Terminale STI - Bac - Exercice 21 - Correction - XMaths

Terminale STI - Bac - Exercice 21 - Correction
1. On peut représenter l’épreuve qui consiste à lancer trois fois la pièce par l’arbre ci-dessous.
•
F
P
P
P
F
F
P
P
F
F
P
F
P
F
On observe alors qu’il existe 8 éventualités.
L’univers est : Ω = {PPP ; PPF ; PFP ; PFF ; FPP ; FPF ; FFP ; FFF} .
2. On calcule pour chaque éventualité la somme gagnée ou perdue, on obtient :
• PPP : −1 − 1 − 1 = −3
• PPF : −1 − 1 + 3 = 1
• PFP : −1 + 3 − 1 = 1
• PFF : −1 + 3 + 3 = 5
• FPP : 3 − 1 − 1 = 1
• FPF : 3 − 1 + 3 = 5
• FFP : 3 + 3 − 1 = 5
• FFF : 3 + 3 + 3 = 9
La variable aléatoire X prend donc les valeurs {−3 ; 1 ; 5 ; 9}.
La pièce étant supposée bien équilibrée, on peut supposer que la probabilité est uniforme.
card(A)
card(A)
Pour tout événement A, on a donc p(A) =
=
card(Ω)
8
1
3
On a card(X = −3) = 1, donc p(X = −3) =
card(X = 1) = 3, donc p(X = 1) =
8
8
3
1
card(X = 5) = 3, donc p(X = 5) =
card(X = 9) = 1, donc p(X = 9) =
8
8
La loi de probabilité de X est donc donnée par :
xi
−3
1
5
9
p(X = xi )
1
8
3
8
3
8
1
8
3. On a : E(X) = −3 × p(X = −3) + 1 × p(X = 1) + 5 × p(X = 5) + 9 × p(X = 9)
1
3
3
1
3 3 15 9
24
donc E(X) = −3 × + 1 × + 5 × + 9 × = − + +
+ =
8
8
8
8
8 8
8
8
8
donc : E(X) = 3 .
V (X) = (−3 − 3)2 × p(X = −3) + (1 − 3)2 × p(X = 1) + (5 − 3)2 × p(X = 5) + (9 − 3)2 × p(X = 9)
1
3
3
1
36 + 12 + 12 + 36
96
donc V (X) = 36 × + 4 × + 4 × + 36 × =
=
8
8
8
8
8
8
donc : V (X) = 12 .
On a : σ(X) =
p
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V (X) =
√
√
12, donc σ(X) = 2 3 .
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4. p(X 6 1) = p (X = −3) ∪ (X = 1)
donc p(X 6 1) = p(X = −3) + p(X = 1) (les événements (X = −3) et (X = 1) sont incompatibles )
1
1 3
4
Donc p(X 6 1) = + = , donc p(X 6 1) =
.
8 8
8
2
La fonction de répartition F de la variable aléatoire X est définie par :
F (x) = P (X 6 x) pour tout réel x.
• pour x ∈] − ∞; −3[, F (x) = 0
1
• pour x ∈ [−3; 1[, F (x) = p(X = −3) =
8
1
• pour x ∈ [1; 5[, F (x) = p(X 6 1) =
2
7
• pour x ∈ [5; 9[, F (x) = p(X 6 5) =
8
• pour x ∈ [9; +∞[, F (x) = p(X 6 9) = 1.
On peut alors tracer la courbe représentant la fonction de répartition de F :
1
7
8
1
2
1
8
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