Var discrètes usuelles

Var discrètes usuelles
1. On effectue n tirages dans une urne contenant au départ b boules blanches et b boules noires selon
le protocole suivant : lorsqu’on tire une boule blanche, on la remet ; lorsqu’on tire une boule noire,
on la remet et on rajoute b boules blanches.
On note X la var représentant le nombre de boules noires obtenues. Quelle est la probabilité des
événements (X = 0), (X = n), (X = 1) ?
Lorsque n = 3, en déduire la loi de X. Calculer son espérance et sa variance.
2. On dispose de n urnes numérotées U1, U2, …., Un telles que pour tout k  1, n , l’urne Uk
contienne exactement k + 1 boules blanches et n – k + 1 boules noires. Une urne est choisie au
hasard puis on y effectue un tirage simultané de deux boules.
Déterminer la loi de la variable aléatoire X représentant le nombre de boules blanches obtenues.
Pour k  1, n , déterminer la probabilité pk que les boules tirées proviennent de l’urne Uk sachant
qu’elles sont toutes les deux blanches. Comment choisir n pour qu’il existe des valeurs k  1, n
telles que pk 
3
?
10
3. On lance un dé normal ; soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le numéro obtenu.
1
Déterminer la loi de X, la loi de Y =
, la loi de Z = X  3 , de T = X  4 , de Z + T .
X
Les variables aléatoires Z et T sont–elles indépendantes ?
Soit U une variable aléatoire de même loi que T telles que Z et U soient indépendantes ;
déterminer la loi de Z + U.
4. Une urne contient initialement 3 boules blanches et 4 boules rouges. On en tire au hasard
successivement trois fois une boule, en remettant la boule tirée si elle est blanche et en ne la
remettant pas si elle est rouge. On note X la variable aléatoire qui à chaque série de trois tirages
associe le nombre de boules blanches obtenues.
a) Compléter l’algorithme suivant pour qu’il simule l’expérience et affiche la valeur de X associée
Begin
b := 3 ; r := 4 ; x := 0 ;
For i := 1 to __ do
begin
a := random(b + r) +1 ;
if a <= b then x := __ else r := __ ;
end ;
Writeln(x)
End.
b) Déterminer la loi de X.
Calculer son espérance et sa variance. (vérification : E(X) 1.413 et V(X) 0.629)
c) Ecrire un programme qui simule n = 100 répétitions de l’expérience ci–dessus et calcule la
moyenne M des n réalisations de X.
Minorer par l’inégalité de Bienaymé–Tchebychev la probabilité que cette moyenne soit
comprise entre 1,313 et 1,513.
5. On lance un dé équilibré puis on effectue deux tirages successifs d’une boule avec remise
dans l’urne U contenant 9 boules blanches et 1 noire, si le dé amène l’as,
dans l’urne V contenant 3 boules blanches et 7 noires, sinon.
On note Xi la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si on obtient une boule blanche au i° tirage et
la valeur 0 sinon.
a) Les variables X1 et X2 sont–elles indépendantes ?
b) On obtient une boule blanche puis une noire ; de quelle urne est–il plus probable qu’on les ait
tirées ?
6. On dispose de deux urnes U et V. L’urne U contient a boules blanches et b boules noires, l’urne V
b boules blanches et a boules noires.
On choisit l’une des deux urnes puis on tire une boule de cette urne :
–si elle est blanche, on la remet dans l’urne et on tire la boule suivante dans l’urne U ;
– si elle est noire, on la remet dans l’urne et on tire la boule suivante dans l’urne V.
On continue en suivant la même règle.
On désigne par Bn l’événement : « la nème boule tirée est blanche », par Xn la variable aléatoire qui
prend la valeur 1 lorsque Bn est réalisé et la valeur 0 sinon ; on note pn = E(Xn).
a) Trouver une relation de récurrence entre pn et pn+1.
b) En déduire pn lorsque le premier tirage s’effectue dans U puis lorsqu’il s’effectue dans V.
Déterminer la limite de (pn).
7. On jette 3 fois un dé normal équilibré et on note successivement les chiffres obtenus sur la face
supérieure du dé pour former un nombre à 3 chiffres.
Déterminer la probabilité d’obtenir
a) exactement un 6,
b) au moins un 6,
c) ni 6 ni 1,
d) au moins un 6 et un 1.
e) Déterminer la loi de la variable aléatoire représentant le nombre de chiffres distincts obtenus.
8. Merlin, magicien peu assuré, présente un tour à chaque représentation du cirque Magix.
a) On admet que les représentations sont indépendantes et qu’à chaque représentation Merlin a
la probabilité ¼ de rater son tour. Un même spectateur a assisté à 8 représentations.
Calculer la probabilité pour ce spectateur de voir rater le tour 5 fois, de voir rater le tour 2
fois, de voir rater le tour au moins une fois.
b) Dans une ville donnée, le cirque Magix a donné une série de 16 représentations dont 4 au
cours desquelles Merlin a raté son tour. Un spectateur a assisté à 8 de ces 16 représentations.
Calculer la probabilité pour ce spectateur de voir rater le tour 5 fois, de voir rater le tour 2
fois, de voir rater le tour au moins une fois.
9. Q et B sont deux avions ayant respectivement quatre et deux moteurs. Chaque moteur a la
probabilité p de tomber en panne et les moteurs sont indépendants les uns des autres.
On considère qu’un avion arrive à destination si moins de la moitié de ses moteurs tombe en
panne. Quel avion vaut–il mieux choisir ?
10. Un paquet de 10 cartes contient 5 as, 3 rois et 2 dames. Le tirage d’un as rapporte 5 points, celui
d’un roi rapporte 2 points et celui d’une dame coûte 1 point. Du paquet on extrait simultanément et
au hasard 2 cartes. Déterminer la loi de la variable aléatoire X égale au total des ponts marqués.
Soit A (R, D) le nombre d’as (rois, dames) du tirage. Quelles sont les lois de A, R, D ? Exprimer X
en fonction de A, R, D ; calculer son espérance.
n
11. a) Justifier l’égalité
 C kN C nNk  C nN  N
k 0
1
2
1
2
pour tous entiers N1, N2, n.
 Cnk 
n
En choisissant convenablement N1 et N2, en déduire la valeur de
k 0
2
.
b) Deux joueurs lancent une pièce de monnaie équilibrée n fois chacun.
Calculer la probabilité qu’ils obtiennent pile le même nombre de fois.
12. On dispose de 200 dés dont 50 sont pipés (pour un dé pipé la probabilité d’obtenir le 6 est 1/2).
a) On choisit un dé au hasard, on le lance ; on obtient 6. Quelle est la probabilité d’avoir chois un
dé pipé ?
b) On choisit un dé au hasard, on le lance n fois ; n fois on obtient 6. Quelle est la probabilité
d’avoir chois un dé pipé ?
c) On choisit un dé au hasard, on le lance n fois ; on n’obtient jamais 6. Quelle est la probabilité
de ne pas avoir chois un dé pipé ?
13. Une urne contient n boules blanches et n boules noires numérotées de 1 à n par couleur. On les
extrait une à une sans remise.
a) Soit m  2n . Soit Ym la variable aléatoire associant à chaque tirage sans remise de m boules le
nombre de noires qu’il contient. Quelle est la loi de Ym ?
b) Soit X le nombre de tirages nécessaires pour qu’il ne reste plus dans l’urne que des boules
blanches. Comparer (X  m) et (Ym = n). En déduire la loi de X.
14. On tire simultanément 4 jetons d’une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n (n est un entier
supérieur ou égal à 4). Soit X le plus grand numéro obtenu. Déterminer la loi de X et vérifier que
n
 P(X  k ) = 1.
k 4
15. On lance un dé n fois de suite et on note X le plus grand numéro obtenu.
Déterminer la fonction de répartition de X. En déduire la loi de X
16. Pendant une campagne publicitaire pour une boisson gazeuse on a, dans chaque canette de la
marque, la probabilité constante p de trouver sous la languette un G gagnant. Sachant qu’on a déjà
bu r canettes sans rien gagner, quelle est la probabilité qu’il faille en boire encore au moins n pour
gagner ?
17. Soit X une v.a.r. telle que X(  ) =
a)
b)
c)
d)
* et k  * , P(X = k) =

.
2 k 1
Déterminer  .
Quelle est la probabilité que X prenne une valeur paire ?
Déterminer la fonction de répartition de X.
Soit Y la v.a.r. qui prend la valeur X/2 lorsque X prend une valeur paire et la valeur 0 lorsque
X prend une valeur impaire. Déterminer la loi de Y.
18. edhec2004