HLMA 502 Chapitres 4 et 5 : Espaces compacts, Espaces complets

Université de Montpellier - Faculté des Sciences
Année Universitaire 2016-2017
HLMA 502
Chapitres 4 et 5 : Espaces compacts, Espaces complets
Exercices
Philippe Castillon (1 )
Exercice 1. Soit E = C 0 ([0, 1], C) l’espace des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs complexes, muni
de la norme de la convergence uniforme k.k∞ : pour tout f ∈ E, kf k∞ = sup{|f (x)| | x ∈ [0, 1]}.
1. On considère les fonctions fn , n ∈ N, définies par fn (x) = e2inπx , x ∈ [0, 1]. Calculer kfn k∞ pour
tout n ∈ N et kfn − fp k∞ pour tout n, p ∈ N, n 6= p.
2. La suite (fn )n∈N admet-elle une sous-suite convergente? La boule unité fermée Bf (0, 1) de E est
fermée et bornée. Est-elle compacte?
Exercice 2.
Soit (X, d) un espace métrique. Pour A, B ∈ P(X) non vides, on définit d(A, B) =
inf{d(x, y) | x ∈ A, y ∈ B}.
1. Montrer que cette définition ne donne pas une distance sur P(X) \ {∅}, et ne vous laisser pas abuser
par la notation...
2. Si A et B sont compactes, montrer qu’il existe a ∈ A et b ∈ B tels que d(A, B) = d(a, b).
3. Si (X, d) est l’espace Rn muni de la distance euclidienne, montrer que ce qui précède est encore vrai
si A est compact et B fermé.
4. Donner deux fermés A, B de R2 tels que d(A, B) = 0 et d(x, y) > 0 pour tout x ∈ A et y ∈ B.
Exercice 3. Séparation des compacts.
On va montrer que pour deux parties compactes disjointes A et B d’un espace topologique séparé,
il existe deux ouverts disjoints U et V tels que A ⊂ U et B ⊂ V . Cette propriété étend aux parties
compactes la propriété de séparation des points.
1. Soient (X, OX ) et (Y, OY ) deux espaces séparés, A ∈ P(X) une partie compacte et y ∈ Y . Pour
tout ouvert W de X × Y tel que A × {y} ⊂ W , montrer qu’il existe des ouverts U ∈ OX et V ∈ OY
tels que A × {y} ⊂ U × V ⊂ W .
2. Soit (X, OX ) un espace séparé, A ∈ P(X) une partie compacte et x 6∈ A. Montrer qu’il existe deux
ouverts disjoints U, V de X tels que A ⊂ U et x ∈ V .
Indication : utiliser le fait que la diagonale ∆ = {(x, x) | x ∈ X} est fermée dans X × X, cf.
exercice 9 du chapitre 2.
3. Soit (X, OX ) un espace topologique séparé, et A, B ∈ P(X) deux parties compactes et disjointes
de X. Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints U, V de X tels que A ⊂ U et B ⊂ V .
1 Département de Mathématiques, CC 051, Université de Montpellier, Pl. Eugène Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5.
Mèl : [email protected]
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Exercice 4. Soit (X, d) un espace métrique compact et soit f : X → X continue telle que d(f (x), f (y)) <
d(x, y) pour x 6= y.
1. On s’intéresse d’abord aux points fixes de f .
(a) Montrer qu’il existe a ∈ X tel que ∀x ∈ X
d(x, f (x)) ≥ d(a, f (a)).
(b) Montrer que a est l’unique point fixe de f .
2. Pour toute donnée initiale x0 ∈ X, on considère la suite récurrente définie par xn+1 = f (xn ).
(a) Montrer que la suite réelle (un )n∈N définie par un = d(xn , a) est convergente.
(b) Soit (xϕ(n) )n∈N une suite extraite de (xn )n∈N qui converge vers b. Que peut-on dire de la suite
(xϕ(n)+1 )n∈N ? Montrer que d(a, b) = d(a, f (b)).
(c) déduire de ce qui précède que la suite (xn )n∈N converge vers a.
Exercice 5. Soit (X, d) un espace métrique.
1. On considère une suite (xn )n∈N sur X et, pour tout n ∈ N, on note An = {xk | k ≥ n}. Montrer
que la suite (xn )n∈N est de Cauchy si et seulement si lim diam(An ) = 0.
n→∞
2. On suppose que (X, d) est complet et on considère une suite (Fn )n∈N de parties fermées de X telle
que
i. ∀n ∈ N Fn 6= ∅
ii. ∀n ∈ N Fn+1 ⊂ Fn
iii. lim diam(Fn ) = 0
n→∞
Montrer que
\
Fn est non vide. Montrer que ce résultat est faux si on ne suppose plus que la
n∈N
suite des diamètres tend vers 0.
3. Réciproquement, on suppose que toute suite de fermés (Fn )n∈N ayant les propriétés i., ii. et iii.
ci-dessus est d’intersection non vide. Montrer alors que (X, d) est complet.
Pour s’entrainer
Exercice 6. Dans Rn , les parties compactes sont les parties fermées et bornées. Cette propriété n’est
pas vraie dans tous les espaces métriques.
1. Soit (X, d) un espace métrique et A ∈ P(X) une partie compacte. Montrer que A est fermée et
bornée.
2. Soit A ∈ P(Q) définie par A = {x ∈ Q | 2 < x2 < 3}. Montrer que A est fermée et bornée dans Q.
Est-elle compacte ?
Exercice 7.
Soit (X, OX ) un espace topologique compact non vide et f : X → X une application
continue. Montrer qu’il existe une partie compacte A ∈ P(X) telle que f (A) = A.
Indication : on pourra considérer la suite de parties définie par A0 = X et An+1 = f (A).
Exercice 8. Soit (X, d) un espace métrique et A ∈ P(X). Le diamètre de A est défini par diam(A) =
sup{d(x, y) | x, y ∈ A}.
Si A est compacte, montrer que diam(A) est fini et qu’il existe a, b ∈ A tels que diam(A) = d(a, b).
Exercice 9. On considère R2 muni de la norme k.k∞ : pour tout (x, y) ∈ R2 , k(x, y)k∞ = max{|x|, |y|}.
Par ailleurs, on considère f : R2 → R une application continue.
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1. Pour tout r > 0, on note Cr = R2 \ Bf (0, r). Montrer que Cr est connexe par arc Que peut-on dire
de f (Cr ) ?
2. Montrer que pour tout r > 0, il existe ar ≤ br tels que f (R2 ) = [ar , br ] ∪ f (Cr ).
3. On suppose de plus que f est surjective. Montrer que pour tout r > 0 on a f (Cr ) = R. En déduire
que, pour tout c ∈ R, il existe une suite de points (xn )n∈N de R2 telle que lim kxn k∞ = +∞ et
n→+∞
f (xn ) = c pour tout n.
Exercice 10. Distance de Hausdorff.
Soit (X, d) un espace métrique. Pour toute partie A ∈ P(X) et s > 0, on note As le s-voisinage de A
défini par As = {x ∈ X | d(x, A) < s}. On rappelle que l’application x 7→ d(x, A) est continue sur X (cf.
exercice 6 du chapitre 2).
1. Si A et B sont compactes, montrer qu’il existe r > 0 tel que A ⊂ Br et B ⊂ Ar . En déduire que
δ(A, B) = inf{r > 0 | A ⊂ Br et B ⊂ Ar } est bien définie.
2. Soient A, B ∈ P(X) et s, t ∈ R∗+ .
(a) Montrer que (As )t ⊂ As+t .
(b) Montrer que A ⊂ B ⇒ As ⊂ Bs .
(c) Montrer que δ est une distance sur l’ensemble KX des parties compactes de X.
3. Montrer que l’application diamètre diam : KX → R définie à l’exercice 7 est continue pour la
distance de Hausdorff δ.
Exercice 11. On considère (X, d) un espace métrique. On dit qu’une application f : X → X préserve
la distance si ∀x, y ∈ X
d(f (x), f (y)) = d(x, y).
1. Montrer qu’une application f qui préserve la distance est continue et injective. Donner un exemple
où f n’est pas inversible.
On suppose dans la suite que (X, d) est compact.
2. Supposons que f ne soit pas surjective. Soit x0 ∈ f (X)c et soit (xn )n∈N la suite définie par
∀n ∈ N
xn+1 = f (xn ).
(a) Montrer qu’il existe α > 0 tel B(x0 , α) ⊂ f (X)c .
(b) Montrer que pour tout n ∈ N∗ on a d(x0 , xn ) ≥ α et en déduire que pour tout p, q ∈ N avec
p 6= q on a d(xp , xq ) ≥ α.
3. Déduire de ce qui précède que toute application f qui préserve la distance est bijective.
4. On note G l’ensemble des applications de X dans X qui préservent la distance. Montrer que (G, ◦)
est un groupe (où ◦ désigne la composition des applications).
5. On note C(X) l’ensemble des applications continues de X dans X muni de la distance δ, définie par
δ(f, g) = sup{d(f (x), g(x)) | x ∈ X} (on admet que δ est bien une distance sur C(X)). Montrer
que G est une partie fermée de C(X).
Exercice 12. Soient (X, d) un espace métrique et (xn )n∈N une suite de X.
1. Si (xn )n∈N est de Cauchy, montrer que, pour tout p ∈ N, lim d(xn , xn+p ) = 0. Montrer que la
n→∞
réciproque est fausse (indication : chercher parmi les suites réelles qui tendent vers +∞).
2. Si la série
∞
X
d(xk , xk+1 ) est convergente dans R, montrer que la suite (xn )n∈N est de Cauchy.
k=0
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