Indications de correction pour le DM sur l`irréductibilité

Master 1 de mathématiques
Algèbre générale de base
ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
Indications de correction pour le DM sur l’irréductibilité
Références
[Per96] Daniel Perrin : Cours d’algèbre. Ellipses, 1996.
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Irréductibilité vs racines
Exercice 1.1 - Irréductibilité vs racines dans k.
1. Soit P ∈ k[X] irréductible et qui admet a ∈ k pour racine. Alors X − a | P et il existe donc Q ∈ k[X] tel
que P = (X − a)Q. Par irréductibilité de P , nécessairement Q ∈ k ∗ et P est de la forme λ(X − a) avec
λ ∈ k ∗ . La réciproque est claire. Ainsi les polynômes irréductibles de k[X] qui ont une racine dans k sont
les polynômes de degré 1.
2. Si P est irréductible et de degré 2 ou 3, alors P ne peut pas avoir de facteur linéaire et il n’a donc pas de
racine dans k. Réciproquement, en contraposant, si P est réductible et de degré 2 ou 3, alors, pour une
factorisation P = QR non triviale, Q ou R est de degré 1 et P a une racine dans k.
√
√
3. X 4 + 1 est sans racine dans R, mais se factorise en (X 2 − 2X + 1)(X 2 + 2X + 1).
Exercice 1.2 - Racines rationnelles.
1. P (p/q) = 0 équivaut à an pn + an−1 pn−1 q + · · · + a1 pq n−1 + a0 q n = 0, ainsi p | a0 q n et q | an pn , or
pgcd(p, q) = 1, on conclut donc en vertu du lemme de Gauß.
2. D’après la question précédente, les éventuelles racines rationnelles de P = X 3 − X 2 + 2X + 5 appartiennent à l’ensemble {±1, ±5}, or P (±1) 6= 0 et P (±5) 6= 0. Ainsi P n’a pas de racine rationnelle
et, étant de degré 3, il est irréductible sur Q.
Exercice 1.4 - Irréductibilité vs racines dans les extensions de k.
1. Si P est irréductible, soit K une extension de k contenant une racine a de P , alors [K : k] > [k[a] : k] =
deg πa,k = n. Réciproquement, en contraposant, si P est réductible il admet un facteur irréductible Q de
degré inférieur à n/2. P admet alors une racine dans un corps de rupture de Q, i.e. dans une extension
de k de degré inférieur à n/2.
2. D’après la question précédente P = X 4 + X + 1 est irréductible sur F2 si et seulement s’il n’a pas de racine
dans les extensions de F2 de degré inférieur à 2. Or, à isomorphisme près, F2 a une unique extension de
degré 2, à savoir F4 = F2 [j] = F2 [X]/(X 2 +X +1) = {0, 1, j, j + 1}, et P (0) = P (1) = P (j) = P (j +1) = 1.
Ainsi P n’a pas de racine dans F4 et est donc irréductible sur F2 .
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ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
Irréductibilité sur les anneaux factoriels
Exercice 2.2 - Démonstration de la proposition 2.1.
1. [Per96, Proposition II.4.4 p. 51].
2. Ibidem.
3. Le polynôme 2X est irréductible sur Q mais pas sur Z. En effet il n’est pas primitif, puisque de contenu
égal à 2, et 2 et X sont deux irréductibles de Z[X].
Exercice 2.5 - Démonstration de la proposition 2.4. Démonstration de [Per96, Th. III.3.2 p. 76].
Exercice 2.6 - Applications.
1. P = X p−1 + · · · + X + 1 étant unitaire donc primitif, il est irréductible sur Z si et seulement s’il l’est sur
Q. En outre,
p (Y + 1)p − 1 X p
P (Y + 1) =
=
Y i−1
(Y + 1) − 1
i
i=1
p
p
p
2
et p - p = 1, p | i , pour 1 6 i 6 p − 1, et p - 1 = p. Ainsi, en vertu du critère d’Eisenstein appliqué
avec l’élément premier p de l’anneau factoriel Z, P (Y + 1) et donc P sont irréductibles sur Q.
2. X est un irréductible de l’anneau factoriel k[X] (k est un corps) et X - 1, X | X(X − 1)(X − λ) et
X 2 - X(X − 1)(X − λ), ainsi P = Y 2 − X(X − 1)(X − λ) est irréductible dans k(X)[Y ], en vertu du critère
d’Eisenstein. En outre, P est unitaire donc primitif, ainsi il est irréductible dans k[X][Y ] ' k[X, Y ].
Exercice 2.8 - Démonstration de la proposition 2.7. Démonstration de [Per96, Th. III.3.5 p. 77].
Exercice 2.9 - Applications.
1. P = X 3 + 82X 2 + 37X − 15 = X 3 + X + 1 mod 2 est de degré 3 et sans racine dans F2 , il est donc
irréductible sur F2 . Ainsi, en vertu du critère de réduction appliqué avec l’idéal premier (2) de l’anneau
factoriel Z, P est irréductible sur Q et donc sur Z, puisqu’il est primitif.
2. L’idéal (Y ) est premier dans l’anneau factoriel R[Y ] et P = X 2 + Y 2 + 1 = X 2 + 1 mod (Y ) est de degré
2 et sans racine dans R ' R[Y ]/(Y ), donc irréductible sur R. Ainsi, en vertu du critère de réduction, P
est irréductible dans R(Y )[X] et donc dans R[X, Y ] ' R[Y ][X], puisque primitif.
3. Naturellement P = X 5 + X 2 + X + 2 n’est pas irréductible modulo 2, puisque P = X(X 4 + X + 1) mod 2.
En revanche, X 4 + X + 1 est irréductible sur F2 (sans racine dans F4 ). Ainsi si P est réductible sur Z, il
a nécessairement une racine dans Z, ce qui est exclu, puisque P n’a pas de racine dans {±1, ±2}.
Exercice 2.11 - Limite du critère de réduction.
1. Pour P = X 4 + 1, P (Y + 1) = Y 4 + 4Y 3 + 6Y 2 + 4Y + 2, ainsi P (Y + 1) est irréductible sur Q, en vertu
du critère d’Eisenstein appliqué avec le premier 2 de l’anneau factoriel Z. Il en va alors de même pour P .
2. (a) Sur F2 , on a X 4 + 1 = (X + 1)4 .
(b) x vérifie x8 = 1 et x4 = −1, ainsi x est d’ordre 8 dans K ∗ .
(c) p2 − 1 = (p − 1)(p + 1) est le produit de deux nombres pairs consécutifs, dont l’un est donc divisible
par 4.
(d) D’après la question 1 de l’exercice 1.4, il suffit, pour établir la réductibilité de X 4 + 1 sur Fp , de
montrer que X 4 + 1 admet une racine dans Fp2 , autrement dit qu’il existe des éléments d’ordre 8
dans F∗p2 . Or c’est le cas, puisque F∗p2 est un groupe cyclique d’ordre p2 − 1 qui est un multiple de 8.
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