Leçon 2 Les probabilités

Leçon 2
Les probabilités
Le champ d’application des probabilités est très large. Sciences et économie les utilisent
beaucoup. En 1reES, il s’agit de prendre contact avec le vocabulaire et les techniques de base
car le principal du cours se fait en Terminale où nous reprenons tout généralement de A à Z.
Lycée
Elève :
Classe :
Première ES
Fiche Leçon 2
Les probabilités
Exercice 1
Dans un sac contenant 3 boules rouges et 2 boules noires, on tire 2 boules l’une après l’autre
sans remettre la boule tirée dans le sac.
Déterminer le nombre total de tirages possibles
Soit A : « tirer deux rouges » et B : « tirer au moins une rouge ».
Calculer P(A) et P(B)
C : « tirer deux boules de la même couleur » et D : « faire un tirage bicolore ». Calculer P(C)
et P(D).
Exercice 2
On peut aborder un jeu truqué, l’exemple le plus classique est le dé pipé.
Supposons un dé où la face 1 a été lestée de façon à faire sortir plus souvent la face 6. On a
P(« 6 ») = 0,8 et P(«1») = 0,02. On considère que les autres faces sont équiprobables.
Calculer la probabilité d’avoir un nombre pair.
Exercice 3
Soit une course de chevaux à 15 partants, chercher le nombre total de tiercés possibles, le
nombre total de quartés et de quintés.
Exercice 4
(Notion de variable aléatoire)
On considère une loterie à la foire avec 30 billets dont 5 billets gagnent 15 € et 2 billets
gagnent 50 €, le reste étant des billets perdants.
On tire deux billets simultanément.
a) Donner les diverses valeurs possibles de la variable aléatoire X décrivant tous les gains
possibles.(On ne tiendra pas compte de la mise, prix d’achats des deux billets)
b) Donner la loi de probabilité de X.
c) Calculer l’espérance mathématique de X. A quel prix doit-on mettre le billet pour que cette
loterie soit équitable.
Correction
Exercice 1
La première chose est de donner l’univers, ce n’est pas le sac mais l’action faîte dans le sac
pour cet exercice.
E = {(x ; y) x et y étant deux boules différentes du sac}.Attention,l’ordre intervient dans le
tirage des boules.
Ensuite le cardinal de l’univers c’est-à-dire le nombre total de tirages possibles ou si on le
dit plus généralement, le nombre total d’éventualités.
Card E = 5 × 4 = 20 tirages possibles (Nous avons 5 choix possibles pour la première boule et
4 pour la suivante car nous n’avons pas remis la première boule tirée.)
Pour compter les éventualités, en Terminale ES, on apprend des formules (Nombres de plistes, arrangements ou combinaisons) mais en première, on se contente de faire un tableau ou
un arbre.
Le tableau
r1
r2
r3
n1
n2
r2
r3 n1
r1
**** (r2 ;r1) Etc.
(r1;r2) ****
(r1;r3)
***
Etc.
***
n2
Horizontalement, la première
boule tirée et verticalement,
la deuxième. La diagonale
est interdite ici.
***
(r1;r2) signifie que l’on a tiré en premier une boule rouge et en deuxième une deuxième boule
rouge. Il y a bien 20 cases à remplies.
L’arbre
r2 …….(r1 ; r2)
r3 . . . . . . . (r1 ; r3)
n1. . . . . . . .(r1 ; n1)
n2 . . . . . . . (r1 ; n2)
r1 . . . . . . . (r2 ; r1)
r3 . . . . . . . .(r2 ; r3)
n1. . . . . . . .(r2 ; n1)
n2. . . . . . . . (r2 ; n2)
r1
r2
r3
etc.
n1
etc.
n2
Nous trouvons bien 20 « branches ».
Dans cet exercice, chaque tirage est équiprobable c’est-à-dire dû au pur hasard et nous allons
appliquer la formule Pascal :
Soit A un événement alors P(A) =
card A
.
card E
Card A, le nombre de tirages donnant A
Card E, le nombre total d’éventualités.
Cette formule s’apparente à la formule donnant la fréquence d’apparition en % d’une variable
statistique.
3
3× 2 6
= = = 0,3 = 30 % .
20 20 10
(Pour le cardinal de A, on peut compter les cases ou bien raisonner en disant, on a 3 choix
possibles pour la première rouge et 2 choix possibles pour la deuxième)
(Il y a trois façons de donner la réponse, en quotient irréductible, en décimal ou en
pourcentage). Propriété importante : ∀A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
0 est la probabilité de l’événement impossible (ici, par exemple tirer une rouge et une
blanche) et 1 celle de l’événement certain (ici, tirer deux boules).
B est composé de deux évènements, B1 : «tirer une rouge et une noire » et A : « tirer deux
rouges ». Nous écrivons B = B1∪A. Ces deux évènements sont incompatibles (B1∩A = ∅)
cela veut dire qu’ils ne peuvent pas se produire en même temps c’est-à-dire ils n’ont pas
d’éventualités en commun. Nous avons une formule, si on a deux évènements incompatibles
alors P(A∪B) = P(A) + P(B).
Remarque, si les deux évènements ne sont pas incompatibles alors :
P(A) =
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
C’est une formule qui vient des ensembles, si on a deux ensembles qui ont une intersection,
c’est-à-dire une partie commune, alors si on les réunit, l’intersection est comptée deux fois et
donc :
Card(A∪B) = Card(A) + Card(B) − Card(A∩B)
Card(A∩B)=2
Card(A) = 5
Card(B) = 3
A∪B
Nous avons bien sur cet exemple (Attention, ce n’est pas une démonstration) :
Card(A∪B) = 5 + 3 − 2 = 6.
Nous voyons que les probabilités utilisent beaucoup le langage et les propriétés des
ensembles. Ici, nous avons donc, P(B) = P(B1) + P(A).
P(B1) = P(« tirer la rouge puis la noire » + P(« tirer la noire puis la rouge »)
3 × 2 2 × 3 12 3
+
=
=
= (On dit 3 chances sur 5 soit 60 %).
20
20
20 5
9
3 3
. C’est un événement très probable (90% de chance de se produire).
+ =
10 5 10
Remarques
a) Nous pouvons vérifier en comptant les cases ou les branches de l’arbre (18 sur 20).
P(B) =
b) Nous pouvons utiliser pour cette question l’événement contraire.
Définition et théorème
Tout événement A possède son événement contraire noté A .
( A ∪ A = E ; A ∩ A =∅) et nous avons P(A) = 1− P( A ).
Dans cette question, l’événement contraire de B est B : « tirer 2 noires »
2 x1 1
1
9
=
et on a bien P(B) = 1 −
=
.
P( B ) =
20 10
10 10
C : « tirer deux boules de la même couleur »
P(C) = P(« tirer 2 rouges ») + P(« tirer 2 noires »)
2
3
2
8
=
=
+
=
(ou 0,4 ou 40 %)
10 20 20 5
D est l’événement contraire de C et donc P(D) =1 – P(C) =
3
.
5
Exercice 2
E = {{a}, une des faces du dé} ({a} s’appelle un singleton)
Propriété, P(E) = 1 or ici,
P(E) = P(« 1 ») + P(« 2 ») + P(« 3 ») + P(« 4 ») + P(« 5 ») + P(« 6 »).
Posons x = P(« 2 ») = P(« 3 ») = P(« 4 ») = P(« 5 ») et donc,
4x + 0,02 + 0,8 = 1 et donc 4x = 0,18 donc x = 0,045.
P(« avoir un nombre pair ») = P(« 2 ») + P(« 4 ») + P(« 6 »)
(Evènements incompatibles)
P(« avoir un nombre pair ») = 0,045 + 0, 045 + 0,8 = 0,89 soit 89 % ! alors que si le dé n’est
1
1
pas truqué, la probabilité est 3 × =
= 0,5 soit 50 %.
6
2
Exercice 3
Cet exercice montre que le calcul des probabilités utilise le dénombrement c’est-à-dire le fait
de compter les éventualités. En Terminale, le cours commence par les techniques de
dénombrement.
Dans un tiercé, l’univers est E ={(a,b,c) a,b et c trois chevaux différents}
L’ordre intervient sinon nous écririons {a,b,c}.
Card E = 15 × 14 × 13 = 2 730 tiercés possibles.
15 choix possibles pour le premier cheval puis 14 et enfin 13 pour le troisième.
Attention, 4, 5, 12 est compté différent de 5, 4, 12. Si nous jouons toutes les combinaisons,
nous allons gagner plusieurs fois, une fois dans l’ordre et 5 fois dans le désordre.
6
=
2 730
0,0021 soit 0,2 %. La probabilité de gagner est donc faible ! On suppose en plus que le
résultat de la course est dû au pur hasard, cela n’est par si sûr !
Pour les quartés, Card (Quartés) = 15 × 14 × 13 × 12 = 32 760 éventualités.
Pour les quintés, Card (Quintés) = 15 × 14 × 13 × 12 × 11 = 360 360 éventualités. Cela devient
très dur !
Remarque : quelles sont nos chances da gagner dans l’ordre ou le désordre, P(G) =
Exercice 4
a) E = {{a ; b} a et b deux billets différents du sac}
(Le mot simultanément implique que l’ordre n’intervient pas)
30 × 29
Card E =
= 435 éventualités.
2
En effet, on tire simultanément les deux billets, c’est-à-dire que a puis b est considéré
comme le même tirage que b puis a et en fait, on a un ensemble de deux billets c’est-à-dire
une paire {a ; b}. 30 choix possibles pour le premier billet puis 29 pour le deuxième mais
on divise par 2 car un ensemble de deux billets correspond à 2 couples.
X, variable aléatoire est une application de l’ensemble des évènements dans R, elle prend
ici les valeurs suivantes :
0, on a deux billets perdants.
15, on a un billet à 15 € et un billet perdant.
30, on a deux billets à 15 €.
50, on a un billet à 50 € et un billet perdant.
65, on a un billet à 50 € et un billet à 15 €.
100, on a deux billets à 50 €.
On écrit généralement E’ = {0 ; 15 ; 30 ; 50 ; 65 ; 100}
b) Cherchons la loi de probabilité de X.
23 × 22
253
2
P(X = 0) =
=
.
435
435
On a 23 billets perdants, on divise par 2 pour la même raison vue ci-dessus)
(5 × 23) + (23 × 5)
115
2
P(X = 15) =
=
.
435
435
On garde 115 pour additionner à la fin, on raisonne d’abord s’il y avait un ordre dans les
tirages c’est-à-dire on peut tirer le billet gagnant 15€ en premier ou en deuxième.
5× 4
10
P(X = 30) = 2 =
.
435
435
(2 × 23) + (23 × 2)
46
2
P(X = 50) =
=
.
435
435
Même raisonnement que pour X = 15.
(2 × 5) + (5 × 2)
10
2
P(X = 65) =
=
.
435
435
2 ×1
1
P(X = 100) = 2 =
.
435 435
Remarque, on a Σ P(X=i) = 1.
En effet, on a la somme des probabilités de toutes les possibilités donc nous obtenons
P(E).
c) Définition de l’espérance mathématique
Soit une variable aléatoire X, on appelle espérance mathématique de X :
E(X) = ∑ i × P( X = i )
i
C’est en fait une moyenne et souvent dans les exercices, elle permet d’estimer le gain
moyen que l’on peut espérer si nous étudions un jeu d’argent.
Si E(X) = 0, on dit que le jeu est équitable.
Supposons ici que le prix d’un billet est a, a > 0, alors les gains seront :
−2a (C’est une perte) ou 15 − 2a ou 30 − 2a ou 50 − 2a ou 65 − 2a ou 100 − 2a.
Calculons E(X).
253
115
10
46
10
× (−2a ) +
(15 − 2a) +
(30 − 2a) +
(50 − 2a) +
(65 − 2a) +
435
435
435
435
435
5 075 − 870a
1
.
(100 − 2a) =
435
435
5 075 − 870a
La loterie sera équitable si et seulement si
= 0 soit
435
5 075
5 075 − 870a = 0 ⇔ a =
≈ 5,8 3 €.
870
Il faudra fixer le prix du billet à 5,83 € pour être très prêt de rendre cette loterie équitable.
E(X) =
Un plus
Il y a un lien entre probabilités et statistiques, en effet, souvent, pour étudier une situation, on
effectue une simulation sur ordinateur.
Appelons P(A) la probabilité de la situation A étudiée et f(A) sa fréquence d’apparition
constatée dans la simulation.
Théorème
Si on appelle N, le nombre de fois que la situation est testée, alors :

1
1 
f ( A ) ∈ P ( A ) −
; P(A) +

N
N

Montrons un exemple :
On peut simuler une famille de 4 enfants avec un tirage aléatoire de 4 entiers compris entre 0
et 9(0, 2, 4, 6, 8 représentant les enfants de sexe masculin et 1, 3, 5, 7, 9 ceux de sexe féminin
car nous voulons 50% et 50%). Par exemple 4522 représente une famille ayant 3 garçons et
une fille.
On veut étudier les familles ayant 4 enfants de même sexe (Evénement A).
Cherchons P(A).
On peut écrire toutes les situations : (Nous pouvons aussi faire un arbre )
GGGG
G …………..GGGG
GGGF
G
F ………..….GGGF
GGFG
GGFF
G
G …….……..GGFG
GFGG
F
GFGF
G
G
F ……….…..GGFF
GFFG
F
etc.
GFFF
F
FGGG
FGGF
G
FGFG
FGFF
F
(à vous de compléter)
FFGG
F
FFGF
FFFG
FFFF
Les feuilles de cet arbre donnent toutes les solutions.
Nous comptons donc 16 situations différentes et 2 seulement donnent 4 enfants de même
2
sexe donc P(A) =
= 0,125 soit 12,5 %
16
Si on effectue 30 tirages de 4 nombres ou bien si on demande à la classe, à chaque élève de
donner un nombre de 4 chiffres, que va-t-il se passer ?
Nous risquons d’avoir une mauvaise simulation en effet :

1
1 
f(A)∈ 0,125 −
; 0,125 +
 c’est-à-dire f(A)∈ [− 0,06 ; 0,308
30
30 

donc [0% ; ≈31%], rien de précis.
]
!
Il faut donc faire un grand nombre d’expériences, par exemple 5000 dans un tableur et on aura
alors une simulation valable :

1
1 
f(A)∈ 0,125 −
; 0,125 +
 soit f(A)entre 11% et 14%.
5 000
5 000 

C’est la loi des grands nombres, la simulation permet d’approcher la probabilité si N est très
grand.