Calculs Nautiques

Calculs Nautiques
Claude GRANAT
Ligue Maritime Belge
www.jacana.be
25 heures
Table des matières
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Introduction
Planing
Trigonométrie
Rappel trigonométrie plane
Trigonométrie sphérique
Le triangle rectangle sphérique
Le triangle polaire
Ex. Triangle Sphérique Rectangle
Triangle sphérique quelconque
Ex. Triangles Sphériques quelconques
Trigonométrie sphérique appliquée
Rappel navigation estimée
Navigation orthodromique
Route composite
Exercices Orthodromie
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Navigation Astronomique
Ephémérides
La mesure du temps
Corriger la hauteur lue sur le sextant
Latitude par la Méridienne
Latitude par Polaris
L’amplitude (vérification variation)
Droite de hauteur
Canevas Mercator
Naviguer avec les tables nautiques
Traverse Tables (Loxodromie)
Meridional Parts (Mercator Sailing)
Utiliser les tables logarithmiques
Haversines (hc, dist. orthodromique)
Tables ABC (Azimut, angles de route)
Les tables en navigation
orthodromique
Les tables en navigation astronomique
•
Rappels algèbre élémentaire
2
Calculs Nautiques
Notions de trigonométrie
Navigation Orthodromique
Navigation Astronomique
Utilisation des tables Nories
Navigation Orthodromique
• Navigation selon un grand cercle chemin
le plus court, cap à modifier constamment
• Distance orthodromique
• Angle de route au départ, à l’arrivée
• Vertex : position, distance jusqu’au vertex
• Longitude du nœud
• Gain Orthodromie / navigation loxodromique
4
Triangles sphériques de la navigation
orthodromique
5
Navigation Astronomique
• Méridienne détermination de la latitude
• Polaris Détermination de la latitude
(hémisphère Nord seulement)
• Amplitude : détermination de la variation du
compas (déclinaison + déviation)
• Droite de hauteur (soleil, planètes, étoiles,
lune)
6
Triangles sphériques de la navigation
astronomique
7
Comparaison triangles Ortho - Astro
8
Matériel souhaité
9
Planning
Séance
Matière
1
Introduction trigonométrie
2
Navigation Orthodromique
3
Navigation Ortho
Utilisation Nautical Almanach,
Corrections hauteurs sextant
Méridienne, Polaris
4
Navigation Astro
5
Navigation Astro
6
Navigation Astro
7
Navigation Astro
8
Navigation Astro
9
Tables Nories, calculs manuels
10
Révisions
10
Utiliser les tables (Nories)
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Navigation Orthodromique
Distance orthodromique, Angle de route
Navigation loxodromique (Traverse Tables)
Navigation Mercator (Meridional parts)
Navigation Astronomique
Calcul de la hauteur hc
Calcul de l’Azimut (Tables ABC)
Tables Traverses (Intercept/Azimut Point déterminatif)
Les formules à utiliser
Les formules Haversine
Calcul logarithmique (Multiplication Addition de logarithmes)
Tables trigonométriques
11
TRIGONOMETRIE
Rappel Trigonométrie Plane
Notions de Trigonométrie Sphérique
Notions de Trigonométrie
•La bonne réponse est …
13
Notions de trigonométrie
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•
Rappel éléments trigonométrie plane
Trigonométrie sphérique :
Triangle sphérique rectangle Règles de Napier
Triangle polaire : résolution triangle quadrantal
Triangle sphérique quelconque :
Règle des sinus,
Règle des cosinus des côtés
Règle des cosinus des Angles
14
Trigonométrie plane
Rappel éléments trigonométrie plane
Cercle trigonométrique
16
Relations trigonométriques du triangle
17
Segments remarquables
• hauteur : segment qui passe par l’angle opposé et qui est
perpendiculaire au côté ; leurs intersections déterminent
l’orthocentre.
• Médiane : segment qui joint l’angle opposé et le milieu du côté ;
leurs intersections déterminent le centre de gravité du triangle.
• Médiatrice : segment perpendiculaire au milieu d’un côté ; leurs
intersections déterminent le centre du cercle circonscrit.
• Bissectrice d’un angle : segment qui divise un angle en deux
angles adjacents de même amplitude ; leurs intersections
déterminent le centre du cercle inscrit dans le triangle.
18
19
Applications de la trigonométrie plane
20
Trigonométrie sphérique
•
•
•
Triangle sphérique rectangle Règles de Napier
Triangle polaire : résolution triangle quadrantal
Triangle sphérique quelconque :
–
Règle des sinus,
–
–
Règle des cosinus des côtés
Règle des cosinus des Angles
Types de triangles sphériques
• Triangle sphérique rectangle l’angle C est
déjà connu (= 90°) il suffit de connaître
seulement 2 paramètres (côtés et/ou angle
pour résoudre le triangle
• Triangle quadrantal (1 côté = 90°). Il pourra
être résolu via son triangle polaire associé qui
sera rectangle
• Triangle quelconque : résolu par la règle des
sinus, la règle du cosinus des côtés ou la
règle du cosinus des angles.
22
Arc de grand cercle
23
Triangle sphérique
24
Triangles sphériques : généralités
•
•
La partie de la surface d'une sphère limitée les arcs de grands cercles
de celle-ci est un triangle sphérique. Les arcs limites sont les côtés du
triangle sphérique et les sommets des trois angles sont les sommets du
triangle sphérique. Habituellement, les côtés sont désignés par a, b, c
et les angles opposés par A, B, C.
Pour les triangles sphériques dont chaque côté et chaque angle
est inférieur à 180°:
– La somme de deux côtés quelconque est supérieure au troisième
côté.
– La somme des trois côtés est inférieure à 360°.
– Si deux côtés sont égaux, les angles opposés correspondants
sont égaux et réciproquement.
– Si deux côtés sont inégaux, les angles opposés sont inégaux et le
plus grand angle est opposé au plus grand côté.
– La somme des trois angles est supérieure à 180°et infé rieure à
540°
25
Mesure de l’angle sphérique
•
La mesure d'un angle sphérique
APB est donnée par la mesure
de l'angle dièdre correspondant
AOB
•
Cf différence de longitude même valeur à l’équateur qu’au
pôle
26
Triangle sphérique rectangle
• Comme C est connu, il
suffit de connaître deux
éléments pour le
résoudre via la règle de
Napier
• Calcul du vertex et
latitude du nœud.
27
Règles de Napier
28
Règles de Napier
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•
•
•
Notion d’élément milieu, élément
adjacent, élément opposé
Si a est l’élément milieu alors
Co-B & b sont les éléments
adjacents
Co-c et Co-A sont les éléments
opposés.
Utiliser la fonction
complémentaire pour Co-B, Coc, Co-A
Fonctions complémentaires :
Sin Cos
Cos Sin
Tg Cotg (ou 1/tg)
29
Règles de Napier
• Sin (é_milieu) = Π [Tg(é_Adjacents)]
• Sin (é_milieu) = Π [Cos(é_Opposés)]
30
Napier : Règles des Quadrants
•
A & a sont toujours dans le même quadrant. B & b sont toujours dans le même quadrant
•
Si c < 90°alors les côtés a & b (et les angles A, B) sont dans le même quadrant.
•
Si c>90°alors les côtés a & b (et les angles A, B) sont dans des quadrants différents
c
SI
A
<90°
<90°
<90 °
> 90°
> 90°
> 90°
a
B, b
<90°
<90°
> 90°
> 90°
< 90°
< 90°
> 90°
> 90°
> 90°
< 90°
Alors
.
31
32
33
Triangle Polaire
•
•
•
•
Soient A, B, C les sommets d’un
triangle sphérique. Construisons les
3 grands cercles ayant ces
sommets pour pôle.
Notons A’, B’, C’ les sommets de ce
triangle polaire.
Les côtés sont notés a ’, b’, c’.
Si A’B’C’ est le triangle polaire de
ABC, alors ABC est le triangle
polaire de A’B’C’
Pour chacun des triangles polaires,
chaque angle de l’un des triangles
est égal au supplémentaire du côté
correspondant de l’autre triangle
A’=180°-a
B’= 180°-b
C’= 180°-c
A=180°-a’
B=180°-b’
•
C=180°-c’
•
•
•
•
34
Triangle polaire d’un triangle quadrantal
• Le triangle polaire d’un
triangle quadrantal
(c=90°) est donc un
triangle sphérique
rectangle
• Application : trouver la
longitude du nœud
d’une route
orthodromique
35
Triangles sphériques rectangles : exercices
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•
Résoudre les triangles sphériques rectangles ABC suivants :
a=125°24.8, b= 32°16.5’
A= 110°47.4’, B=37°46.4’, c= 119°20.2’
A=67°38.8’, B=155°12.6’
a=24°54.2’, b=169°0.0’, c=152°55,2’
A=33°50.5’, B=72°24.2’
A=29°23.1’, b=57°7.3’, c= 61°46.2’
Résoudre le triangle quadrantal A=32°53.6’, 115°24.9’
a= 35°36.3’, b=104°28.2’, C=68°52.7’
L’angle de route initial d’une route partant de Yokohama (N 35°37.0’, E 139°
39.0’) est de 30°40.0’. Trouver le point le plus proche du pôle Nord
N 58°0.7’, W 023°4.2’
Un navire quitte A (N 36°50.0’, W 076°20.0’) en pa rcourant un arc de grand
cercle et traverse l’équateur en W 050°0.0’. Donner l’a ngle de route initial et la
distance parcourue
AR(départ)=140°27.3’, distance=2,649.9 NM
36
Résolution via triangle polaire
•
Un navire quitte A (N 36°50.0’ - W 076°20.0’) en suiv ant une route
orthodromique qui lui fait franchir l’équateur en W 050°. Donner son angle de
route de départ et la distance parcourue.
•
Voir dessin
•
•
a est la colatitude de A (53°10’), B est la différence d e longitude (26°20’), c est
la colatitude du point de passage à l’équateur (90°) ==> triangle QUADRANTAL
à résoudre via le triangle polaire associé
Sont connus a, B ==> (a’= 180°-53°10’ et b’= 180°- 26° 20’)
•
Sont recherchés C et b ==> calculer c’ et B’ du triangle polaire associé
•
•
c’ = 39°36.6’ ==> angle de route : 180°- 39°36.6’ = 140°27.3’
B’ = 135°50’ ==> distance parcourue : (180°- 135°50’) * 60 = 2,650 Nm
37
38
Triangles sphériques quelconques
39
Résolution triangle sphérique quelconque
• Règle des sinus
sin a/sin A = sin b/sin B = sin
c/sin C
• Règle des cosinus des côtés
(3 règles)
les 3 côtés et un angle
cos a = cos b.cos c + sin
b.sin c.Cos A
• Règle des cosinus des
ANGLES (3 règles)
les 3 angles et un côté
cos A = - cos B.cos C + sin
B.sin C.Cos a
(Ne pas oublier le signe négatif)
40
Résolution triangle sphérique quelconque-1
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a=61°51.7’, c=67°55.4’, B=111°57.9’
Sont connus : 2 côtés (a & c) et 1 angle (B)
Résoudre b, A, C via la formule des côtés ou des Angles
cos b = cos a . cos c + sin a . sin c . Cos B
b = Arccos(cos a . cos c + sin a . sin c . Cos B)
b = Arccos(cos 61°51.7’ . cos 67°55.4’ + sin 61°51.7’ . s in 67°51.7’ . Cos 111°57.9’)
b= 97°37.5’
cos a = cos b . cos c + sin b . sin c . Cos A
(cos a - cos b cos c) / (sin b sin c) = Cos A
A = Arcos (cos 61°51.7 - cos 97°37.5’ . cos 67°55.4’)/(sin 97°37.5’ . sin 67°55.4’)
A= 55°36.0’
Cos C= - Cos A . Cos B + Sin A . Sin B . cos c
C= Arccos (-Cos 55°36.0’ . Cos 111°57.9’ + Sin 55°36.0 ’ . Sin 111°57.9’)
C= 60°07.3’
Vérification : Sin A/sin a = Sin B/sin b = Sin C/ sin c
41
Résolution triangle sphérique quelconque-2
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A=116°01.8’, B=103°17.6’, C=94°21.2’
Sont connus : 3 angles (A, B & C)
Résoudre a, b, c via la formule des côtés ou des Angles
Cos A = - Cos B . Cos C + Sin B . Sin C cos a
cos a = (Cos A + Cos B . Cos C) / (Sin B . Sin C)
a = Arcos (Cos 116°01.8’ + Cos 103°17.6’ . Cos 94°21.2’) / (Sin 103°17.6’ . Sin 94°21.2’)
a = 115° 44.2’
Cos B = - Cos A Cos C + Sin A Sin C Cos b
cos b = (Cos B + Cos A Cos C) / (Sin A Sin B)
b = Arccos((Cos 103°17.6’ + Cos 116°01.8’ Cos 94°21.2’) / (Sin 116°01.8’ Sin 94°21.2’)
b = 102° 40.6’
Cos C =- Cos A . Cos B + Sin A . Sin B . Cos c
c= Arccos ((Cos 94°21.2’ + Cos 116°01.8’ Cos 103°17.6’) / (Sin 116°01.8’ Sin 103°17.6’))
c = 88° 21,7’
42
Vérification par la formule des sinus
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Énoncé :
A=116°01.8’, B=103°17.6’, C=94°21.2’
Résultats :
a = 115° 44.2’
b = 102° 40.6’
c = 88° 21,7’
Vérification :
Sin A / sin a = 0.997518956
Sin B / sin b =0.997521212
Sin C / sin c =0.997522684
• Les trois valeurs sont égales, l’on peut considérer les
résultats comme probablement exacts
43
Exercices triangles sphériques quelconques
• Résoudre les triangles sphériques ABC quelconques
• a=56°22.3, b= 65°54.9’, c=78°27.4’
A=58°08.4’, B=68°37.8, C=91°57.2’
• A=47°13.3’, B= 120°09.9’, c=123°31.6’
a=37°43.7’, b=133°52.9’; C=90°31.8’
• a=108°56.4’, b=58°34.8’, c=122°15.6’
A=93°40.8’, B=64°12.4’, C=116°51.0’
• B=66°42.7’, C=84°57.5’, a=107°08.4’
b=67°08.4’, c=92°07.6’, A=107°43.4
44
Trigonométrie sphérique appliquée
Navigation orthodromique
Navigation astronomique
Le triangle sphérique de la navigation orthodromique
• Côtés :
•
•
•
•
Colatitude point de départ
Colatitude point de d’arrivée
Route orthodromique
Colatitude du vertex
• Angles :
• Angle de route(départ)
• Angle de route(arrivée)
• Différence longitude(départarrivée)
46
Construire les équations de la navigation orthodromique - 0
•
•
•
Formule de base
Cos a = cos b.cos c + sin b.sin
c.Cos A
Distance orthodromique
•
AR(départ)
•
AR(arrivée)
•
Latitude vertex
•
Longitude vertex
•
Distance vertex
47
Construire les équations de la navigation orthodromique - 1
•
•
•
•
•
•
•
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Formule de base
Cos a = cos b.cos c + sin b.sin
c.Cos A
Distance orthodromique
M=Arccos(sin Latdép . sin
LatArr + cos Latdép . cos LatArr
. cos Dg)
AR(départ)
ARdépart=Arccos ((sin LatArr –
sin LatDép . cos M) / (cos
LatDép . sin M))
AR(arrivée)
ARarrivéet=Arccos ((sin LatDép
– sin LatArr . cos M) / (cos
LatArr . sin M))
48
Construire les équations de la navigation orthodromique - 2
• Formules de base
• Napier (Triangle sphérique
rectangle)
• Latitude (vertex)
• coLatVx = arcsin (Sin ARdép
. cos Latdép)
• LatVx = Arccos (Sin ARdép .
cos Latdép)
• Longitude (vertex)
• dg = Arctg(1/(tg ARdép . sin
Latdép)
• Distance (vertex)
• Mvx = Arctg (cos ARdép / tg
LatDép)
49
Construire les équations de la navigation orthodromique - 3
•
•
•
Formules de base
Triangle quadrantal ⇒triangle
polaire rectangle ⇒Napier
Longitude (Noeud)
•
Distance (Noeud)
50
Le triangle sphérique de la navigation astronomique
• Côtés
•
•
Distance zénithale (90°hauteur)
Distance polaire
(90°- déclinaison )
Colatitude
(90°- latitude )
• Angles
•
•
Angle polaire (
 LHA)
Azimut
51
Construire les équations de la navigation astronomique - 0
• Côtés
•
Distance zénithale (90°hauteur) Hauteur calculée
• Angles
•
Azimut
•
•
Intercept (hv-hc)
Position Déterminative
52
Construire les équations de la navigation astronomique - 1
• Côtés
•
Distance zénithale (90°hauteur) Hauteur calculée
• Angles
•
Azimut
•
•
Intercept (hv-hc)
Position Déterminative
53
Rappels Navigation estimée
Navigation loxodromique
Navigation Mercator
Rappel : Navigation loxodromique
• Par la latitude
moyenne
• Calculer le dLat
• Déterminer la latitude
moyenne
• Calculer le Dg
• Déterminer le DEW
DEW = Dg * cos
Latmoyenne
• Distance loxodromique =
racine carrée de la somme
des carrés Dlat et DEW
dloxo=√(dlat²+DEW²)
• Rv=Arctg (DEW/Dlat)
• Mercator sailing
(meridional parts)
• Calculer les lc du point de
départ et d’arrivée
• Dlc=lc(arrivée)-lc(départ)
• Calculer le dlat
• Déterminer la latitude
moyenne croissante :
lmc=Arccos(dlat/dlc)
• Calculer le Dg
• Déterminer le DEW
DEW=dg * cos lmc
• Distance=√(dlat² +²DEW²)
• Rv=Arctg(dg/dlc)
55
Mercator Sailing
•
•
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•
•
•
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•
•
•
•
•
Départ : N 50°, E 30°
Arrivée : S 20°W 60°
dlat = + 50 – (-20) = 70°x 60 = 4200’
dg = 30 – (-60) = 90 x 60 = 5400’
lcdépart = 3456.53
lc arrivée = -1217.14
dlc = 4633.67 (Additionner les lc si dép & arr sont de signes contraires)
(Notation quadrantale S 49°22’ W ⇒ 229°22’)
Rv = Arctg (dg/dlc)
lcm = Arccos(dlat / dlc)
lcm = 24°59.2’
DEW = dg x cos lcm
DEW = 4894.6
M=√(dlat² + DEW²)
M = 6449.58 Nm
lc(λ)≈7915.704468 . log(tg(45 + λ/2)) - 23.0133263 sin λ - 0.052353 sin3 λ - ..
56
Canevas Mercator Sailing
57
Navigation Orthodromique
Great Circle Navigation
Navigation orthodromique - 1
59
Navigation Orthodromique - 2
•
•
•
•
Sont connus :
(co)latitude de départ,
(co)latitude d’arrivée, différence
en longitude (dlong)
Sont recherchés :
La distance orthodromique M,
l’angle de route au départ (Ard),
l’angle de route à l’arrivée (Ara)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Les paires côtés/angles :
M/dlong
Ard/colat arrivée
Ara/colat départ
1) calculer M
2) calculer Ard
3) calculer Ara
4) le(s) vertex
5) le nœud si passage de
l’équateur
•
1,2,3 via règle du cosinus des côtés, 4
via le triangle rectangle, 5 via le triangle
polaire.
60
Formules Navigation orthodromique
•
•
•
•
•
•
•
•
•
M --> dlong ==>
Cos M = cos colatArr cos
ColatDép + sin colatArr sin
colatDép cos dlong
x 60 --> distance en Nm
AR départ --> colatArr
Cos colatArr = cos colatDép cos
M + sin colatDép sin M cos
Ardép
Après transformations :
Cos Ardép = (sin latArr - sin
latDép cos M)/(cos latDép sin
M)
Ardép = Arccos (
« « « « «)
Même procédure pour ARArr
61
Navigation orthodromique
Exemples
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•
Exemple 1
Départ : Honolulu, N 21°18.3’ - W 157°52.3
Arrivée :San Fransisco, N 37°47.5N - 122°25.7’ W
Distance : 2080.2 Nm
Angle de route au départ : 53°40.2’
Angle de route à l’arrivée : 71°46.0’
Exemple 2
Départ : Dutch Harbor, N 53°53.0’ - W 166°35.0’
Arrivée : Melbourne, S 37°50.0’ - E 144°59.0’
Distance : 6,045.4 Nm
Angle de route au départ : S 36°58.6 W (216°)
Angle de route à l’arrivée : S 26°40.4 W (206°)
62
Vérification : calculer la distance loxodromique et comparer
•
•
•
•
•
Départ : Honolulu, N 21°18.3’ - W 157°52.3
Arrivée :San Fransisco, N 37°47.5N - 122°25.7’ W
Distance orthodromique calculée : 2080.2 Nm
Dlat = 16°29.2’ (989.2’)
Dlong = 35°26.6’ (2,126.6’)
Latitudes croissantes (formule ou NNT, Meridional parts)
Hn = 1300.454 SF = 2438.306 Dlc = 1137.852
Rv = Arctg (dg/dlc) Rv= N 61°51.0’ E (61°51.0’)
lmc = Arcos (989.2/ 1137.852) lmc = 29°37.0’
dg ⇒ DEW : DEW = dg . Cos lmc
DEW= 2,126.6 . Cos 29°37.0’
DEW = 1,848.76 Nm
Distance = √( 989.2² + 1,848.7²) --> 2,096.76 Nm
63
Vérification : calculer la distance loxodromique et comparer
•
•
•
•
•
•
•
Départ : Dutch Harbor, N 53°53.0’ - W 166°35.0’
Arrivée : Melbourne, S 37°50.0’ - E 144°59.0’
Distance : 6,045.4 Nm
Dlat = 91°43.0’ (5,503’)
Dlong = 48°26.0’ (2,906’)
Latitudes croissantes (formule ou NNT, Meridional parts)
DH = 3,834.126 Mb = -2,441.458 Dlc = 6,275.584
Rv = Arctg (dg/dlc) Rv= S 27°50.2’ W (207°50’)
lmc = Arcos (5503/ 6275.6) lmc = 28°43.8’
dg ⇒ DEW : DEW = dg . Cos lmc DEW= 2,906 . Cos 28°43.8’
DEW = 2,548.24 Nm
Distance = √( 5503² + 2548²) --> 6,064.36 Nm
64
Conversion cap quadrantal (NS 113 EW) en cap azimutal
Caz = 180°-B
Caz = 360° - B
65
Calcul de la position du vertex
• On veut connaître :
1) position du vertex
(co)latitude du vertex
dlongitude
• 2) distance jusqu’au
vertex
• Le vertex est atteint
quand le pôle est par le
travers
⇒ azimut = 90°!!!
66
Calcul du vertex
• Sont connus :
• La latitude de départ, l’angle de route de
départ
• Sont recherchés :
• La distance Mx jusqu’au vertex, la (co)latitude
du vertex, la longitude gx (dgx) du vertex
• Comme l’angle C = 90°utiliser Napier
67
Formules du vertex
• Résoudre via les
formules de Napier
• A et c sont connus
• B, b, a sont à calculer
68
Exercice Navigation orthodromique
•
•
•
•
•
•
•
•
Départ : Dutch Harbor, N 53°
53.0’ - W 166°35.0’
Arrivée : Melbourne, S 37°50.0’
- E 144°59.0’
Calculez :
Distances orthodromique,
loxodromique
Angles de route orthodromique
au départ, à l’arrivée
La position des vertex
La position du nœud
Les positions intermédiaires
quotidiennes si vitesse = 17 kts
• Distance ortho
• Distance loxo
• ARdépart
• ARArrivée
• Position vertex N
• Position vertex S
• Position nœud
69
Navigation orthodromique : le noeud
• Le nœud est le point de
passage de l’équateur
• L’on veut connaître la
position de ce point et
la distance parcourue
depuis le départ
La latitude vaut donc 0°
et la colatitude 90°, le
triangle polaire est donc
rectangle que l’on peut
résoudre par Napier
70
Positions intermédiaires
71
Navigation orthodromique : positions intermédiaires
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Rechercher colat(i)
Cos colat(i)=cos M(i).cos
colat(départ)+sin M(i).sin
colat(départ).Cos AR(départ)
Sin lat(i)=cos M(i).sin
lat(départ)+Sin M(i).Cos
lat(départ).Cos AR(départ)
Rechercher Dg(i)
Cos M(i)=cos colat(i).cos
colat(départ)+sin colat(i).sin
colat(départ).Cos Dg(i)
Cos Dg(i)=(Cos M(i)-sin lat(i).sin
lat(départ))/(cos lat(i).cos
lat(départ))
Rechercher AR(i)
Cos colat(départ) = cos M(i).cos
colat(i)+sin M(i).sin colat(i).Cos
AR(i)
Cos AR(i)=(sin lat(départ) - cos
M(i).sin lat(i)) / (sin M(i).cos lat(i)
72
Navigation orthodromique : route composite
73
Navig Ortho : Route composite
• L’on détermine un latitude maximum (ex N60°)
• L’on pourrait imaginer suivre la route orthodromique « normale »
et une fois à 60°, naviguer plein EstWest et puis repi quer plus
tard sur le point d’arrivée mais cela allonge inutilement la route.
• L’on va suivre une première route orthodromique [Départ-Vx1]
dont Vx1 sera le vertex à une latitude égale à la latitude limite.
• L’on va calculer une seconde route orthodromique [Vx2-Arrivée]
dont Vx2 sera le vertex à une latitude égale à la latitude limite
• L’on suivra le parallèle entre les deux vertex.
• Comme Vx1 et Vx2 sont des vertex, l’on peut utiliser les
formules des triangles rectangles sphériques (où il suffit de
connaître deux éléments pour obtenir la résolution : colatitude
des point de départ et d’arrivée et colatitude limite)
74
Calculer la route composite
75
Résoudre les triangles
• Triangle I
•
•
•
Dist M1 = Arccos(sin latdépart/sin latlimite)
ARDépart = Arcsin(coslatlim/cos latDépart)
Dg Vx1 = Arccos(tg Latdépart / tg LatLim)
• Triangle II
•
•
•
Distance M2 = Arccos(Sin latarrivée sin latlimite)
ARArrivée = Arcsin(cos latlimite / cos latarrivée)
Dg(Vx2) = Arccos(tg latlimite / tg latarrivée)
• Navigation sur le parallèle
•
Dist (Vx1-Vx2) = Dg(Vx1, Vx2) . Cos latlimite
• Distance totale = M1 + M3 + M2
76
Exercice LMB- 20
•
•
•
•
•
•
•
Date : 01AUG1994
Heure T : 22h00
Vitesse : 06.0 Kts
Départ :
S 41°00.0’ - E 175°00.0’
Arrivée :
S 33°00.0’ - W 071°30.0’
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Distance Orthodromique
5,038.62 Nm (83°58.6’)
AR(départ)
S 50°39.5’ E
Position du vertex
S 57°17.4’ - W 133°40.3
Distance et cap loxodromique
5,473.99 Nm, Rv= 084,96°
Latitude au points de longitude
W090°--> S 45°10.7’
W110°--> S 51°52.4’
W130°--> S 54°14.0’
77
Résolution Exercice LMB-20
• Calcul de la distance
•
•
•
•
Cos a=cos b.cos c + sin b.sin c.Cos A
Cos M=cos colat_arr.cos colat_dep+ sin colat_arr.sin colat_dep.Cos Dg
Cos M=sin lat_arr.sin lat_dep+ cos lat_arr.cos lat_dep.Cos Dg
M=Arccos(sin -33.sin - 41+ cos - 33.cos - 41.Cos 113.5) x 60
• Angle de Route au départ
•
•
•
•
Cos colat_arr = Cos M.Cos colat_dep + Sin M.Sin colat_dep.Cos AR_départ
Sin lat_arr = Cos M.Sin lat_dep + Sin M.Cos lat_dep.Cos AR_départ
Cos AR_départ = (Sin lat_arr - Cos M.Sin lat_dep)/(Sin M.Cos lat_dep)
AR_départ = ArcCos((Sin - 33 - Cos 86°56.8’.Sin - 41)/ (Sin 86°56.8’.Cos - 41))
• Angle de Route à l’arrivée
•
•
•
•
Cos colat_dep = Cos M.Cos colat_arr + Sin M.Sin colat_arr.Cos AR_arrivée
Sin lat_dep = Cos M.Sin lat_arr + Sin M.Cos lat_arr.Cos AR_arrivée
Cos AR_arrivée = (Sin lat_dep - Cos M.Sin lat_arr)/(Sin M.Cos lat_arr)
AR_arrivée = ArcCos((Sin - 41 - Cos 86°56.8’.Sin - 33) /(Sin 86°56.8’.Cos - 33))
78
Exercice LMB - 21
•
•
•
•
•
•
•
Date : 03Jan1994
Heure T : 14h30
Vitesse 7 kts
Départ :
N 48°30.0’ - W 005°10.0’
Arrivée :
S 22°00.0’ - W 040°40.0’
•
•
•
•
•
Distance orthodromique
4,638.85 NM
AR(départ)
S 33°29,0’ W
Position du vertex
•
N 68°33.5’ - E 058°28.7’
•
•
•
•
•
•
•
•
Latitude à
W 010°--> N 43°02.9
Angle de route à
W 020°--> S 024.21°W
Distance restant à courir à
W 030°--> 1,673.64 NM
Distance et cap loxodromique
4,650.03 Nm, Rv = S 024.54°W
79
Navigation Astronomique
Méridienne
Droites de hauteur
Amplitude
Polaris
Les Ephémérides
GHA LHA
Déclinaison
Equation du temps
Passage au méridien
Nautical Almanach
• Donne pour chaque heure ronde (hh:00) UT :
– le GHA
– la déclinaison
• Utiliser les pages jaunes pour l’heure exacte
de la visée (mm:ss)
– Correction v : planètes & lune --> GHA
– Correction d : Soleil, planètes & lune -->
déclinaison
82
NA : Etoiles & Planètes, Soleil & Lune
83
NA : Increments & Corrections
84
Le temps
L’heure UT
L’heure ZT
Passage UT  ZT
Le temps
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Soleil vrai, soleil moyen, équation du temps
εt = Heure soleilvrai – Heure soleilmoyen
εt maximum : 16m 24 s
GMT : Heure du soleil moyen à Greenwich
ZT (Zone Time) : heure du soleil moyen par rapport à un
méridien de référence (ts les 15°)
ZD (Zone description) : Numéro du fuseau
ZD = Entier [ ( Longitude + 7.5)/15] (Est < 0, West > 0)
GMT = ZT + ZD
LMT : heure du soleil moyen au méridien de l’observateur
GMT = LMT + longitude/15
(long Est > 0, long West <
0)
Temps Sideral : par rapport à une étoile (pas le soleil!) écart ≈ 4
minutes
86
Heure locale → Heure UT
• GMT= ZT + ZD
– ZD = ent((g+7.5)/15)
• GMT = LMT + longitude/15
– Avec longitude EST > 0, WEST <0
• Si le résultat > 24h, retirer 24h et ajouter un
jour.
• Si le résultat < 0, ajouter 24h et retirer un
jour.
87
ZONE TIMES
88
Ligne de changement de date
• Antiméridien de Greenwich (180°)
Vers l’est : de D à D - 1
Est
West
Vers l’West : de D à D + 1
Cf. Jules Vernes, Le tour du monde en 80 jours
89
L’heure à bord
•
•
•
•
•
•
•
•
Le chronomètre
Utilisé pour les calculs de
navigation astronomique
Réglé sur GMT
N’est JAMAIS remis à l’heure.
L’on note sa marche et son état
Marche : variation quotidienne
Etat : différence entre
Greenwich (M0) et le
chronomètre (Mc) (≈ erreur
cumulée).
Une erreur de 4 secondes du
chrono ⇒ erreur de 1 mile sur la
position calculée.
•
•
•
•
•
•
L’horloge de bord
Utilisée pour rythmer les
activités du bord (quarts, repas,
etc.).
Réglée sur la Zone time la plus
proche.
L’horloge est mise à jour tous
les 15°de longitude.
C’est l’heure que donnerait une
station radio proche.
Pas d’exigence d’exactitude.
90
Quelle heure utiliser dans le NA?
• Date et heure à Greenwich si
•
•
•
•
•
•
•
11:22:33 le 0902 à W 067°32’ (0902 16:22:33)
01:23:34 le 1303 à E 121°38’ (1503 17:23:34)
03:04:05 le 1907 à E 043°19’ (1907 00:04:05)
20:30:40 le 3110 à W 148°39’ (0111 06:30:40)
Convertir les LMT en ZT
05:41 à W 013°42 (05:36)
11:58:41 à E 028°06’ (12:06:17)
91
92
93
Les corrections de hauteur du sextant
1.
2.
3.
4.
5.
Collimation
Dépression de l’horizon
Réfraction
Parallaxe
Semi-diamètre
L’erreur instrumentale
hi --> ho
•
•
•
•
Si le parallélisme des 2 miroirs du sextant était parfait, l'on verrait l'horizon direct
et l'horizon réfléchi en coïncidence sur la même ligne lorsque l'alidade et le
tambour sont sur 0.
C'est rarement le cas et il faut tourner le tambour pour obtenir cette coïncidence.
On lit alors le nombre de minutes sur le tambour. Si cette valeur est inférieure à
5 minutes, l'on ne modifie pas le réglage des miroirs mais l'on note cette valeur
qui sera utilisée pour obtenir la hauteur observée (Ho).
Cette valeur est la collimation. La collimation peut être positive (le tambour
indique +3) ou négative (le tambour indique 55; la collimation est donc de 55-60
= -5).
La correction à apporter aura la même valeur absolue mais sera de signe
contraire :
• Si ma collimation est de +3, je corrige avec –3
• Si ma collimation est de -5, je corrige avec +5
• Ho = Hi ± collimation
95
Erreur instrumentale --> correction (la collimation)
96
Corrections ho --> hv
•
•
L'on peut regrouper les astres observés selon des caractéristiques
communes :
L'image du Soleil et de la Lune sont des surfaces avec un diamètre, à
la différence de l'image des étoiles et des planètes qui se présentent
comme des points,
la Lune, Venus et Mars sont des astres proches de la Terre.
Tous les astres sont vus au travers de notre horizon Terrestre et depuis
la surface Terrestre et non pas depuis le centre de la Terre
Ces corrections sont au nombre de 4 :
Dépression de l'horizon : tous les astres
Réfraction : tous les astres
Parallaxe : les astres "proches" de la Terre (Lune, Mars, venus)
Semi-Diamètre : le Soleil et la Lune.
97
98
La Dépression de l'horizon
•
•
L'œil de l'observateur est situé à
une certaine hauteur ce qui
provoque un basculement de
l'horizon. Ce basculement est
proportionnel à la hauteur de
l'observateur.
Ce
basculement
augmente l'angle d'observation, la
correction
sera
donc
SOUSTRACTIVE. L'on voit que
l'angle observé αO est plus
important que l'angle réel αr.
Cette correction est à appliquer
dans tous les cas (Soleil, Lune,
planètes, étoiles).
99
La Réfraction
•
•
•
Les rayons lumineux émis par
l'astre sont réfractés lorsqu'ils
traversent
l'atmosphère.
L'observateur mesure un angle plus
important que l'angle réel. C'est
donc
une
correction
SOUSTRACTIVE
L'angle de réfraction est d'autant
plus important que l'astre est bas
sur l'horizon.
La réfraction est influencée par la
pression atmosphérique et la
température de l'air.
•
Cette correction est à appliquer
dans tous les cas (Soleil, Lune,
planètes, étoiles).
100
La parallaxe
•
Les calculs supposent que
l'astre est vu depuis le centre de
la Terre, or l'observateur se
trouve à plus ou moins 6,370
km de ce point. La Lune, Venus
et Mars étant proches de la
Terre (0,368, 41, 78 millions de
km), il faut corriger une erreur
de parallaxe. L'angle observé
depuis la surface Terrestre est
inférieur à l'angle réel. La
correction est donc ADDITIVE.
•
Cette correction est à appliquer
pour la Lune, Vénus, Mars.
101
Le Semi-Diamètre
•
Les calculs supposent que l'on
observe le centre de l'astre. Cela ne
pose évidement pas de problème
avec les astres ponctuels (planètes
et étoiles). Lors de l'observation du
Soleil ou de la Lune, l'on peut
observer soit le bord supérieur
(Upper Limb) ou le bord inférieur
(Lower Limb). Le Soleil et la Lune
présentent
un
diamètre
d'approximativement
un
demidegré. L'observation du bord
supérieur va donner un angle trop
grand
(
correction
soustractive), l'observation du
bord inférieur va donner un angle
trop petit ( correction additive).
102
Les tables de corrections
•
•
•
•
L'on peut trouver dans le Nautical Almanach une table qui regroupe les
corrections à apporter au Soleil, Planètes et étoiles (A2/A3 -Sun-Stars,
Planets Total Correction).
Le Nories Nautical Tables offre également des tables de correction
totale (Soleil, Etoiles).
L'on peut y trouver aussi des tables de correction partielle (SemiDiamètre, Dépression horizon, Parallaxe, réfraction)
Les tables de correction de la Lune sont les plus complexes : il faut
corriger Dépression, réfraction mais il faut absolument corriger la
parallaxe. Il faut donc entrer dans la table avec la hauteur de l'œil, la
hauteur observée (corrigée de la collimation) et avec la parallaxe. Cette
valeur est donnée pour chaque heure dans les éphémérides nautiques.
103
Tables de correction NA
104
Tables de correction NA : Lune
• Correction HP
(parallaxe horizontale)
– Lire dans les
éphémérides la valeur de
la HP
• Deux corrections :
– Totale
– Parallaxe
• Bord supérieur (U)
• Bord inférieur (L)
105
Tables de correction NNT
Sun & Stars (planets)
106
Add to the observed altitude if
the moon’s lower limb
Tables de correction NNT
Moon (Upper or Lower limb)
Add to the observed altitude of the
moon’s upper limb THEN
SUBTRACT 30’
107
Nautical Almanach : Étoiles & Planètes
108
Nautical Almanach : Soleil & Lune
•
•
•
•
Équation du temps
Passage au méridien
Age de la lune
Phase
109
NA : Lever, Coucher, Crépuscule
110
NA : Incréments & Corrections
• ==> Pages Jaunes
• Incrément (GHA) :
hh.00 ==> hh.mm.ss
• 3 colonnes :
– Soleil & Planètes
– Ariès => Étoiles
– Lune
• Corrections :
– v => variation horaire du
GHA (lune, planètes)
– d => hh.00 ==> hh.mm
111
La Méridienne
La mesure de la hauteur d’un
astre à son zénith permet le calcul
de la latitude
Méridienne
• La méridienne d’un astre donne la latitude
• La hauteur de l’astre est mesurée au moment de sa
culmination (=> soleil = au midi vrai).
• Lat = Déclinaison + DistanceZénithale
• Régles de signe :
• Déclinaison : Nord >0, Sud <0
• Distance zénithale (dz=90°-h)
• L’observateur tourne le dos au pôle
• Nord : dz >0, Sud : dz<0
113
Méridienne : cas 1 & 2
Dz & dec >0
Dz > 0, dec <0
114
Méridienne : cas 3
Dec >0, dz <0
115
Méridienne : cas 4
• Passage au méridien
inférieur
• Concerne les astres
circumpolaires (lat ≥
(90°- déc)
• Lat = h + dp
116
Détermination de la latitude en
mesurant la hauteur de Polaris
Dans l’hémisphère Nord, la
mesure de la hauteur de l’étoile
Polaire permet après de petites
correction la détermination de la
latitude
La latitude via Polaris
• L’étoile Polaire est quasi juste au dessus du pôle Nord; en
mesurant la hauteur de l’astre, moyennant quelques corrections,
l’on détermine la latitude.
• Les corrections sont au nombre de 3
• Correction a0 qui dépend du LHA d’Aries
• Correction a1 qui dépend de la latitude (hauteur)
• Correction a2 qui dépend du mois.
• Les trois corrections sont disponibles dans le NA
• Les trois corrections sont POSITIVES et il faut retirer 1°de la
somme (hauteur vraie, corrections=) pour obtenir la latitude.
• Possible uniquement dans l’hémisphère Nord
118
Amplitude
L’amplitude du soleil permet de
déterminer la variation du compas
L’amplitude
• L’amplitude est l’azimut du soleil à son lever ou à son coucher
la hauteur de l’astre = 0°
• Sin dec = sin h . sin lat + cos h . cos lat cos Z (h=0)
• ⇒ sin dec = cos lat . cos Z
• ⇒Cos Z = sin dec / cos lat
• Les tables Nories donnent la valeur de l’amplitude.
• L’azimut se compte à partir de 90°au lever et à part ir de 270°
au coucher vers le Nord si la déclinaison est Nord et vers le sud
si la déclinaison est Sud.
• L’amplitude est utile pour déterminer la variation du compas en
haute mer lorsque aucun amer n’est visible
120
Droite de hauteur
Déterminer la hauteur calculée hc
Calcul de l’Intercept (I=hv-hc)
Calcul de l’azimut
Déterminer la position estimée (PE)
Déterminer la hauteur calculée
122
Calculer l’Intercept
123
Calculer l’Azimut
124
Déterminer le Point Déterminatif
125
Exercice
126
Canevas Mercator
127
Déterminer le point déterminatif sur
le canevas Mercator
128
Naviguer avec les tables nautiques
Traverse Tables (loxodromie)
Meridional Parts (Navigation Mercator)
Haversines
Tables ABC
Tables Nories
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Tables Traverses (⇒ Navigation estimée)
Meridional Parts (⇒ Navigation Mercator)
log(x)+log(y)
Logarithms : x . y ⇒ 10
Logs of Trig. Functions : permet la multiplication de fonctions
trigonométriques via leur logarithme
Haversines : Hav(α) = (1-cos α)/2, toujours positif (Log & Nat)
L’utilisation des haversines permet la résolution des problèmes de
navigation astronomique (hc) et orthodromique (distance ortho) grâce à
des canevas où il n’y a que des additions.
Natural Functions of Angles (Sines, Cosines, Tangents, Cosecants,
Secants, Cotangents).
Tables ABC : Azimut d’un astre (Z) en navigation astronomique et
Angle de Route (AR) en navigation orthodromique en ne faisant que
des additions.
Tables de correction : Sun, Star, Moon
Conversion Arc to Time
130
NNT : Traverse Table
131
NNT : Meridional Parts
132
NNT : Logs of Trig Functions
133
NNT : Haversines
134
NTT : Tables ABC
135
Extraction de la formule des haversines
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Formule fondamentale :
Cos A = (cos a – cos b . cos c) / (sin b . sin c)
11- Cos A = 1 – (cos a – cos b . cos c) / (sin b . sin c)
Ver A = (sin b . sin c – cos b . cos c –cos a) / (sin b . sin c)
Ver A . sin b . sin c = sin b . sin c – cos b . cos c –cos a
comme sin b . sin c – cos b . cos c ≡ cos (b ∼ c), alors
Ver A . sin b . sin c = cos (b ∼ c) – cos a
-cos(b-c) + Ver A . sin b . sin c = - cos a
commutativité de l’égalité
-cos a = - cos(b ∼ c) + Ver A . sin b . sin c
en ajoutant 1 aux deux membres
1-cos a = 1-cos(b ∼ c) + ver A . sin b . sin c
1 – cos α = Ver α
Ver a = Ver (b ∼ c) + ver A . sin b . sin c
en divisant les 2 membres par 2
• hav(a) = hav(b ∼ c) + hav(A) . sin b . sin c
136
La formule haversine en Navig Astro
• on cherche hc ou dz
• on connaît dec (∆P) ,
latitude (colat) et LHA
• LHA est opposé à dz
• hav(dz) = hav(dec
lat)+ hav(LHA).cos
dec.cos lat
• A résoudre via les
logarithmes
137
Canevas hauteur calculée via haversines
• hav(dz) = hav(dec
•
•
•
•
•
•
•
•
lat)+ hav(LHA).cos dec.cos lat
Log cos (Lat) : …………….
Log cos (deg) : …………….
Log Hav(LHA) : …………….
Σ Log A
: …………….
A
: …………….
Hav (dec lat) : …………….
Σ Hav (Z) : …………….
Dz
: ……………. Hc
138
La formule haversine en Navig Ortho
• on cherche MOrtho
• on connaît (co)lat de
départ et d’arrivée et Dg
• Dg est opposé à MOrtho
• hav(M) = hav(Ld La)+
hav(Dg).cos Ld.cos La
• A résoudre via les
logarithmes
139
Canevas Distance ortho via haversines
• hav(Mo) = hav(La
•
•
•
•
•
•
•
•
LD)+ hav(Dg).cos La.cos Ld
Log cos (Ld) : …………….
Log cos (La) : …………….
Log Hav(Dg) : …………….
Σ Log A
: …………….
A
: …………….
Hav (La ld) : …………….
Σ Hav (Mo) : …………….
Mo
: …………….
140
Tables ABC
141
Annexes
Liste réduite des ports
Constellations
Liste réduite ports
143
Constellations
•
•
•
•
Bélier, Taureau, Gémaux
Cancer, Lion, Vierge
Balance, Scorpion, Sagittaire
Capricorne, Verseau, Poissons
•
•
Le bélier et le tareau sont gémaux
• Le cancer et le lion sont vierges
• Balancé, le scorpion s’agite
Le capricorne verse de l’eau aux poissons.
144
;-)
145
Résolution du triangle polaire rectangle
Sont connus A’= 126°50’ et b’= 153°40’)
Sont recherchés c’ et B’
Voir Dessin
Sin Co-A’ = tg Co-c’ tg b’
Pour B’ :
Cos A’ = tg b’ / tg c’
sin Co-B’ = cos Co-A’ .cos b’
tg c’ = tg b’ /Cos A’
B’= Arcos (Sin 126°50’ . cos 153° 40’)
B’ = 135° 50.0’
Sin Co-B’ = cos Co-A’ cos b’
Pour c’ :
Cos B’ = sin A’ cos b’
sin Co-A’ = tg Co-c’ . tg b’
c’ = Arctg (tg 153°40’/Cos 126° 50’)
c’ = 39°36.6’
(c’<90°; vérifie la règle des quadrants (A & B > 90° ==> c<
90°)
•Retour à l’énoncé
146
Rappels algèbre élémentaire
Règles de priorité algébrique
Résolution équations 1er degré
Logarithmes
Régles de priorité algébrique
Les parenthèses
7 + 5³ 7 + 125
7 + 2 x 3²
7+2x9
7 + 18
5+3x9
5 + 27 (d'abord exécuter le produit, puis la somme)
(5 + 3) x 9 8 x 9
≡
≡
≡
≡
≡
Les puissances
Les produits/quotients
Les sommes/différences
Utiliser des parenthèses pour modifier l'ordre des priorités
algébriques
148
Utilisation des parenthèses
• Prix par personne : 5 € + 9 € de frais de dossier
Nous sommes 3
Prix total = 3 x 5 € + 9 €
Prix total = 24 €
Application règles normales de priorité pas de parenthèses
• Prix par animal : 3 €
Il y a 5 guépards et 9 éléphants
Prix total = 3 x (5 + 9)
Prix total = 42 €
Modification régles normales de priorité paranthèses
• Nous sommes 3, le voyage coûte 6 € mais chacun a une
réduction de 2 € 3 x (6 – 2) = 12 €
• Nous sommes 3, le voyage coûte 6 € et nous obtenons une
réduction globale de 2 € 3 x 6 – 2 = 16 €
149
Bon usage des règles de priorité
•
•
•
•
•
3 x 9 +5
5+3x9
9x3+5
5+9x3
Résoudre d'abord le
produit 3 x 9 = 27
• Effectuer ensuite la
somme
27 + 5 = 32
• Une mauvaise
application des règles
de priorité donnerait :
• 3 x 9 + 5 = 32
• 5 + 3 x 9 = 72 Erreur
• 9 x 3 + 5 = 32
• 5 + 9 x 3 = 42 Erreur
150
Equations du premier degré
•
•
•
a, b c, d, r ,s sont des coéfficient connus
x, y sont les inconnues recherchées
Régle :
Les sommes changent de membre en
inversant leur signe
Les produits sont inversés en changeant
de membre : numérateur dénominateur et dénominateur numérateur
a + r.x = b
r .x = b − a
b−a
x=
r
− a + r.x = b
r .x = b + a
b+a
x=
r
a+
x
=b
r+s
x
=b−a
r+s
x = (b − a).(r + s )
151
Mise en équation
cos a = cos b. cos c + sin b. sin c. cos A
cos a − cos b. cos c = sin b. sin c. cos A
cos a − cos b. cos c
= cos A
sin b. sin c
cos a − cos b. cos c
A = Arc cos(
)
sin b. sin c
cos A = − cos B. cos C + sin B. sin C. cos a
cos A + cos B. cos C = sin B. sin C. cos a
cos A + cos B. cos C
= cos a
sin B. sin C
cos A + cos B. cos C
a = Arc cos(
)
sin B. sin C
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