Probabilités et Statistique

Chapitre 1 :
Notion de probabilité
La probabilité mesure de manière objective les chances qu’un événement se produise.
I – Définitions et propriétés fondamentales
Soit une expérience aléatoire ℰ modélisée par (Ω , ࣛ) (N.B : ࣛ est une tribu ou σ-algèbre qui est
un ensemble qui regroupe d’une certaine façon les événements non élémentaires), et on définit sur
Ω la mesure de probabilité IP telle que :
IP : ࣛ → [0 ; 1]
A → IP(A)
IP vérifie trois axiomes :
(1)
IP(Ω) = 1
(2)
∀ A ∈ ࣛ ; 0 < IP(A) < 1
(3)
Soit (An)n ∈ IN une suite d’événements (de ࣛ) deux à deux incompatibles (ou disjoints),
∑IP(A )
c’est-à-dire ∀ i ≠ j, Ai ∩ Aj = ∅ ; alors : IP⋃ An =
n ∈ IN 
n
n ∈ IN
Exemple : Soit l’expérience aléatoire ℰ = "Lancer d’un dé".
Ω = {1, …, 6} et on définit IP sur Ω telle que :
1
IP({1}) = IP({2}) = … = IP({6}) =
6
On montre que IP ainsi définie est une probabilité, c’est-à-dire qu’elle vérifie les trois
propriétés de la définition.
I = "obtenir un nombre impair"
A = "obtenir un nombre pair"
3
6
I = {1, 3, 5} = {1} ∪ {3} ∪ {5} = I1 ∪ I2 ∪ I3
Montrons que IP(I) =
I1 ∩ I2 = "obtenir sur un lancer 1 et 3 à la fois" = {1} ∩ {3} = ∅
De la même façon : I2 ∩ I3 = ∅ et I1 ∩ I3 = ∅
I1, I2 et I3 sont trois événements deux à deux disjoints.
On applique le point (3) car on a supposé que IP était bien une probabilité.
3
IP(I) = IP(I1 ∪ I2 ∪ I3) = P
I  ⋃ Ii = P
I (I1) + IP(I2) + IP(I3)
i=1 
= IP({1}) + IP({3}) + IP({5}) =
12
3
6
Probabilités et Statistique
3 3
IP(A ∪ I) = IP(A) + IP(I) = + = 1
6 6
A∩I=∅
A ∪ I = "obtenir un chiffre pair ou impair" = Ω ; ce qui est cohérent avec (1) : IP(Ω) = 1.
Propriétés
1) Si A ∩ B = ∅ (A et B disjoints), IP(A ∪ B) = IP(A) + IP(B)
Démonstration : On applique (3) avec A1 = A et A2 = B et ∀ n ≥ 3, An = ∅.
2) IP(Ac) = IP(Ā) = 1 − IP(A)
Ac = Ā = complémentaire de A
Démonstration : Posons A = A et B = Ac
A ∩ B = A ∩ Ac = ∅ ⇒ A et B sont disjoints
On applique (1) ⇒ IP(A ∪ B) = IP(A) + IP(B)
⇒ IP(A ∪ Ac) = IP(A) + IP(Ac)
Or, A ∪ Ac = Ω ; donc, d’après (1), on a IP(A ∪ Ac) = IP(Ω) = 1.
D’où : 1 = IP(A ∪ Ac) = IP(A) + IP(Ac)
⇔ 1 − IP(A) = IP(Ac)
3) IP(∅) = 0
Démonstration : IP(∅) = 1 − IP(Ω) = 1 − 1 = 0
4) A ⊂ B ⇒ IP(A) ≤ IP(B)
Démonstration : B = A ∪ (B ∩ Ac)
Rappel : C = C ∩ Ω car C ⊂ Ω
Or, Ω = D ∪ Dc
Donc, C = C ∩ (D ∪ Dc) = (C ∩ D) ∪ (C ∩ Dc)
Résultat : C = (C ∩ D) ∪ (C ∩ Dc)
Appliquons ce résultat avec C = B et D = A.
B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Ac)
Or : A ⊂ B ⇒ B ∩ A = A
Donc : B = A ∪ (B ∩ Ac)
Et : A ∩ (B ∩ Ac) = B ∩ A ∩ Ac = B ∩ ∅ = ∅
⇒ A et B ∩ Ac sont disjoints
⇒ IP(B) = IP(A ∪ (B ∩ Ac) = IP(A) + IP(B ∩ Ac)
⇒ IP(B) − IP(A) = IP(B ∩ Ac) ≥ 0 car IP : ࣛ → [0 ; 1]
⇒ IP(B) − IP(A) ≥ 0 ⇒ IP(B) ≥ IP(A)
5) IP(A ∪ B) = IP(A) + IP(B) − IP(A ∩ B)
NB : Si on suppose A et B disjoints, alors on a IP(A ∩ B) = IP(∅) = 0 ⇒ IP(A ∪ B) = IP(A) + IP(B).
On retrouve la première propriété ; il n’y a pas d’incohérence.
Chapitre 1 − Notion de probabilités
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II – Calcul de probabilité
d’équiprobabilité
dans
le
cas
spécifique
Les deux exemples du lancer de dé et du lancer de pièce s’inscrivent dans le cas
d’équiprobabilité.
Par définition, on dira que l’on se situe dans un cas d’équiprobabilité si et seulement si :
• Ω est de cardinal fini, c’est-à-dire possède un nombre fini d’éléments ; Card{Ω} = m.
• Tous les éléments de Ω (les événements élémentaires) ont la même chance de réalisation.
Exemple : Ω = {Pile, Face}
Card{Ω} = 2
Comme la pièce est équilibrée, "Face" a autant de chances de tomber que "Pile".
Conclusion : On est bien dans un cas d’équiprobabilité.
Ce serait la même chose pour Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Il y a des cas plus compliqués.
Exemple : ℰ = "tirage de 3 cartes simultanément dans un jeu de 32 cartes"
Événement élémentaire : ω = {c1 , c2 , c3}
c 1 ≠ c 2, c 2 ≠ c 3, c 3 ≠ c 1
c1 , c2 , c3 ∈ {32 cartes}
Ensemble fondamental : Ω = {ω = (c1 , c2 , c3), ci ≠ cj, ci ∈ {32 cartes}}
NB : ω est une combinaison à 3 éléments parmi 32.
32!
; et donc que Card{Ω} est fini.
3! (32 − 3)!
D’autre part, chaque ensemble de 3 cartes a autant de chances de sortir que les autres.
3
On montrera que Card{Ω} = C 32 =
Conclusion : C’est un cas d’équiprobabilité.
Propriétés
1) Étant donnée une expérience aléatoire ℰ définie par (Ω , ࣛ) telle que :
• Card{Ω} = m
• ∀ ω ∈ Ω, ω a les mêmes chances de réalisation qu’un autre
C’est-à-dire un cas d’équiprobabilité.
Dans ce cas, on munit Ω de IP la probabilité uniforme définie par :
1
1
∀ ω ∈ Ω, IP(ω) =
=
Card{Ω} m
2) ∀ A ∈ ࣛ, IP(A) =
Card{A} nombre de cas favorables
=
Card{Ω} nombre de cas possibles
Card{A}
1
=
Card{Ω} Card{Ω}
On retrouve la définition de IP la probabilité uniforme.
Remarque : A = {ω} ⇒ IP(A) =
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Probabilités et Statistique
III – Rappels sur les outils de dénombrement
Une combinaison à p éléments pris parmi n est un ensemble de p éléments distincts et non
ordonnés choisis parmi n possibles.
ω = {c1 , …, cp}, ∀ i ≠ j, ci ≠ cj, ci ∈ {n éléments}
Ω = {ω = {c1 , …, cp}, ci ≠ cj ∀ i ≠ j, ci ∈ {p1 , …, pn}}
On montre que le nombre de combinaisons à p éléments parmi n est :
p
n!
Card{Ω} = C n =
p! (n − p)!
Exemple : On tire simultanément 3 cartes dans un jeu de 32 cartes.
Ω = {ω = (c1 , …, c3), ci ≠ cj ∀ i ≠ j, ci ∈ {32 cartes}}
3
32!
Card{Ω} = C 32 =
3! (32 − 3)!
32 × 31 × 30 × 29!
=
3! × 29!
32 × 31 × 30
=
= 4960 combinaisons possibles
6
Un arrangement de p élément parmi n est un ensemble de p éléments distincts et choisis parmi n
possibles.
ω = {c1 , …, cp}, ci ≠ cj ∀ i ≠ j, ci ∈ {p1 , …, pn}
Ω = {ω = {c1 , …, cp}, ci ≠ cj ∀ i ≠ j, ci ∈ {p1 , …, pn}}
On montre que le nombre d’arrangement de p éléments parmi n est :
p
n!
Card{Ω} = A n =
(n − p)!
Exemple : On tire successivement 3 cartes dans un jeu de 32 cartes, sans remise.
Ω = {ω = (c1 , …, c3), ci ≠ cj ∀ i ≠ j, ci ∈ {32 cartes}}
3
32!
Card{Ω} = A32 =
(32 − 3)!
=
32 × 31 × 30 × 29!
29!
= 32 × 31 × 30 = 29 760 arrangements possibles
Une permutation à n élément est un arrangement à n éléments parmi n.
ω = {c1 , …, cn}, ci ≠ cj ∀ i ≠ j, ci ∈ {p1 , …, pn}
Ω = {ω = {c1 , …, cn}, ci ≠ cj ∀ i ≠ j, ci ∈ {p1 , …, pn}}
On montre que le nombre de permutations à n élément est :
n
Card{Ω} = A n = n!
Exemple : La façon de placer n personnes sur n sièges.
Chapitre 1 − Notion de probabilités
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Un produit cartésien d’ensemble est défini par :
Si : Ω = {ω = {c1 , …, cn} avec ci ∈ IEi , i = {1, …, n}}
= IE1 × IE2 × … × IEn
Alors Card{Ω} = Card{IE1} × Card{IE2} × … × Card{IEn}
Un sous-cas des produits cartésiens d’ensemble est les p-hôtes :
Ω = {ω = {c1 , …, cp}, ci ∈ IEi}
= IE × IE × … × IE [p fois]
Si Card{IE} = n ; alors Card{Ω} = n p
Exemple : Reprenons l’exemple des cartes tirées successivement, mais avec remise cette fois.
Ω = {ω = (c1 , c2 , c3), ci ∈ {32 cartes = IE}}
Ω = IE × IE × IE ⇒ Card{Ω} = 323 = 32768
IV – Principes de dénombrements
Soit A un événement. On suppose que A se décompose en m phases successives :
Phase 1 qui compte n1 résultats possibles
Phase 2
–
n2
–
.
.
.
.
.
.
.
.
Phase m
–
nm résultats possibles
Exemple : Tirage simultané de trois cartes.
A = "tirer 3 cartes de même rang"
NB : Dans un jeu de 32 cartes, il y a 8 rangs.
A = {ω = (c1 , c2 , c3), ci ≠ cj ∀ i ≠ j, ci ∈ {32 cartes}, rang{c1} = rang{c2} = rang{c3}}
A se décompose en deux phases :
1
Phase 1 : Choix du rang ; C 8 = 8 choix
3
Phase 2 : Choix de trois cartes du rang retenu ; C 4 = 4 choix
1
3
Donc : Card{A} = C 8 × C 4
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