Polynômes cyclotomiques

Sandrine C ARUSO
Polynômes cyclotomiques
Référence(s) : la plupart des livres d’algèbre, par exemple Demazure
Pour un développement, l’ensemble est peut-être trop long. Ajuster en admettant un
lemme, ou deux, ou le théorème 1...
Soient n un entier supérieur à 1, et ζ une racine primitive n-ième de l’unité. Le
n-ième polynôme cyclotomique est
Φn =
n
Y
(X − ζ k ).
k=1
k∧n=1
Théorème 1. Les polynômes cyclotomiques sont à coefficients dans Z.
Lemme 1.1. On a
Xn − 1 =
Y
Φd .
d|n
Q
Démonstration. Dans C, on a X n − 1 = nk=1 (X − ζ k ). On a la partition de J1, nK
suivante :
G
J1, nK = {k ∈ J1, nK, k ∧ n = d}.
d|n
En utilisant cette partition, on écrit
n
X −1=
n
Y Y
d|n
=
(X − ζ ) =
k=1
k∧n=d
d
Y Y
d|n
k
d|n
(X − ζ nk/d ) =
k=1
k∧d=1
n/d
Y
Y
(X − ζ kd )
k=1
k∧(n/d)=1
Y
Φd
d|n
la dernière égalité venant du fait que si ζ est une racine primitive n-ième de l’unité, ζ n/d
est une racine primitive d-ième.
Lemme 1.2. Soient A un anneau commutatif unitaire intègre et K un corps contenant
A. Soient F et G dans A[X], G unitaire1 , tels qu’il existe H ∈ K[X] vérifiant F = GH.
Alors H ∈ A[X].
1
Ou de coefficient dominant inversible.
1
Démonstration. Comme G est unitaire, on peut faire la division euclidienne de F par G
dans A[X]. On a ainsi
F = GQ + R
avec Q, R ∈ A[X] et deg R < deg G. Cette division euclidienne est bien entendu également la division euclidienne dans K[X] ; or, dans un tel anneau, la division euclidienne
est unique. On en déduit que R = 0 et Q = H, et donc H ∈ A[X].
Démontrons à présent le théorème 1 par récurrence sur n. On a Φ1 = X − 1, qui est
bien à coefficients dans Z. Soit n > 2, et supposons que tous les Φd pour d < n sont à
coefficients entiers. D’après le lemme 1.1, on a
Y
X n − 1 = Φn
Φd .
d|n
d6=n
Q
Par hypothèse de récurrence, d|n,d6=n Φd est à coefficients entiers, et c’est également le
cas de X n − 1. Donc d’après le lemme 1.2, Φn ∈ Z[X], ce qui conclut la récurrence.
Théorème 2. Pour tout n, le polynôme Φn est irréductible dans Z[X] (donc dans Q[X]).
Soient P ∈ Z[X] un facteur irréductible de Φn , et Q ∈ Z[X] tel que Φn = P Q.
Soit ζ une racine de P dans C. Nous allons montrer que pour tout nombre premier p ne
divisant pas n, ζ p est aussi racine de P . Supposons que ce ne soit pas le cas. Alors ζ p est
racine de Q, donc ζ est racine de Q(X p ). Comme P est irréductible, c’est le polynôme
minimal de ζ, et par conséquent, P |Q(X p ). Réduisons l’égalité Φn = P Q modulo p :
on a
Φn = P Q dans Fp .
p
p
De plus, Q(X p ) = Q ; comme P divise Q(X p ), P divise Q dans Fp . En particulier,
il existe S ∈ Fp [X], non constant, tel que S divise P et Q. Ainsi, S 2 divise Φn et donc
divise X n − 1̄. Or, (X n − 1̄)0 = n̄X n−1 , qui est premier avec X n − 1̄ car p ne divise
pas n. Par conséquent, X n − 1̄ ne peut pas avoir de facteur carré non constant, ce qui
contredit l’hypothèse faite au départ. Autrement dit, ζ p est racine de P .
Maintenant, pour k premier avec n, en écrivant k = pα1 1 · · · pαr r et en appliquant
récursivement le résultat précédent, on montre que ζ k est racine de P . Finalement, Φn
divise P et donc Φn = P est irréductible.
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