Exercices Suggérés sur le principe d`induction

Problèmes de Pratique-Principe de l’induction
1. Montrer que pour tout entier n ≥ 1
12 + 22 + . . . + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
2. Soit h > −1 un nombre réel. Montrer l’inégalité de Bernoulli: 1 + nh ≤ (1 + h)n pour tout
entier n ≥ 0.
3. Montrer que pour tout entier impair n ≥ 1, n2 − 1 est divisible par 8.
4. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, 4n+1 + 52n−1 est divisible par 21.
5. Pour quelles valeurs de l’entier naturel n a-t-on 2n > n3 ? Justifier votre réponse.
6. Considérer la suite numérique définie récursivement:
Montrer que fn >
√
1+
2
f0 = 1, f1 = 1, et fn = fn−1 + fn−2 ∀n ≥ 2.
n−2
5
∀n ≥ 3.
7. Montrer que n2 ≥ 2n + 3 ∀n ≥ 3.
8. Montrer que 7n − 2n est divisible par 5 ∀n ≥ 0.
9. Montrer que pour tout entier n ≥ 1
1 3 + 2 3 + . . . + n3 =
n2 (n + 1)2
.
4
10. Montrer que pour tout entier n ≥ 1
1.1! + 2.2! + . . . + n.n! = (n + 1)! − 1.
11. Considérer la suite numérique définie récursivement:
a0 = 2, a1 = 1, et an = an−1 + 2an ∀n ≥ 2.
Montrer que an = 2n + (−1)n ∀n ≥ 0.
12. Considérer la suite numérique définie récursivement:

 2
si n est impair
2
an =
 a n
si n est pair
( )
2
(1) Donner les valeurs des termes a1 , . . . , a8 de la suite.
(2) Utiliser le principe d’induction pour montrer que an ≤ 2n ∀n ≥ 1.
13. Montrer que chaque entier n ≥ 2 est le produit de (un ou plusieurs) nombres premiers (un
entier p est dit premier si les seuls diviseurs de p sont 1 et p).
Pn
14. Montrer que i=1 (3i2 − i) = n2 (n + 1) pour tout entier n ≥ 1.
1