Fonctions trigonométriques 1 Fonction sinus et cosinus 2
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Fonctions trigonométriques Première S2 Dans toute cette leçon, le plan est ramené à un repère orthonormé et les coordonnées des points et vecteurs seront relatives à ce repère. 1 Fonction sinus et cosinus 1.1 Dénition et représentation graphique Dénition 1 Les fonctions cosinus et sinus, notées cos et sin sont dénies respectivement par : cos : R x → R 7 → cos(x) sin : R x → R 7 → sin(x) Propriété 1 Les fonctions sinus et cosinus sont 2π périodiques, c'est à dire que l'on a pour tout x ∈ R : 1. cos(x + 2π) = cos(x) 2. sin(x + 2π) = sin(x) Propriété 2 La fonction cos est paire et que la fonction sin est impaire. 2 Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Etude en 0 Nous allons étudier la dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en 0. C'est à dire que nous allons rechercher le nombre dérivé de ces fonctions en 0. Comme nous ne disposons pas encore de formules permettant de calculer les dériviées des fonctions trigonométriques, nous devons revenir à la dénition de base de la dérivabilité : Dénition 2 (rappel) Une fonction lorsque h → 0. f est dérivable en x0 si le quotient f (x0 +h)−f (x0 ) h amdet une limite nie Exercice 1: Dérivabilité de la fonction sinus en 0 Nous allons rechercher la limite de sin(h) lorsque h → 0. Si cette limite existe et est nie cela voudra dire que h la fonction sinus est dérivable en 0 et la valeur de cette limite sera le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 Soit h ∈ 0; π2 , M le point d'abscisse curviligne h du cercle trigonométrique et T le point de concours de la perpendicualire à (OI) en I et de la droite (OM ). 1. Faire une gure. 2. Exprimer l'aire du secteur angulaire IOM en fonction de h. 3. Exprimer l'aire du triangle OAM en fonction de h. 4. Exprimer l'aire du triangle OIT en fonction de h. 5. Déduire des questions précédentes, en comparant les aires calculées, l'inégalité : cos(h) ≤ sin(h) 1 ≤ h cos(h) 6. L'hypothèse h > 0 est-elle nécéssaire pour obtenir cette inégalité ? 1 Fonctions trigonométriques 7. Quelle est la limite de cos(h) lorsque h tend vers 0 ? Que peut on alors conclure de l'inégalité précédente ? 8. Soit h un réel de l'intervalle −π 2 ; 0 . Démontrer que l'on a : cos(h) ≤ sin(h) 1 ≤ h cos(h) On pourra à cette n poser h0 = −h et utiliser l'inégalité précédente. 9. Que peut on conclure de cette dernière inégalité ? 10. Finalement quelle est la valeur de (sin(0))0 Exercice 2: Dérivabilité de la fonction cosinus en 0 Nous allons rechercher la limite de cos(h)−1 lorsque h → 0. Si cette limite existe et est nie cela voudra dire h que la fonction cosinus est dérivable en 0 et la valeur de cette limite sera le nombre dérivé de la fonction cosinus en 0 π Soit h ∈ 0; 2 , M le point d'abscisse curviligne h du cercle trigonométrique. 1. Faire une gure. 2. Exprimer la longueur du segment[IM ]et de l'arc de cercle IM fonction de h. 3. En eectuant des considérations sur les longueurs démontrer que p 2(1 − cos(h)) ≤ h 4. En déduire que : 1 − cos(h) ≤ h2 2 5. Quelle propriété permet d'armer que 1 − cos(h) est positif ? 6. Vérier que l'inégalité précédente reste valable si on suppose que h est dans l'intervalle − π2 ; 0 7. Dédurie de ce qui précède la limite du quotient : lorsque h tend vers 0 8. Finalement quelle est la valeur de (cos(0))0 . Théorème 1 On a lim h→0 et cos(h) − 1 h sin(h) =1 h cos(h) − 1 =0 h Par conséquent, la fonction sin est dérivable en 0 et sin0 (0) = 1 et la fonction cos est dérivable en 0 et on a cos0 (0) = 1 lim h→0 2.2 Cas général Exercice 3: Soi x ∈ R. En utilisant les résultats démontrés précédemment et les formules de duplication, déterminer les limites lorsque h → 0 des quotients dérivées des fonctions sinus et cosinus. cos(x+h)−cos(x) h et sin(x+h)−sin(x) h . En déduire les fonctions Théorème 2 Les fonctions sin et cos sont dérivables sur R et on a de plus sin0 (x) = cos(x) cos0 (x) = − sin(x) 2 Première S2 Fonctions trigonométriques 3 Sens de variation des fonctions sin et cos Nous donnerons les variations de ces fonctions sur l'intervalle [−π; π]. 3.1 Fonction sin x cos(x) sin(x) 0 −π 2 −π 3.2 Fonction cos x − sin(x) cos(x) −π 2 −π π 2 0 π π 2 π 3.3 Représentations graphiques y = cos(x) y = sin(x) −2π Fig. 0 −π π 2π 1: Représentation graphique des fonctions cos et sin 3.4 Fonction tan Exercice 4: π π −2; 2 → On considère la fonction f : x 7→ 3 R sin(x) cos(x) Première S2 Fonctions trigonométriques 1. 2. 3. 4. Calculer la dérivée de cette fonction. Vérier que f 0 (x) = cos12 (x) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de déntion. sin(x) . Vérier que l'on dénit ainsi une fonction π On pose pour x ∈ R tel que cos(x) 6= 0, tan(x) = cos(x) périodique. 5. Tracer la représentation graphique de la fonction tan. 4 Composée d'une fonction ane et d'une fonction trigonométrique Théorème 3 Soit a, b ∈ R, on considère les fonctions et f :R x → R 7 → cos(ax + b) g:R x → R 7 → sin(ax + b) Les fonctions f et g sont dérivables sur R et on a f 0 (x) = −a sin(ax + b) et g 0 (x) = a cos(ax + b) 4 Première S2
