Mathématique Sylvie Jancart [email protected] Septembre 2015 Trigonométrie Le cercle trigonométrique est un cercle tracé dans le plan muni d’un repère orthonormé (0,~ı, ~) , ayant son centre à l’origine et de rayon 1 . Il est orienté positivement (c’est-à-dire dans le sens opposé à celui des aiguilles d’une montre). Représentons l’angle orienté α par un couple de demi-droites dont l’une d’elles, prise comme demi-droite origine, est la demi-droite 0X . Y α → j 0 M → i x X Trigonométrie Un angle se mesure en radians ou en degrés. La mesure de l’angle α en radians, notée mesr α , est égale au rapport entre l’arc s intercepté et le rayon R du cercle s mesr α = · R Pour obtenir la mesure en degré on se sert des conventions suivantes : 1 tour = 3600 = 2π rd L’angle droit vaut 900 ou π2 rd. L’angle plat vaut 1800 ou π rd. L’angle tour vaut 3600 ou 2π rd. 1 rd ⇔ 3600 ≈ 570 170 4500 . 2π Trigonométrie : les nombres trigonométriques Considérons un angle orienté α rapporté au cercle trigonométrique Désignons par P le point commun au côté extrémité de α et au cercle trigonométrique ; P 0 la projection orthogonale de P sur OX , et P 00 la projection orthogonale de P sur OY . Y J P(cos α,sin α) P'' α I' 0 I P' X J' Les coordonnées du point P dans le repère (0,~ı, ~) sont (cos α, sin α) . Les nombres trigonométriques On note cos α, l’abscisse du point P et sin α, l’ordonnée du point P. L’axe 0X est l’axe des cosinus et l’axe 0Y celui d’axe des sinus. Y J P(cos α,sin α) P'' α I' 0 I P' X J' Conséquences sin cos 00 0 radian 0 1 π 2 900 radians 1 0 1800 π radians 0 −1 −1 ≤ cos α ≤ 1 et −1 ≤ sin α ≤ 1 . cos2 α + sin2 α = 1, l’égalité fondamentale 3π 2 2700 radians −1 0 Les nombres trigonométriques Tangente, cotangente, sécante et cosécante d’un angle Ces nombres trigonométriques sont définis de la façon suivante : tan α = sin α cos α , sec α = 1 cos α cot α = cos α sin α , cosec α = 1 sin α Nous utiliserons tan ou tg pour désigner la tangente , Les nombres trigonométriques : tangente, cotangente D1 Y D2 T2 J P T1 I 0 X Traçons D1 (respectivement D2 ), la tangente au cercle trigonométrique en I (respectivement en J ). T1 (respectivement T2 ) est l’intersection de la demi-droite 0P avec D1 (respectivement D2 ). Alors, tan α est l’ordonnée du point T1 , cot α est l’abscisse du point T2 . On a donc T1 (1, tan α) , T2 (cot α, 1) . L’axe IT1 est l’axe des tangentes, l’axe JT2 est l’axe des cotangentes. Les nombres trigonométriques : tangente, cotangente Conséquence : tan cot 00 0 radian 0 − π 2 900 radian − 0 1800 π radian 0 − 3π 2 2700 radian − 0 Les barres horizontales précisent les angles orientés dont la tangente ou la cotangente n’est pas définie. Les nombres trigonométriques : sécante et cosécante D1 Y D2 T2 J P T1 I 0 X La distance 0T1 est la sécante de l’angle et la distance 0T2 est la cosécante. Remarque: A chaque point P, on associe plusieurs angles de mesure α + 2kπ, k ∈ ZZ. Les angles associés Angles opposés Y P(x,y) α I(1,0) 0 −α X Q(x,-y) Considérons deux angles opposés α et −α rapportés au cercle trigonométrique. On voit que cos(−α) = cos α , sin(−α) = − sin α , et donc tan (−α) = − tan α , cot (−α) = − cot α . Les angles associés Angles supplémentaires Deux angles orientés sont supplémentaires si et seulement si leur somme vaut l’angle plat, c’est-à-dire1800 . Y Q(-x,y) 180°−α P(x,y) α I(1,0) 0 X On voit que sin(1800 − α) = sin α , cos(1800 − α) = − cos α , et donc tan (1800 − α) = − tan α , cot (1800 − α) = − cot α . Les angles associés Angles antisupplémentaires Deux angles orientés sont antisupplémentaires si et seulement si leur différence vaut l’angle plat, c’est-à-dire 1800 . Y 180°+α P(x,y) α I(1,0) 0 X Q(-x,-y) On voit que sin(1800 + α) = − sin α , cos(1800 + α)= − cos α , et donc tan (1800 + α) =tan α , cot (1800 + α) = cot α . Les angles associés Angles complémentaires Deux angles orientés sont complémentaires si et seulement si leur somme vaut l’angle droit, c’est-à-dire 900 . Y Q(y,x) 90° P(x,y) -α α I(1,0) 0 X On voit que sin(900 − α) = cos α , et donc tan (900 − α) =cot α , cos(900 − α) = sin α , cot (900 − α) =tan α . Les angles associés Nombres trigonométriques d’angles remarquables 00 300 450 600 900 1800 0 π 6 π 0 1 0 cos 1 1 2 √ 3 2 √ 3 3 π 3 √ 3 2 π 2 sin π 4 √ 2 2 √ 2 2 1 2 0 −1 +∞ | −∞ 0 tan 0 1 √ 3 Remarque : Ces valeurs doivent être retrouvées rapidement en se référant au cercle trigonométrique. De plus, les conclusions relatives aux nombres trigonométriques des angles associés sont importantes ; elles doivent également pouvoir être retrouvées très rapidement en se référant au cercle trigonométrique. Formulaire de trigonométrie Formule fondamentale : sin2 α + cos2 α = 1 Formules d’addition : cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α sin(α − β) = sin α cos β − sin β cos α tan (α + β) = tanα+tanβ 1−tanαtanβ tan (α − β) = tanα−tanβ 1+tanαtanβ si tan α· tan β ∈ / {−1, 1} Formulaire de trigonométrie Formules de multiplication : sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α tan 2α = 2tanα 1−tan2 α si tan α ∈ / {−1, 1} Formules de Carnot : 1 + cos α = 2 cos2 α 2 1 − cos α = 2 sin2 α 2 si sin α = 2tan α 2 1+tan2 α 2 cos α = 1−tan2 α 2 1+tan2 α 2 tan α = 2tan α 2 1−tan2 α 2 tan α 2 ∈ / {−1, 1} Formulaire de trigonométrie Formules de Simpson : cos p + cos q = 2 cos p+q 2 cos p − cos q = −2 sin p−q 2 cos p+q 2 sin p−q 2 sin p + sin q = 2 sin p+q 2 cos p−q 2 sin p − sin q = 2 cos p+q 2 sin p−q 2 Exercices 1 2 3 4 5 Calculer sans calculatrice le sin 1200 et le cos 2400 8 4 Si cos α = et sin β = , calculer cos(α + β) et sin(α − β) 17 5 b Si tan x = calculer a cos 2x + b sin 2x a 1 − cos 2x + sin 2x Montrer que =tan x 1 + cos 2x + sin 2x Vérifier l’identité sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α