Laboratoire d`Analyse – Recherche en Economie Quantitative

Topologie pour Économistes (1P), Cédrick Tombola & J–Paul Tsasa
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One Pager
Janvier 2013
Vol. 5 – Num. 015
Copyright © Laréq 2013
http://www.lareq.com
Analyse de la Structure d’eSpaceS Vectoriels
Série Topologie pour Économistes (1P)
Cédrick Tombola Muke et Jean–Paul Kimbambu, Tsasa Vangu
« Je suis venu à la position que l'analyse mathématique n'est pas une des nombreuses façons de
faire la théorie économique. C'est le seul moyen ! La théorie économique est l'analyse
mathématique. Tout le reste n'est que images et débats. »
Robert E. Lucas, Jr.
Résumé
Ce papier inaugure une série de publications sur la présentation de principaux concepts
topologiques jugés utiles pour un économiste. L’approche adoptée est à la fois pédagogique et
rigoureuse. Dans cette première publication, nous définissons
les ingrédients
de base et
érigeons le cadre d’analyse où s’appliqueront les concepts qui seront développés ultérieurement.
Mot – clé : loi de composition interne, vecteur, espaces vectoriels.
Abstract
In this paper, we present the concepts of vector spaces. In subsequent papers, we will use this
framework to introduce topological concepts more advanced and useful in the profession of
economist.
Introduction
D’entrée de jeu, notons que l’objectif poursuivi par le Laboratoire, dans cette série de présentation
pédagogique de différents concepts topologiques et théorèmes fondamentaux de « la » mathématique,
est triple : (i) permettre une appréhension rigoureuse des résultats majeurs en sciences économiques –
que nous projetons présenter dans les publications ultérieures ; (ii) mettre à la disposition de la
communauté universitaire locale, les matériels nécessaires permettant de mener une recherche sur la
frontière de connaissances et donc, accroître les possibilités de découvrir de choses nouvelles ; (iii)
renforcer le degré d’abstraction dans le raisonnement de jeunes chercheurs, prix à payer, dans de
nombreuses circonstances, afin de voir plus clairement les réalités et faits qui nous environnent.
Dans ce papier, première publication de la série topologie, nous nous proposons, d’une part, de définir
un concept (espaces vectoriels) servant d’arrière plan dans plusieurs résultats obtenus dans l’analyse
économique et d’autre part, de préparer un cadre où seront développés et appliqués d’autres concepts et
notions, à la fois, fondamentaux en topologie et utiles dans la profession de l’économiste.
Notons, au passage que dans ce panier de concepts, un se démarque distinctivement : les espaces
topologiques. Avant de nous atteler à la présentation des espaces topologiques et de ses différents cas
particuliers, il nous a paru préalablement pertinent de comprendre la structure des espaces vectoriels. En
effet, d’une part, l’appréhension de la structure d’espaces vectoriels prépare et rend plus aisée
l’introduction des notions que nous utiliserons plus couramment, telles que la métrique, la boule, les
fonctions bornées, le voisinage, l’adhérence, l’intérieur, la connexité ou la compacité. D’autre part, cette
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démarche permet de s’approprier les prérequis essentiels à une présentation plus rigoureuse des
concepts de Limites ; de Continuité et de dérivation et à une compréhension plus précise et élargie des
espaces topologiques, tels que les espaces compacts, connexes, séparables, métriques et métrisables,
mesurés et mesurables, de fonctions continues, de Hilbert ou de Banach.
En fin de compte, la construction de cette plateforme majestueuse devra, d’une part, nous servir de
présenter et de démontrer rigoureusement, pédagogiquement et sans ambiguïté les résultats
fondamentaux et majeurs obtenus en analyse économique et d’autre part, nous faciliter à œuvrer
dynamiquement sur la frontière de connaissances.
Le présent papier s’organise autour de trois sections principales. La première section définit la notion
d’ensemble et introduit celle de loi de composition interne. La deuxième section présente la structure
d’espace vectoriel. Et enfin, la troisième section s’intéresse à la notion de produit avant de dériver celle
de distance.
Ensemble et Lois de Composition interne
A l’effet de faciliter l’appréhension de la structure d’espaces vectoriels, il est important de considérer
préalablement ses quelques ingrédients fondamentaux. Ainsi, nous nous proposons de définir
soigneusement la notion d’ensemble et celle de loi de composition interne.
Un ensemble
est une collection d’objet
de nature identique ou différente. Le nombre
d’éléments dans un ensemble peut être fini, infini dénombrable ou infini dénombrable. Par exemple,
l’ensemble
des entiers naturels est infini dénombrable et
intervalle
est son cardinal1. Autre exemple, tout
est infini non – dénombrable, et possède autant d’éléments que
dans ce cas, on note
le nombre « puissance du continu ».
On peut munir l’ensemble
d’une structure correspondant à l’ensemble des opérations décrivant la
relation entre les éléments
on dit que
lui – même, et
de
Soit
la composition de
est une loi de composition interne et donc,
composition fait sortir le résultat de Si
est notée
est stable par
Si
Si
la loi de
et produit un élément appartenant dans un autre ensemble.
D’où, différentes structures par les ensembles, dont celle de corps, de groupe ou d’espace vectoriel.
Soit un point quelconque
dans un plan. Généralement, pour préciser sa position, on définit un système
de coordonnées rectangulaire :
l’ordonnée de
et le couple
préciser la position de
pour
et
L’expression
et
1
tel que
est un nombre correspondant à l’abscisse de
est un élément de
à
Parallèlement à cette démarche, on peut
en attachant un vecteur à chaque axe de coordonnées
et donc, parvenir à définir le vecteur
et
et
respectivement
et
et des vecteurs
tel que :
est une structure qui comprend à la fois des scalaires (nombres)
et elle effectue des opérations entre eux. Les vecteurs
et
forment ce qu’il convient de nommer
Le cardinal est un nombre d’éléments dans un ensemble fini ou infini dénombrable.
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base du plan. En plus, s’il n’existe pas un nombre réel
et
peuvent exprimer tout vecteur
tel que
les vecteurs
du plan suivant l’expression
Et par ailleurs, notons que
lorsque les vecteurs de la base sont unitaires (longueur unité) et perpendiculaire l’un à l’autre, la base
est dite orthonormée.
En effectuant le changement de base ou changement de repère, le même vecteur
tel que repris en
peut s’écrire comme :
où le changement de base se traduit par le passage de
à
et vice versa.
Espace vectoriel
La formalisation de la structure d’un espace vectoriel passe généralement par la prise en compte de la
notion de corps1 (ensemble
(i)
) dont la structure comprend deux lois de compositions interne :
la première loi de composition interne, notée
composition
Puisque
suivantes : (i.1)
associe à deux éléments
est une loi de composition interne,
est commutative,
élément du corps
(ii)
admet un inverse, noté
la deuxième loi de composition interne, notée
(i.2)
est associative,
;
de
l’élément
est commutative,
; (i.4) Sauf l’élément neutre
tout élément du corps
Aussi, précisons que la combinaison des lois
admet un inverse, noté
et
;
de la loi de composition
tel que
est commutative et distributive :
In fine, notons que (i) la loi de composition interne
et
sont respectivement dites loi additive et loi
possède une structure de groupe abélien2 vis – à vis de la loi
multiplicative ; (ii)
et
; (i.3) il existe un élément neutre ou
élément unité tel que
interne
; (i.4) tout
associe à deux éléments
caractérisé par les propriétés suivantes : (ii.1)
et (iii) les corps
classiques qui feront l’objet des analyses de la série topologie concernent les ensembles réels
complexes
vectoriel sur un corps
où les éléments de
2
et
avec l’addition et la multiplication, respectivement des réels et des complexes.
Enumérons à présent les axiomes qui permettent de caractériser un espace vectoriel. Si
1
la
est associative,
tel que
tel que
de
posséde les propriétés
; (i.2)
; (i.3) il existe un élément neutre
et
dont
et
un espace
sont les deux lois de composition internes, noté :
sont des vecteurs ; les conditions ci – après ont alors été satisfaites (axiomes).
Le concept de corps a été rigoureusement défini dans Tsasa (2013b, p.67).
Le concept de groupe abélien est décrit dans Tsasa (2013a, p.33). Un ensemble
est un groupe abélien ou groupe
commutatif
, du nom du mathématicien norvégien Niels Henrik Abel) lorsque sa loi de composition interne est
commutative :
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Axiome 1 : il existe une loi de composition interne
: (i.1)
qui, à deux élément
est commutative,
; (i.2)
; (i.3) il existe un élément neutre
élément
de
admet un inverse
de
associe l’élément
est associative,
tel que
tel que
; (i.4) tout
;
Axiome 2 : il existe une loi de composition interne
pour dériver un élément
et
de
dans
associant un scalaire
et
caractérisé par les propriétés suivantes : (ii.1) Distributivité par rapport aux
scalaires,
; (ii.2) Distributivité par rapport aux vecteurs,
; (ii.3) Associativité des scalaires par rapport aux scalaires,
; (i.4) Neutralité vis
– à - vis de l’élément unité du corps
Ainsi, d’après ces définitions, il vient que : (i)
la loi de composition interne
scalaires du corps
possède une structure de groupe abélien vis – à – vis de
; (ii) Proposition. si
toute combinaison linéaire avec des
appartient à
homothétie de l’extrémité de
; où le vecteur
Démonstration. Si
est une
donc
par
l’axiome 1.
Pour illustration, notons que
est un espace vectoriel sur le corps
sur elle – même. De même, l’ensemble des
vectoriel sur le corps
avec
; la ligne
réels ordonnés
est un espace vectoriel
forment un espace
tel que :
où la loi
est une opération de multiplication.
Produit scalaire et Métrique dans un espace vectoriel
Le produit scalaire est une opération qui permet, d’une part, de conférer à l’espace vectoriel un caractère
métrique et d’autre part, de préciser les définitions d’orthogonalité et de colinéarité. Considérons un
corps noté
vectoriel
De
tel que
Le produit scalaire est une opération qui associe deux vecteurs de l’espace
à un nombre réel :
il suit que :
Des expressions
et
on peut dériver l’inégalité triangulaire :
Proposition. Le produit scalaire est distributif :
où
et
sont
des scalaires indépendants.
Démonstration.
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(i)
Si
;
(ii)
Alors
(iii)
Et donc,
;
où
puisque
Le produit scalaire étant distributif, on a pour :
Définissons à présent les notions d’indépendance linéaire et de base d’un espace vectoriel.
Précédemment, nous avons évoqué la nécessité de disposer d’un repère comprenant deux vecteurs non
colinéaires dans le plan
:
ou par extension,
ou plus généralement,
Les vecteurs n’étant pax colinéaires :
Ainsi,
si les
éléments
d’un espace vectoriel sur le corps
sont linéairement indépendants si et seulement
forment une famille libre :
Si :
les
forment une famille liée.
Parallèlement, si un seul
le rang
égale à
on obtient :
Pour
tel que
Soit une famille libre
de ce système est égal à 1. Et si
le rang
est alors
telle que :
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La famille libre
constitue une base de l’espace
faisant varier les scalaires
En considérant une base
le produit scalaire
si et seulement si elle permet d’engendrer tout
en
:
telle que :
peut s’écrire en fonction de leurs composantes. Ainsi, on a :
1
Si l’on considère le cas spécifique des bases orthonormées, le produit scalaire devient :
et donc :
D’où,
vectoriel
norme de
Dès lors, on peut extraire de l’analyse la notion de distance dans l’espace
En effet, une distance est une application
de
dans
telle que les propriétés
suivantes sont satisfaites :
(i)
(ii)
(symétrie) ;
(séparation) ;
(iii)
(inégalité triagulaire).
Un espace vectoriel où une distance est définie, est désigné espace métrique. Lorsque ce dernier est doté
d’un produit scalaire sesquilinéaire, l’espace métrique est dit préhibertien. De même, nous distinguerons
d’autres cas spécifiques d’espaces métriques dans les publications ultérieures, selon qu’ils seront munis
de telle ou telle autre caractéristique ou structure remarquable. Ainsi, par exemple, un espace métrique
sera dit proprement euclidien lorsqu’on y déterminera une norme définie positive telle que seul le vecteur
nul possède une norme nulle. Dans le numéro qui suit, nous allons introduire une notion –Structure
d’espaces topologiques– qui permettra d’avoir une appréhension plus générale de la notion d’espaces en
topologie.
1
Le symbole * désigne la conjugaison complexe, le produit scalaire dans un espace vectoriel
étant défini par :
sur le corps complexe
Il ressort donc que l’ordre, dans ces deux opérations, est de rigueur, et que par ailleurs le produit scalaire est
sesquilinéaire c’est – à – dire à la fois linéaire par rapport au second vecteur du couple
et antilinéaire par
rapport au premier.
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Bibliographie

ACEMOGLU Daron, 2009, Introduction to Modern Economic Growth, Princeton University Press, New
Jersey, 990p.

AIGNER Martin et Günter M. ZIEGLER, 1998, Raisonnements Divins : Quelques Démonstrations
Mathématiques Particulièrement Elégantes, 2ième édition Springer, Berlin, 270p.

ASLANGUL Claude, 2011, Des Mathématiques pour les Sciences. Concepts, Méthodes et Techniques
pour la modélisation (Cours et Exercices), édition De Boeck Université, 1252p.

BOURBAKI Nicolas, 1981, Espaces Vectoriels Topologiques, Chapitre 1 à 5, Dunod, Paris, 368p.

BOURBAKI Nicolas, 2007, Eléments d’histoire des mathématiques, Springer, Berlin, 374p.

LJUNGQVIST Lars and Thomas J. SARGENT, 2004, Recursuve Macroeconomic Theory, 2nd edition,
The Massachusetts Institute of Technology Press, Cambridge, Massachusetts, 1082p.

MARCO Jean – Pierre, 2009, Mathématiques L3. Analyse (Cours complet avec 600 test et Exercices
corrigés), avec la collaboration de Hakim BOUMAZA, Benjamin COLLAS, Stéphane COLLION, Marie
DELLINGER, Zoé FAGET, Laurent LAZZARINI et Florent SCHAFFA_HAUSER), édition Pearson, Paris,
932p.

OK Efe A., 2007, Real Analysis with Economic Applications, Princeton University Press, Princeton,
802p.

RUDIN Walter, 1976, Principles of Mathematical Analysis, 3th edition, McGraw – Hill, New – York,
342p.

STOCKEY Nancy L. and Robert E. LUCAS, Jr., with Edward C. PRESCOTT, 1989, Recursive Methods
in Economic Dynamics, Harvard University Press, Massachusetts, 588p.

TSASA Jean – Paul, 2013a, « Ensemble R et Extraction de Quelques Théorèmes Fondamentaux »,
One Pager Laréq (janvier), vol. 5, num. 006, 31 – 36.

TSASA Jean – Paul, 2013b, « Corps des Nombres Complexes : Définitions, Règles de Calcul et
Théorèmes », One Pager Laréq (février), vol. 5, num. 011, 66 – 72.
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