Terminale S Rappels sur les fonctions sinus et cosinus

Terminale S
5π
6
3π
4
2π
3
Rappels sur les fonctions sinus et cosinus
π
2
π
3
π
4
π
6
π
Angle
0
Cosinus
1
Sinus
0
0
–π
– 5π
6
– 3π
4
– 2π
3
–π
2
–π
4
–π
3
π
π
π
π
6
3
2
1
2
4
2
2
2
2
3
1
2
3
2
2
0
1
–π
6
Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont définies, continues et dérivables sur .
La dérivée du sinus est cosinus, la dérivée du cosinus est l’opposé du sinus.
Elles sont périodiques de période 2π et bornées dans l’intervalle [ −1;1 ] .
Graphes des fonctions sinus et cosinus :
la courbe est appelée sinusoïde
Quelques résultats remarquables :
Relation fondamentale :
Attention aux notations :
sin 2 ( x ) + cos 2 ( x ) = 1 pour tout x ∈ ».
cos 2 x = ( cos ( x ) )
Formules d'addition
Pour tous réels a et b,
et cos x 2 = cos ( x 2 )
Formules de duplication
cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b
cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b
2
Pour tout réel a,
et leurs conséquences :
sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b
cos ( 2a ) = cos 2 a − sin 2 a = 1 − 2sin 2 a = 2 cos 2 a − 1
sin ( 2a ) = 2sin a cos a
sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b
Propriétés de symétrie :
Pour tout x ∈ R,
Angles opposés ( ou parité ) : cos ( − x ) = cos( x)
et
sin ( − x ) = − sin( x)
Angles supplémentaires: cos (π − x ) = − cos( x)
et
sin ( π − x ) = sin( x)
π

Angles complémentaires: cos  − x  = sin( x)
2


et
π

sin  − x  = cos( x)
2


Terminale S
Ce qu’il faut savoir de la fonction tangente
La fonction tangente est définie par tan ( x ) =
sin ( x )
cos ( x )
.
a) Ensemble de définition
Pour que la fonction tangente soit bien définie, il ne faut pas que cos ( x ) = 0,
c'est à dire que x =
π

+ kπ , k ∈ ». Elle est donc définie sur » \  + kπ , k ∈ »  .
2
2


π
b) Périodicité
Montrons que la fonction tangente est non seulement périodique de période 2π comme les fonctions sinus
et cosinus mais aussi de période π :
sin ( x + π ) − sin ( x ) sin ( x )
tan ( x + π ) =
=
=
= tan ( x ) pour tout x ∈ ».
cos ( x + π ) − cos ( x ) cos ( x )


Nous allons donc pouvoir restreindre l’étude à l’intervalle  −


c) Limites au bord de  −
π
π
;
2
2
π
π
;
2
2

.




lim sin ( x ) = 1 
π
x→

2
 quotient
+  → lim tan ( x ) = +∞
π
lim cos ( x ) = 0
x→
π

2
x→
x <π / 2
2

x <π / 2
lim sin ( x ) = −1 
π

2
 quotient
+  → lim tan ( x ) = −∞
π
lim cos ( x ) = 0
x →−
π

2
x →−
x <− π / 2
2

x <− π / 2
x →−
et
d) Variations
La fonction tangente étant le quotient de deux fonctions dérivables définies sur »,
est, elle même, dérivable sur tout intervalle contenu dans son ensemble de définition
et sa dérivée est égale à:
=
cos ( x ) × cos ( x ) − sin ( x ) × ( − sin ( x ) )
cos 2 ( x )
cos 2 ( x ) + sin 2 ( x )
2
cos ( x )
=
1
d'après la relation fondamentale
cos 2 ( x )
=
2
 sin ( x ) 
2
=
=
+
=1+ 
 = 1 + tan ( x )
2
2
2

cos ( x )
cos ( x ) cos ( x )
 cos ( x ) 
Quelque soit la formule utilisée, il est évident que la dérivée est strictement positive.
cos 2 ( x ) + sin 2 ( x )
cos 2 ( x )
sin 2 ( x )
La fonction tangente est donc strictement croissante sur tout intervalle où elle est définie.
e) Valeurs remarquables
Angle
0
Tangente
0
f) Graphe
π
π
π
π
6
3
3
4
3
2
1
3
non définie