Réponses possibles pour l`activité « Les Aventurier de la règle

Réponses possibles pour l’activité « Les Aventurier de la règle perdue (1) »
Conjectures liées au tableau limité à 42 lignes :
- Sur chaque ligne, le nombre de la première case est le nombre de termes à droite (ou à
gauche) de 100 dans la somme de la case suivante.
- Sur chaque ligne, la case centrale contient la somme d’un nombre impair de nombres entiers
consécutifs.
- D’une ligne à la suivante, le nombre de termes dans la case centrale augmente de 2.
- Sur chaque ligne, dans la case centrale, le dernier nombre de la somme est 100 plus le
nombre de la première case ; le premier nombre est 100 moins le nombre de la première case.
- Sur chaque ligne, le nombre de termes de la somme est égal à 2 fois le nombre de la
première case plus 1.
- Sur chaque ligne, le nombre de la dernière case est le résultat de la somme écrite dans la
seconde.
- Sur chaque ligne, le nombre de la dernière case est le produit du nombre de termes de la
somme écrite dans la seconde case par 100.
- Le dernier nombre de la somme de la ligne 42 est 142 (obtenu par 100 + 42).
- Le premier nombre de la somme de la ligne 42 est 58 (obtenu par 100 – 42).
- Le nombre de termes de la somme de la ligne 42 est 85 (obtenu par 2  42 + 1).
- A la ligne 42, le nombre de la dernière case est 8 500 (obtenu par 85  100).
- La somme 58 + 59 + … + 141 + 142 contient 85 termes.
- La somme 58 + 59 + … + 141 + 142 est égale à 8 500 .
Conjectures liées au tableau généralisé:
- Sur la ligne n, le dernier nombre de la somme est 100 + n .
- Sur la ligne n, le premier nombre de la somme est 100 – n .
- Sur la ligne n, le nombre de termes de la somme est 2n + 1 .
- Sur la ligne n, le nombre de la dernière case est (2n + 1)  100 .
Conjecture plus générale :
- La somme d’un nombre impair n de nombres consécutifs est égale à n fois le terme central.
Réponses possibles pour l’activité « Les Aventurier de la règle perdue (2) »
Conjectures liées au tableau limité à 12 lignes :
- Sur chaque ligne, la seconde case contient des puissances de 2 successives à partir de 20.
- Sur chaque ligne, le nombre de la première case est l’exposant de la dernière puissance de 2
écrite dans la seconde case.
- Sur chaque ligne, la troisième case contient tous les nombres qu’on obtient en additionnant
au plus une fois les nombres qui figurent dans la seconde case.
- Sur chaque ligne, la troisième case contient tous les nombres de 1 jusqu’à 2 fois le dernier
nombre de la case précédente moins 1.
- Sur chaque ligne, le nombre de la dernière case est le nombre de nombres écrits dans la case
précédente.
- Sur chaque ligne, le nombre de la dernière case est la somme des nombres écrits dans la
seconde case.
- D’une ligne à la suivante, le nombre de nombres écrits dans la troisième case est obtenu en
multipliant par 2 et en ajoutant 1.
- Sur la ligne 12, dans la seconde case, il y a 13 nombres.
- Sur la ligne 12, dans la seconde case, on a les puissances de 2 jusqu’à 4 096 (212).
- Sur la ligne 12, dans la dernière case, il y a le nombre 8 191 (2  4 096 – 1).
- Sur la ligne 12, le nombre de la dernière case est 213 – 1 .
- Sur la ligne 12, dans la troisième case, il y a les nombres entiers de 1 jusqu’à 8 191 ; on
arrive à tous les écrire en additionnant au plus une fois les nombres de la seconde case.
- Sur la ligne 12, le nombre 8 191 de la quatrième case est la somme des 13 nombres écrits
dans la seconde case.
- On a l’égalité :
20 + 21 + 22 + 23 + … + 211 + 212 = 8 191
- On a l’égalité :
20 + 21 + 22 + 23 + … + 211 + 212 = 213 – 1
- Avec seulement 13 puissances de 2, on peut composer additivement les 8 191 premiers
nombres entiers.
Conjectures liées au tableau généralisé:
- Sur la ligne n, dans la seconde case, on a la suite des puissances de 2 de 20 jusqu’à 2n .
- Sur la ligne n, le nombre de la dernière case est 2n + 1 – 1 .
- Sur la ligne n, dans la troisième case, on a composé les entiers de 1 à 2 n+1 – 1 en utilisant
uniquement les nombres de la case précédente, une fois chacun au plus.
Conjectures plus générales :
- on a l’égalité :
20 + 21 + 22 + 23 + … + 2n - 1 + 2n = 2n + 1 – 1
- On obtient tous les nombres entiers de 1 à 2n+1 – 1 en additionnant au plus une fois les
nombres de la suite 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; … ; 2n - 1 ; 2n .
- Avec seulement n + 1 puissances de 2, on peut composer additivement les 2n+1 – 1 premiers
nombres entiers.