice de cours 1
Soit un triangle ABC rectangle en B tel que AC  7 cm et
BAC  40 . Calculer la longueur BC arrondie au dixième.
-1-

AC
AB
Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3ème
Dans le triangle ABC rectangle en B , on a (je connais l’hypoténuse, je cherche le côté opposé à
l’angle 40°) :
BC
sinBAC 
AC
BC
sin 40 
7
sin 40 BC

1
7
7  sin 40
BC 
 5, 2 cm
1
Exercice de cours 2 :
Soit un triangle DEF rectangle en D tel que EF  9 cm et
DEF  50 . Calculer les longueurs DE et DF arrondies au
dixième.
Dans le triangle DEF rectangle en D , on a :
ED
EF
cos 50 ED

1
9
ED  9  cos 50  5, 8 cm
cos DEF 
DF
EF
sin 50 DF

1
9
DF  9  sin 50  6, 9 cm
sin DEF 
Exercice de cours 3
ABC est un triangle rectangle en B tel que AB  5, 3 cm et
BC  7, 6 cm . Donner une valeur approchée à 1 près de la
mesure de l’angle ACB .
Dans le triangle ABC rectangle en B , on a :
AB
BC
5, 3
tan ACB 
7, 6
tan ACB 
ACB  35
-2-
Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3ème
Exercice de cours 4

 JK  est un diamètre du demi-cercle C

I C ; JK  5 cm ; IJ  1, 4 cm
Calculer la mesure des angles IJK et JKI , arrondis à 1
près.
Le triangle IJK est inscrit dans un cercle et possède
pour côté un diamètre du cercle : il est rectangle en I . On a :
IJ
JK
1, 4
cos IJK 
5
IJ
JK
1, 4
sin JKI 
5
cos IJK 
sin JKI 
IJK  74
JKI  16
B
3. Deux formules de trigonométrie
x
2
2
2
 AB  AB

Calcul de  cos x   

2
 BC  BC
2
2
2
 AC  AC

Calcul de  sin x   

2
 BC  BC
A
C
AB2 AC2 AB2  AC2


BC2 BC2
BC2
D’après le théorème de Pythagore, appliqué au triangle ABC rectangle en A , AB2  AC2  BC2
BC2
2
2
et donc  cos x    sin x   2  1
BC
Donc  cos x    sin x  
2
2
Propriété :
Quel que soit l’angle x ,
 cos x    sin x 
2
2
 1 , ou encore cos2 x  sin2 x  1
AC
sin x BC AC BC AC
Calcul de




 tan x
cos x AB BC AB AB
BC
On retient que, quel que soit l’angle x ,
Propriété :
Quel que soit l’angle x , tan x 
sin x
cos x
Exercice de cours
Calculer la valeur exacte de sin x et tan x , sachant que cos x 
-3-
4
( x désigne un angle aigu).
5