cours sur les nombres complexes

Les nombres complexes.
1°) Définitions.
Soient a et b deux réels quelconques, le couple ordonné (a,b) est appelé nombre complexe. A est appelée partie réelle du
complexe et b partie imaginaire. L’ensemble des nombres complexes est noté C.
Représentation.
Dans le plan rapporté au repère orthonormé, le point M d’abscisse a et d’ordonnée b est appelé image du complexe z = (a,b).
On dit encore que z est l’affixe de M.
ρ
θ
Argument.
si a = b = 0 alors M est confondu avec O et on pose z = 0
(
)
sinon l’angle θ = Ox, OM est appelé l’argument de z. Il est défini à 2kπ près où k∈IN.
Module.
On appelle module de z et on note |z| la longueur OM. On note ρ = OM .
Remarque : On a alors : a = ρ×cos θ et b = ρ×sin θ et réciproquement ρ =
a 2 + b 2 et tan θ =
b
, on peut alors noter z =
a
(a,b) ou z = (ρ,θ).
Egalité.
Deux complexes z1 = (a1 ,b1) et z2 = (a2 ,b2) sont égaux si et seulement si a1 = a2 et b1 = b2 c’est à dire si les images M1 et M2
sont confondues.
Deux complexes sont égaux si et seulement si les modules sont égaux et les arguments sont égaux à 2kπ près.
2°) Opérations sur les complexes.
Conjugué.
Deux complexes z1 = (a1 ,b1) et z2 = (a2 ,b2) sont conjugués si et seulement si a1 = a2 et b1 = −b2 c’est à dire si les images M1 et
M2 sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Le conjugué de z se note z
Remarques : un nombre et son conjugué ont le même module et des arguments opposés. Le conjugué du conjugué est luimême : z = z
θ
−θ
ρ
ρ
Addition - soustraction.
On définit la somme de z1 = (a1 ,b1) et z2 = (a2 ,b2) par z1 + z2 = (a1+ a2 , b1+ b2)
Remarques :
Si on note M1 l’image de z1 , M2 l’image de z2 et M l’image de z = z1+ z2 alors on a : OM = OM 1 + OM 2
Puisque OM≤OM1+OM2 on a : |z1+z2| ≤ |z1| + |z2|, on retiendra le module d’une somme est inférieur ou égal à la
somme des modules.
On définit de la même manière la soustraction de z1 = (a1 ,b1) et z2 = (a2 ,b2) par z1 − z2 = (a1 − a2 , b1 − b2)
Remarque : l’addition et la soustraction des nombres complexes sont associatives et commutations comme leurs homologues
dans IR.
Multiplication.
On définit le produit des complexes z1 = (ρ1 ,θ1 ) et z2 = (ρ2 ,θ2 ) par le complexe z de module ρ1 × ρ2 et d’argument θ1 + θ2 .
On note (ρ1 ,θ1 )× (ρ2 ,θ2 ) = ( ρ1 × ρ2 , θ1 +θ2 ).
D’après ce qui précède :
la partie réelle de z est : ρ1 × ρ2 × cos (θ1 +θ2)
= ρ1 × ρ2 × [ cos (θ1) × cos(θ2) − sin (θ1) × sin(θ2) ]
= ρ1 × cos (θ1) × ρ2 ×cos(θ2) − ρ1 ×sin (θ1) × ρ2 ×sin(θ2)
= a 1 × a 2 − b 1 × b 2.
la partie imaginaire de z est : ρ1 × ρ2 × sin (θ1 +θ2) = a1 × b2 + b1 × a2.
On note alors : (a1,b1) × (a2,b2) = (a1 × a2 − b1 × b2 , a1 × b2 + b1 × a2 )
Division.
On définit le quotient des complexes z1 = (ρ1 ,θ1 ) et z2 = (ρ2 ,θ2 ) par le complexe z de module ρ1 ÷ ρ2 et d’argument θ1 − θ2 .
On note (ρ1 ,θ1 )× (ρ2 ,θ2 ) = ( ρ1 × ρ2 , θ1 − θ2 ).
En particulier :

1 1
=  ,−θ 
z  ρ

3°) Différentes notations.
Notation algébrique.
D’après ce qui précède, quelque soit le complexe (a,b) on a : (a,b) = (a,0)+(0,b)
Or les (a,0) a son image sur l’axe des abscisses, on peut le confondre avec le réel a et (0,b) a son image sur l’axe des ordonnée,
π
on dit que c’est un imaginaire pur. Son argument est toujours
On distingue en particulier (0,1) de module 1 et d’argument
π
2
2
+ 2k π .
+ 2kπ en le nommant i .
Puisque (a,0) correspond à a fois l’unité d’abscisse 1, on note (0,b) = b×i = ib , on peut écrire z = a+ib où i est un nombre
imaginaire tel que i² = (0,1)×(0,1) = (-1,0) = -1.
Le complexe z = (a,b) peut donc se noter z = a+ib où i² = -1.
C’est la notation algébrique de z. Son avantage est de simplifier la rédaction lors de sommes ou différences, en effet :
Si z = a+ib et z’ = c+id alors z+z’ = a+c + i( b+d ) et z−z’ = a−c + i( b−d )
Par contre elle n’est pas pratique lors des multiplications.
Notation trigonométrique.
On sait déjà que si z = (a,b) alors a = ρ×cos θ et b = ρ×sin θ or z peut s’écrire z = a+ib donc il vient :
z = ρ×( cos θ + i sin θ )
C’est la notation trigonométrique de z. Son avantage est de simplifier la rédaction lors de produits, en effet :
Si z = ρ1×( cos θ1 + i sin θ1) et z’ = ρ2×( cos θ2 + i sin θ2) alors zz’ = ρ1ρ2×( cos (θ1+θ2) + i sin (θ1+θ2) )
Et surtout : zn = ρ1n×( cos nθ1 + i sin nθ1)
Notation exponentielle.
Lorsqu’on élève un complexe a la puissance n on remarque que le module est élèvé à la puissance n et l’argument est multiplié
n fois, d’où la notation z = ρeiθ où eiθ = cos θ +i sin θ.
4°) Formule de De Moivre et formules d’Euler.
Si on considère les complexes de module 1 et d’argument θ, ils se notent : z = cos θ + i sin θ et on a :
zn = ρn×( cos nθ + i sin nθ) donc (cos θ + i sin θ )n = cos nθ + i sin nθ pour tout n ∈ IN C’est la formule de De Moivre.
Puisque : eiθ = cos θ +i sin θ on a aussi e-iθ = cos -θ +i sin -θ = cos θ − i sin θ d’où on obtient :
cos θ =
e iθ + e −iθ
e iθ − e −iθ
et sin θ =
ce sont les formules d’Euler.
2
2i
5°) Racines nièmes d’un nombre complexe.
Soit z’ = (r, α) un complexe on cherche les racines nièmes de z’. On cherche donc les z vérifiant zn = z’.
Notons z = (ρ,θ) = ρ×( cos θ + i sin θ)
Le module de zn est ρn et son argument est nθ donc ρn = r et nθ = α+2kπ où k ∈ IN
α 2 kπ
donc r = n ρ et θ = +
n
n
Lorsque k décrit IN, l’angle θ prend n valeurs distinctes dans [0 ;2π[, formant ainsi n complexes racines nièmes de z’ de même
module.
On retiendra : un complexe a n racines nièmes de même module, formant les sommets d’un polygone régulier si n>2.
Cas particuliers : les racines nièmes de l’unité.
6°) Résolution de l’équation du second degré.
Soient a,b,c des réels et z un nombre complexe. On cherche à résoudre az²+bz+c = 0 (1)
c
Soit a = 0 et alors (1) devient bz+c = 0 donc z = −
b
2
Soit a ≠ 0 et alors (1) devient z 2 +
2
b
c
b 
b2
c
b 
b 2 − 4ac


=0
z + = 0 donc  z +
 − 2 + = 0 donc  z +
 −
a
a
2a 
a
2a 
4a
4a 2


Notons alors ∆ = b2-4ac
−b+ ∆
−b− ∆
ou z =
2a
2a
−b
Soit ∆ = 0 donc z =
2a
−b+i −∆
−b−i −∆
ou z =
Soit ∆ < 0 donc -∆ > 0 et alors z =
2a
2a
Exemples : Résoudre x2-x-2 = 0 puis résoudre x2+x+1 = 0
Soit ∆ > 0 donc z =
7°) Applications à la géométrie.