Fractions continues

Fractions continues
Université Claude Bernard–Lyon I
CAPES de Mathématiques : Arithmétique
Année 2006–2007
I Préliminaires
1◦ Soit x ∈ R. Montrer qu’il existe un infinité de couples (p, q) ∈ Z × N∗ , tels que
p
x − ≤ 1 .
q q2
(Mettre q +1 nombres mx−bmxc (1 ≤ m ≤ q +1) dans q tiroirs [k/q, (k + 1)/q[ (0 ≤ k ≤ q −1).)
√
√
p 1
◦
∗
√ .
2 Montrer que pour tout (p, q) ∈ Z × N , 2 − ≤ 1 =⇒ q 2 − p ≥
q
(1
+
2
2)q
√
(Ceci traduit que 2 est “mal approchable” par des rationnels.)
II Fractions continues : généralités
1◦ Préliminaire
Soit (an )n≥0 une suite d’entiers telle que a0 ≥ 0 et, pour n ≥ 1, an > 0. On définit deux suites
(pn )n≥0 et (qn )n≥0 par :
p0 = 1
p1 = a0
pn+1 = an pn + pn−1
q0 = 0,
q1 = 1,
qn+1 = an qn + qn−1 .
a) Montrer que (qn )n≥1 est positive, strictement croissante. Quelle est sa limite ?
b) Pour n ∈ N, on pose Dn = pn qn+1 − pn+1 qn . Montrer que Dn = (−1)n pour tout n.
c) Pour n ∈ N∗ , on pose yn = pn /qn . Montrer que les suites (y2n+1 )n≥0 et (y2n )n≥1 sont
adjacentes. En déduire que la suite (yn )n≥1 converge.
d) Ecrire une jolie formule pour exprimer yn en fonction de a0 , . . . , an .
Dans la suite, on notera yn = [a0 ; a1 , . . . , an ].
2◦
Propriétés fondamentales
Soit x > 0 donné. On définit, lorsque c’est possible, des suites (xn ) et (an ) par :
x0 = x et
∀n ∈ N,
xn+1 =
1
,
xn − bxn c
an = bxn c,
où b·c désigne la partie entière.
a) Ici, x = 77/45. Calculer les valeurs de an et xn qui sont définies.
b) Montrer que pour x ∈ Q, la suite (xn ) n’est définie que pour un nombre fini de termes.
On suppose désormais que pour x ∈ R \ Q et on reprend les notations de 1◦ .
c) Montrer que la suite (xn ) est définie sur N, et que
les hypothèses de 1◦ .
√
√ la suite (an ) satisfait
d) Calculer explicitement la suite (an ) pour x = 3 et x = (1 + 5)/2 (à la main), ainsi que
les 20 premières valeurs de an , pn , qn et pn /qn pour x = e et x = π (à la machine). Que
constate-t-on ?
e) Montrer que
pn xn + pn−1
∀n ≥ 1, x =
.
qn xn + qn−1
f ) En déduire que
∀n ≥ 1,
1
x − pn <
qn
qn qn+1
pn
= x. En particulier, retrouver le résultat de I1◦ .
n→+∞ qn
(noter que xn > an ), puis que lim
1